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UNIDAD 1: LOGARITMOS
DEFINICIÓN DE LOGARITMO
Se llama logaritmo de base “ b ” de un número “ a ” a otro número “ n ” tal que, “ b ” elevado a la “ n ” sea igual a “ a ”.
Donde “ a ” se llama argumento.
log
𝑏
𝑛
Condiciones de Existencia:
PROPIEDADES DE LOGARITMOS
- El log en cualquier base del número cero no existe.
𝒃
Just:
log
𝑏
𝑛
- El log en cualquier base del número uno es igual a cero.
𝒃
Just:
0
- Si en un log la base y el argumento son iguales el
resultado es igual a uno.
𝒃
Just:
1
- Log de una potencia:
𝒃
𝒏
𝒃
- Log de una potencia racional:
𝒃
𝒎
𝒏
𝒃
𝒎
𝒏
𝒃
- Potencia de un Log:
𝒏
𝒃
𝒃
𝒏
log
𝑛
𝑏
𝑎 ≠ 𝑛. log
𝑏
- El Log no es distributivo con respecto a la suma y a la
resta.
𝒃
𝒃
𝒃
𝒃
- Ley cancelativa de los Log:
𝒃
𝒃
- El Log de un producto es igual a la suma de los Log:
𝒃
𝒃
𝒃
Just:
Si log
𝑏
𝑚
Si log
𝑏
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚+𝑛
log
𝑏
( 𝑥. 𝑦) = log
𝑏
𝑚+𝑛
log
𝑏
( 𝑥. 𝑦) = (𝑚 + 𝑛). log
𝑏
log
𝑏
log
𝑏
( 𝑥. 𝑦) = log
𝑏
𝑥 + log
𝑏
- El Log de un cociente es igual a la diferencia de los Log:
𝒃
𝒃
𝒃
Just:
Si log
𝑏
𝑚
Si log
𝑏
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚−𝑛
log
𝑏
) = log
𝑏
𝑚−𝑛
log
𝑏
) = (𝑚 − 𝑛). log
𝑏
log
𝑏
log
𝑏
) = log
𝑏
𝑥 − log
𝑏
- Constante elevada a un log:
𝒂
𝒂
𝒏
- Propiedad del cambio de base:
Esta propiedad es de utilidad cuando se quiere calcular un
log con la calculadora.
𝒃
log
𝑏
𝑐
Tomo Log en ambos miembros:
log 𝑏 = log 𝑎
𝑐
log 𝑏 = c. log 𝑎
log 𝑏
log 𝑎
- Constante elevada a un log:
𝐥𝐨𝐠 𝒂
𝒙
Just:
log
𝑎
𝑥
log
𝑎
𝑦 = log
𝑎
log
𝑎
𝑥
log
𝑎
𝑦 = log
𝑎
𝑥. log
𝑎
log
𝑎
𝑦 = log
𝑎
LOGARITMOS NATURALES O NEPERIANOS
Los Log neperianos se diferencian de los Log decimales en el hecho de que solo tienen una sola base llamada
𝑒 = 2 , 718281828. .. ln 𝑎 = 𝑛 ↔ 𝑎 = 𝑒
𝑛
Las propiedades de los Log naturales son las mismas que para los decimales salvo en el caso de la propiedad de cambio de
base:
- El Log del número cero no existe.
- El Log del número uno es igual a cero.
0
- El Log de la base 𝑒.
1
e = 𝑒
- Log de una potencia:
𝒏
- Log de una potencia racional:
𝒏
𝟏
𝒏
- Potencia de un Log:
𝒏
𝒏
ln
𝑛
𝑎 ≠ 𝑛. ln 𝑎
- El Log no es distributivo con respecto a la suma y a la
resta.
- El Log de un producto es igual a la suma de los Log.
- El Log de un cociente es igual a la diferencia de los Log:
ECUACIONES LOGARITMICAS
Con logaritmos se pueden llegar a resolver las ecuaciones logarítmicas, entendiéndose como tales expresiones en las cuales
se debe llegar a calcular alguna incógnita que de veracidad a la ecuación planteada. Se deberán usar todas las propiedades de
logaritmos planteadas:
Ejemplo: log 𝑎
𝑥 − 3. log
𝑎
2 = log
𝑎
log
𝑎
𝑥 − log
𝑎
3
= log
𝑎
log
𝑎
3
= log
𝑎
UNIDAD 3: ANÁLISIS COMBINATORIO
TEORIA DE CONJUNTOS
ANALISIS COMBINATORIO
Tiene en cuanta la posición de los elementos.
FORMA FACTORIAL
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
Por definición: 0! = 1
PROPIEDADES
1 - PERMUTACIÓN
Nos da la cantidad total de conjuntos en que pueden distribuirse todos los “𝑚” elementos.
2 - VARIACIÓN
𝒎
𝒏
𝑛 = 𝑆𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 m
Importa la posición de los elementos:
3 - COMBINACIÓN
𝒎
𝒏
𝑛 = 𝑆𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 m
No importa la posición de los elementos.
UNIDAD 4: MATRICES
DEFINICIÓN
Se denomina matriz de (𝒎 𝒙 𝒏) a todo ordenamiento rectangular de números reales distribuidos en 𝒏 columnas y 𝒎 filas.
Todos estos números contenidos dentro de una matriz se denomina componentes de la matriz:
𝑚 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠
𝑛 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
CLASIFICACIÓN DE MATRICES
1 - MATRIZ COLUMNA (VECTOR COLUMNA)
Es la matriz que tiene una sola columna y 𝑚 fila
𝑨 = (𝒎 × 𝟏) 𝐴 = (
1
2
𝑚
)
2 - MATRIZ FILA (VECTOR FILA)
Es la matriz que tiene una sola fila y 𝑛 columnas.
𝑨 = (𝟏 × 𝒏) 𝐴 = (𝑎
𝑎
𝑎
3
…
𝑎
)
3 - MATRIZ NULA (Cuadrada o Rectangular)
( 3 × 3 )
( 2 × 3 )
4 - MATRIZ OPUESTA
Dado 𝐴 = (𝑎 𝑖
𝑚 × 𝑛
entonces la matriz opuesta es - 𝐴 = (−𝑎
𝑖
𝑚 × 𝑛
Ejemplo:
5 - MATRIZ CUADRADA
𝐴
( 3 × 3 )
= (
11
12
13
21
22
23
31
32
33
)
6 - MATRIZ RECTANGULAR
𝐴
( 2 × 3
= (
11
12
13
21
22
23
)
𝐵
( 3 × 2 )
=
(
𝑏
11
𝑏
12
𝑏
21
𝑏
22
𝑏
22
𝑏
23
)
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟐𝟏
𝟑𝟏
𝒎𝟏
𝟐𝟐
𝟑𝟐
𝒎𝟐
𝟐𝟑
𝟑𝟑
𝒎𝟑
𝟏𝟒
𝟏𝒏
𝟐𝟒
𝟑𝟒
𝒎𝟒
𝟐𝒏
𝟑𝒏
𝒎𝒏
7 - MATRIZ DIAGONAL PRINCIPAL (Cuadrada)
𝐷
(𝑚×𝑚)
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐴 = (
11
22
33
)
Los valores pueden ser distintos.
8 - MATRIZ ESCALAR (Cuadrada)
𝐸
( 𝑚×𝑚
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐸 = (
)
Los valores son iguales.
9 - MATRIZ IDENTIDAD (Cuadrada)
𝐼
(𝑚×𝑛)
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐼 = (
)
10 - MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR (Cuadrada)
𝐶
(𝑚×𝑚)
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐶
( 3 × 3 )
= (
11
12
13
22
23
33
)
11 - MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR (Cuadrada)
𝐶
( 𝑚×𝑚
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐶
( 3 × 3
= (
11
21
22
31
32
33
)
12 - MATRIZ DIAGONAL(Cuadrada)
𝐷
(𝑚×𝑚)
= {
𝑖𝑗
𝑖𝑗
𝐷 = (
11
22
33
)
Los valores pueden ser distintos.
13 - IGUALDAD DE DOS MATRICES
Sean 𝐴 (𝑚×𝑛)
y 𝐵
(𝑝×𝑞)
𝐴
(𝑚×𝑛)
= 𝐵
(𝑝×𝑞)
si {
𝑚 = 𝑝 ; 𝑛 = 𝑞
𝑎
; 𝑏
𝐴
(
2 × 3 )
= (
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
13
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
𝐵
( 2 × 3 )
= (
𝑏 11
𝑏
12
𝑏
13
𝑏
21
𝑏
22
𝑏
23
𝑎
11
= 𝑏
11
𝑎
12
= 𝑏
12
𝑎
13
= 𝑏
13
𝑎
21
= 𝑏
21
𝑎
22
= 𝑏
22
𝑎
23
= 𝑏
23
PRODUCTO DE MATRICES
Sean 𝐴 (𝑚×𝑛)
(𝑝×𝑞)
. Definición:
𝐶 = 𝐴 × 𝐵 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑛 = 𝑝 → 𝐵
(𝑚×𝑞)
( 𝑚×𝑛
)
× 𝐵
( 𝑝×𝑞
)
( 𝑚×𝑞
)
Ejemplo:
( 3 × 3
)
× 𝐵
( 2 × 3
)
( 2 × 3 )
× 𝐵
( 3 × 3 )
( 3 × 3 )
11
12
21
22
11
12
21
22
Se pide calcular el producto de: 𝐴 × 𝐵 = 𝐶
11
11
12
11
21
12
11
12
12
22
21
21
22
11
21
22
21
22
12
22
La matriz solución será:
MATRIZ DE COFACTORES
𝑇
( 3 × 3 )
11
12
13
21
22
23
31
32
33
( 3 × 3 )
11
12
13
21
22
23
31
32
33
𝑖𝑗
𝑖+𝑗
𝑖𝑗
𝑖𝑗
2
22
23
32
33
3
21
23
31
33
4
21
22
31
32
3
12
13
32
33
4
11
13
31
33
5
11
12
31
32
4
12
13
22
23
5
11
13
21
23
6
11
12
21
22
MATRIZ ADJUNTA
𝐴𝑑𝑗 𝐴 = (𝐶𝑜𝑓 𝐴)
𝑇
11
12
21
22
MATRIZ INVERSA (Cuadrada)
− 1
−𝟏
SISTEMA DE MÉTODOS DE DETERMINANTES
Δx
Δz
Δy
Δw
𝑇
− 1
PROPIEDAD N° 7 : Si una fila o columna es la suma de las otras dos filas, entonces |𝐴| = 0
Ejemplo: |𝐴| = |
PROPIEDAD N° 8 : Dada una matriz 𝐴
(𝑛×𝑛)
entonces: |𝐴| = |𝐴
𝑇
| el determinante de A es igual al determinante de A
transpuesta.
12
13
21
22
23
31
32
33
21
31
12
22
32
13
23
33
PROPIEDAD N° 9 : Sean A y B matrices de (𝑛 × 𝑛) , entonces:
11
12
21
22
11
12
21
22
12
21
12
22
21
11
22
21
21
21
22
22
22
21
12
22
21
12
11
22
21
12
11
22
21
12
11
22
11
22
11
22
21
12
21
12
11
22
21
12
21
12
MÉTODO DE SARRUS
1 - REPETIR LAS DOS PRIMERAS FILAS
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝟑
𝟑𝟏
𝟏𝟏
𝟐𝟏
𝟑𝟐
𝟏𝟐
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟏𝟑
𝟐𝟑
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟐𝟏
𝟑𝟐
𝟏𝟑
𝟑𝟏
𝟏𝟐
𝟐𝟑
𝟑𝟏
𝟐𝟐
𝟏𝟑
𝟏𝟏
𝟑𝟐
𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟏𝟐
𝟑𝟑
2 - REPETIR LAS DOS PRIMERAS COLUMNAS
𝟏𝟏
𝟐𝟏
𝟑𝟏
𝟏𝟐
𝟐𝟐
𝟑𝟐
𝟏𝟑
𝟐𝟑
𝟑𝟑
𝟏𝟏
𝟐𝟏
𝟑𝟏
𝟏𝟐
𝟐𝟐
𝟑𝟐
𝟏𝟏
𝟐𝟐
𝟑𝟑
𝟏𝟐
𝟐𝟑
𝟑𝟏
𝟏𝟑
𝟐𝟏
𝟑𝟐
𝟑𝟏
𝟐𝟐
𝟏𝟑
𝟑𝟐
𝟐𝟑
𝟏𝟏
𝟑𝟑
𝟐𝟏
𝟏𝟐
MÉTODO DE LAPLACE
𝒊𝒋
𝒊+𝒋
𝒊𝒋
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟐
𝟐𝟑
𝟑𝟏
𝟑𝟐
𝟑𝟑
𝟐+𝟏
𝟐𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟑𝟐
𝟑𝟑
𝟐+𝟐
𝟐𝟐
𝟏𝟏
𝟏𝟑
𝟑𝟏
𝟑𝟑
𝟐+𝟑
𝟐𝟑
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟑𝟏
𝟑𝟐
Se elije una fila o columna para el determinante y se calcula.
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ( 3 × 3 ) = (
) ; 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 ( 4 × 4 ) = (
INVERSA DE UNA MATRIZ DE ORDEN N. MATRIZ DE COFACTORES Y ADJUNTA
−𝟏
−𝟏
− 1
−𝟏
𝑇
MÉTODO DE GAUSS
11
12
13
1
21
22
23
2
31
22
33
3
11
12
13
1
21
23
2
22
33
3
se completa:
11
12
13
1
21
23
2
22
33
3
1° CASO
1. Matriz Ampliada:
12
13
1
22
23
2
32
33
3
2. A)
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟒
𝟐
o Para calcular 𝑐 1
2
1
se ignora la tercera fila.
o Para calcular 𝑐 3
4
2
se ignora la tercera fila.
B) )
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟓
𝟑
3. Se determina el sistema equivalente:
𝟏𝟏
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝟏
(1° 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝟏
𝟐
𝟏
(2° 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝟓
𝟑
(3° 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
5
. z =
𝑑
3
3
5
1
11
12
22
2
11
13
23
1
11
1
2
3
11
12
32
4
11
13
33
2
11
1
31
3
5
1
2
3
4
3
1
3
2
11
→ No tiene que
ser 0, sino hay que
cambiar de fila.
11
→ Elemento
pigor, único elemento
que se usa en todos.
UNIDAD 7: TRIGONOMETRIA
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS
RELACIONES TRIGONOMETRICAS IMPORTANTES
sen
2
𝛼 + cos
2
cosec 𝛼 =
sen 𝛼
sec 𝛼 =
cos 𝛼
ctg α =
ctg α =
cos 𝛼
sen 𝛼
tg 𝛼 =
sen 𝛼
cos 𝛼
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS POR CUADRANTE
VALORES NOTABLES
sen 𝛿 =
cos 𝛿 =
tg 𝛿 =
cosec 𝛿 =
sec 𝛿 =
ctg 𝛿 =
APLICACIONES ECONOMICAS
DEMANDA
Muestra las distintas cantidades de un bien que un consumidor está dispuesto a adquirir , por unidad de tiempo, a los
diferentes precios alternativos posibles, ceteris paribus (el resto de variables permanecen constantes).
o CURVA DE LA DEMANDA: Es una curva que muestra las cantidades de un bien que un consumidor está dispuesto a
pagar y puede hacerlo, para comprar a diferentes niveles de precios.
o LEY DE LA DEMANDA: el incremento en el precio (P) causa una disminución en la cantidad demandada (Q) y viceversa,
la disminución del precio elevará la cantidad demandada.
OFERTA
El objetivo de todo productor es de maximizar sus ganancias (a corto plazo), y minimizar costos (a largo plazo); de esta
premisa se desprende una serie de conclusiones expuestas a continuación.
La oferta muestra las distintas cantidades de un bien que el oferente está dispuesto a ofrecer por unidad de tiempo a los
distintos precios alternativos.
o CURVA DE LA OFERTA : Es una curva que muestra las cantidades de un bien que un vendedor está dispuesto a vender a
diferentes niveles de precios alternativos, suponiendo que todos los demás determinantes permanecen constantes.
o LEY DE LA OFERTA: el incremento en el precio (P) causa un incremento en la cantidad ofrecida (Q) y una disminución
en el precio ocasiona una reducción de la cantidad ofrecida.
INGRESOS. COSTOS. BENEFICIOS
o INGRESO : El ingreso total está dado por el precio unitario y la cantidad de unidades vendidas
𝐼𝑇 = 𝑝 × 𝑞
o COSTO : El costo total (CT) = CV +CF , de producir y comercializar q unidades está dado por la función (CV) = 𝒄𝒖 × 𝒒 ,
donde 𝑐𝑢 es el costo unitario. El Costo Fijo (CF) es aquel que no depende del nivel de actividad de la empresa , sino que
se incurre en él, independientemente del volumen de negocio. Ej.: el alquiler de las oficinas.
El Costo Variable (CV) es aquel que evoluciona en paralelo con el volumen de actividad de la compañía. De hecho, si la
actividad fuera nula, este sería cero.
o BENEFICIO: El beneficio está dado por la diferencia entre Ingreso Total menos el Costo Total.
