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Factorizacion para Matematica General, Apuntes de Matemáticas

Aqui podras encontrar material para el estudio de factorizacion en la materia de Matematica general

Tipo: Apuntes

2022/2023

Subido el 02/10/2022

ricardo-rivero-1
ricardo-rivero-1 🇻🇪

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bg1
FACTORIZACIÓN
LIC. HAYLED F. RANGEL
1
¿En qué consiste factorizar?
Factorizar consiste en escribir una expresión algebraica en forma de productos, así al resolver dichos
productos, obtenemos la expresión propuesta. Veamos:
Si tenemos:
(1.) el número: 24 lo podemos escribir como 3 23,ya que 23= 8 𝑦 3 8 = 24
(2.) el polinomio 𝑥2+ 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)=(𝑥 + 1)2
En ambos casos, hemos escrito un número y un polinomio en forma de producto.
Realicemos una comparación entre los productos notables y la factorización a través del siguiente
cuadro:
CASO DE PRODUCTO NOTABLE
CASO DE FACTORIZACIÓN
Cuadrado de una suma (𝑎+𝑏)2
Cuadrado de una diferencia (𝑎𝑏)2
Trinomio cuadrado perfecto 𝑎2+2𝑎𝑏 + 𝑏2
o bien 𝑎22𝑎𝑏 + 𝑏2
Suma por su diferencia (𝑎 + 𝑏)(𝑎 𝑏)
Diferencia de cuadrados 𝑎2 𝑏2
Productos de dos binomios con un término
común (𝑥 ± 𝑎)(𝑥 ± 𝑏)
Trinomio de la forma 𝑥2+(±𝑎 ± 𝑏)𝑥 + (±𝑎)(±𝑏)
Cubo de una suma (𝑎 + 𝑏)3
Cubo de una diferencia (𝑎 𝑏)3
Cubo perfecto 𝑎3+ 3(𝑎)2(𝑏)+ 3(𝑎)(𝑏)2+ 𝑏3
o bien 𝑎3 3(𝑎)2(𝑏)+ 3(𝑎)(𝑏)2 𝑏3
Como podemos observar, los casos de factorización descritos en el cuadro anterior, corresponden al
desarrollo de los productos notables estudiados, de manera que es de vital importancia tenerlos muy
claros.
este resultado es el producto notable
“cuadrado de una suma”
Universidad Metropolitana
Facultad de Ciencias y Artes
Departamento de Matemáticas
Cálculo Aplicado I (FBTMA01)
Profesora: Hayled Rangel
pf3
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¡Descarga Factorizacion para Matematica General y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

¿En qué consiste factorizar?

Factorizar consiste en escribir una expresión algebraica en forma de productos, así al resolver dichos

productos, obtenemos la expresión propuesta. Veamos:

Si tenemos:

(1.) el número: 24 lo podemos escribir como 3 ∙ 2

3

,ya que 2

3

(2.) el polinomio 𝑥

2

2

En ambos casos, hemos escrito un número y un polinomio en forma de producto.

Realicemos una comparación entre los productos notables y la factorización a través del siguiente

cuadro:

CASO DE PRODUCTO NOTABLE CASO DE FACTORIZACIÓN

Cuadrado de una suma

2

Cuadrado de una diferencia (𝑎 − 𝑏)

2

Trinomio cuadrado perfecto 𝑎

2

2

o bien 𝑎

2

2

Suma por su diferencia (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Diferencia de cuadrados 𝑎

2

2

Productos de dos binomios con un término

común

Trinomio de la forma 𝑥

2

Cubo de una suma

3

Cubo de una diferencia (𝑎 − 𝑏)

3

Cubo perfecto 𝑎

3

2

2

3

o bien 𝑎

3

2

2

3

Como podemos observar, los casos de factorización descritos en el cuadro anterior, corresponden al

desarrollo de los productos notables estudiados, de manera que es de vital importancia tenerlos muy

claros.

este resultado es el producto notable

“cuadrado de una suma”

Universidad Metropolitana

Facultad de Ciencias y Artes

Departamento de Matemáticas

Cálculo Aplicado I (FBTMA01)

Profesora: Hayled Rangel

Ejemplos:

Factoriza las siguientes expresiones:

2

2

4

Veamos si podemos encontrar dos expresiones que elevadas al cuadrado sean iguales a

2

" y "𝑦

4

En efecto las hay, "2𝑥" y "𝑦

2

", ya que: ( 2 𝑥)

2

2

y (𝑦

2

2

4

, lo que corresponde

entonces a un Trinomio Cuadrado Perfecto, que viene del Producto Notable “Cuadrado de

una Suma”, y como el segundo término de la expresión es “positivo”, luego escribimos:

2

2

4

2

2

, ya que al resolver:

NOTAS IMPORTANTES

 Si en el ejercicio anterior, el segundo término es “negativo”:

2

2

4

2

2

, viene del producto notable “Cuadrado de una Diferencia”

 También es importante resaltar que el polinomio no tiene por qué estar ordenado, de forma

tal que nos lo pueden dar así:

2

4

2

y lo podemos ordenar 4 𝑥

2

2

4

Al observar con detenimiento la primera expresión (sin ordenar), nos damos cuenta que el

primer y segundo término tienen cuadrados y el tercer término es 2 ( 2 𝑥)(𝑦

2

2

Esto último es muy importante verificarlo, porque si no se cumple, no sería un Trinomio

Cuadrado Perfecto.

1

4

− 9 𝑎

2

Del cuadro anterior se desprende que, el único caso que solo tiene dos términos es

Diferencia de Cuadrados, por lo que debemos encontrar un número que elevado al

cuadrado sea igual a "

1

4

" y a su vez, una expresión que también elevada al cuadrado sea

igual a "9𝑎

2

", así tenemos:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

Podemos observar que estamos en presencia de un trinomio, o es Cuadrado Perfecto o es

De la Forma.

El tercer término tiene cuadrado, ya que 4 = 2

2

. Por otro lado, el número 6 no tiene

cuadrado, lo que nos lleva a la conclusión de que es un Trinomio de la Forma.

Reordenamos el trinomio así:

2

2

Entonces,

2

= ( 2 + 3 𝑥)( 2 + 2 𝑥), ya que 3 𝑥 ∙ 2 𝑥 = 6 𝑥

2

y 3 𝑥 + 2 𝑥 = 5 𝑥 (multiplicado por el

término común es

igual a 10 𝑥)

2

3

Del cuadro de la primera página tenemos que, el único caso que tiene cuatro términos es

Cubo Perfecto, por lo que debemos encontrar:

(a.) un número que elevado al cubo se igual a "1" , es decir, 1 = 1

3

(b.) una expresión que elevada al cubo sea igual a "𝑥

3

", es decir, 𝑥 = 𝑥

3

(c.) vericar que los téminos centrales sean “tres veces el primer término al cuadrado

por el segundo” y “tres veces el primer término por el segundo al cuadrado”.

2

3

3

, viene del producto notable “Cubo de una Suma”

NOTA IMPORTANTE

 En el ejercicio anterior, si los signos fueran alternados, es decir:

2

3

3

, viene del producto notable “Cubo de una Diferencia”

2 (termino común)

suma algebraica, multiplicada por el término común

multiplicación de los términos no comunes

viene del producto notable “Productos de dos binomios con un

Termino Comun”

EJERCICIOS PROPUESTOS

Factoriza las siguientes expresiones y escribe el nombre del caso de factorización:

RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

Hay un caso que no proviene de productos notables como lo es: Factor Común.

Factor Común

Cuando vamos a factorizar sacando el factor común de una expresión polinómica, debemos encontrar:

 el mayor múltiplo contenido en las cantidades numéricas que se nos presenten

 la parte literal (letra o letras que acompañan a los números) contenida en todos los términos,

con su menor exponente, según sea el caso.

Ejemplos:

Factoriza las siguientes expresiones:

2

En este caso, tenemos dos términos que tienen en común el número tres “3”, ya que doce

“12” es un múltiplo del mismo, entonces:

2

2

Los términos dentro del paréntesis se obtienen dividiendo, cada uno de los términos dados

entre el factor común. Así:

3 𝑥

2

3

2

, se simplifica el 3 del numerador con el 3 del denominador y

12

3

= 4 , se simplifica la fracción 12 ÷ 3 = 4

(a.) 𝑥

2

− 10 𝑥 + 25 (b.) 16 + 40 𝑎

2

4

(c.) 𝑦

2

(d.) 1 − 4 𝑦

2

(e.) 9 𝑎

2

  • 30 𝑎 + 24 (f.) − 25 + 𝑥

2

(a.) (𝑥 − 5 )

2

Trinomio Cuadrado Perfecto

(b.)

2

2

Trinomio Cuadrado Perfecto

(c.) (𝑦 + 2 )(𝑦 − 2 )

Diferencia de Cuadrados

(d.) ( 1 − 2 𝑦)( 1 + 2 𝑦)

Diferencia de Cuadrados

(e.) ( 3 𝑎 + 4 )( 3 𝑎 + 6 )

Trinomio de la Forma

(f.) (𝑥 − 5 )(𝑥 + 5 )

Diferencia de Cuadrados

3 (factor común)

En este ejercicio tenemos dos términos "𝑥

" y " − 3 𝑦

" que tienen en

común el factor "

", luego:

Ya que, si dividimos cada término entre el factor común, obtenemos:

= 𝒙 y

Ahora bien, puede que se nos presenten ejercicios donde tengamos que agrupar términos para luego

sacar factor común, como lo mostramos a continuación con los siguientes ejemplos:

3

2

Podemos observar que tenemos cuatro términos, donde el primer término "5𝑥

3

" y el cuarto

término " 5 𝑥" tienen en común el factor "5𝑥", vamos a aplicar entonces la propiedad

asociativa:

3

2

3

2

), también asociamos los que quedan “solos”

2

2

, sacamos factor común en el primer paréntesis

2

2

), sacamos factor común " − " en el 2do. paréntesis

2

Ya que, si dividimos cada término entre el factor común, obtenemos:

2

2

= 𝟓𝒙 y

2

2

(𝑎 − 2 𝑏) (factor común)

5 𝑥 (factor común)

2

  • 1 ) (factor común)

3

2

Podemos agrupar de la siguiente manera:

3

2

3

2

2

(𝑎 − 𝑐) + 3 𝑥(𝑐 − 𝑎), sacamos factor común en ambos paréntesis

Ahora, nos quedan dos términos " 4 𝑎

2

(𝑎 − 𝑐)" y " 3 𝑥(𝑐 − 𝑎)" y observamos que en el

segundo término las letras “𝑎” y “𝑐” tienen signos opuestos a las letras del primer

paréntesis, así:

 La letra “𝑎” es positiva en el primer paréntesis, mientras que en el segundo

paréntesis es negativa

 La letra “𝑐” es negativa en el primer paréntesis, mientras que en el segundo

paréntesis es positiva

Para poder sacar factor común "(𝑎 − 𝑐)", tenemos que cambiarle los signos a las letras del

segundo paréntesis y esto lo hacemos colocando un “menos” delante del segundo

paréntesis y cambiando los signos de las letras dentro del mismo, tal y como lo hicimos en

el ejercicio anterior, de manera que:

2

2

2

2

2

(factor común) (factor común)