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¿En qué consiste factorizar?
Factorizar consiste en escribir una expresión algebraica en forma de productos, así al resolver dichos
productos, obtenemos la expresión propuesta. Veamos:
Si tenemos:
(1.) el número: 24 lo podemos escribir como 3 ∙ 2
3
,ya que 2
3
(2.) el polinomio 𝑥
2
2
En ambos casos, hemos escrito un número y un polinomio en forma de producto.
Realicemos una comparación entre los productos notables y la factorización a través del siguiente
cuadro:
CASO DE PRODUCTO NOTABLE CASO DE FACTORIZACIÓN
Cuadrado de una suma
2
Cuadrado de una diferencia (𝑎 − 𝑏)
2
Trinomio cuadrado perfecto 𝑎
2
2
o bien 𝑎
2
2
Suma por su diferencia (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) Diferencia de cuadrados 𝑎
2
2
Productos de dos binomios con un término
común
Trinomio de la forma 𝑥
2
Cubo de una suma
3
Cubo de una diferencia (𝑎 − 𝑏)
3
Cubo perfecto 𝑎
3
2
2
3
o bien 𝑎
3
2
2
3
Como podemos observar, los casos de factorización descritos en el cuadro anterior, corresponden al
desarrollo de los productos notables estudiados, de manera que es de vital importancia tenerlos muy
claros.
este resultado es el producto notable
“cuadrado de una suma”
Universidad Metropolitana
Facultad de Ciencias y Artes
Departamento de Matemáticas
Cálculo Aplicado I (FBTMA01)
Profesora: Hayled Rangel
Ejemplos:
Factoriza las siguientes expresiones:
2
2
4
Veamos si podemos encontrar dos expresiones que elevadas al cuadrado sean iguales a
2
" y "𝑦
4
En efecto las hay, "2𝑥" y "𝑦
2
", ya que: ( 2 𝑥)
2
2
y (𝑦
2
2
4
, lo que corresponde
entonces a un Trinomio Cuadrado Perfecto, que viene del Producto Notable “Cuadrado de
una Suma”, y como el segundo término de la expresión es “positivo”, luego escribimos:
2
2
4
2
2
, ya que al resolver:
NOTAS IMPORTANTES
Si en el ejercicio anterior, el segundo término es “negativo”:
2
2
4
2
2
, viene del producto notable “Cuadrado de una Diferencia”
También es importante resaltar que el polinomio no tiene por qué estar ordenado, de forma
tal que nos lo pueden dar así:
2
4
2
y lo podemos ordenar 4 𝑥
2
2
4
Al observar con detenimiento la primera expresión (sin ordenar), nos damos cuenta que el
primer y segundo término tienen cuadrados y el tercer término es 2 ( 2 𝑥)(𝑦
2
2
Esto último es muy importante verificarlo, porque si no se cumple, no sería un Trinomio
Cuadrado Perfecto.
1
4
− 9 𝑎
2
Del cuadro anterior se desprende que, el único caso que solo tiene dos términos es
Diferencia de Cuadrados, por lo que debemos encontrar un número que elevado al
cuadrado sea igual a "
1
4
" y a su vez, una expresión que también elevada al cuadrado sea
igual a "9𝑎
2
", así tenemos:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
Podemos observar que estamos en presencia de un trinomio, o es Cuadrado Perfecto o es
De la Forma.
El tercer término tiene cuadrado, ya que 4 = 2
2
. Por otro lado, el número 6 no tiene
cuadrado, lo que nos lleva a la conclusión de que es un Trinomio de la Forma.
Reordenamos el trinomio así:
2
2
Entonces,
2
= ( 2 + 3 𝑥)( 2 + 2 𝑥), ya que 3 𝑥 ∙ 2 𝑥 = 6 𝑥
2
y 3 𝑥 + 2 𝑥 = 5 𝑥 (multiplicado por el
término común es
igual a 10 𝑥)
2
3
Del cuadro de la primera página tenemos que, el único caso que tiene cuatro términos es
Cubo Perfecto, por lo que debemos encontrar:
(a.) un número que elevado al cubo se igual a "1" , es decir, 1 = 1
3
(b.) una expresión que elevada al cubo sea igual a "𝑥
3
", es decir, 𝑥 = 𝑥
3
(c.) vericar que los téminos centrales sean “tres veces el primer término al cuadrado
por el segundo” y “tres veces el primer término por el segundo al cuadrado”.
2
3
3
, viene del producto notable “Cubo de una Suma”
NOTA IMPORTANTE
En el ejercicio anterior, si los signos fueran alternados, es decir:
2
3
3
, viene del producto notable “Cubo de una Diferencia”
2 (termino común)
suma algebraica, multiplicada por el término común
multiplicación de los términos no comunes
viene del producto notable “Productos de dos binomios con un
Termino Comun”
EJERCICIOS PROPUESTOS
Factoriza las siguientes expresiones y escribe el nombre del caso de factorización:
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
Hay un caso que no proviene de productos notables como lo es: Factor Común.
Factor Común
Cuando vamos a factorizar sacando el factor común de una expresión polinómica, debemos encontrar:
el mayor múltiplo contenido en las cantidades numéricas que se nos presenten
la parte literal (letra o letras que acompañan a los números) contenida en todos los términos,
con su menor exponente, según sea el caso.
Ejemplos:
Factoriza las siguientes expresiones:
2
En este caso, tenemos dos términos que tienen en común el número tres “3”, ya que doce
“12” es un múltiplo del mismo, entonces:
2
2
Los términos dentro del paréntesis se obtienen dividiendo, cada uno de los términos dados
entre el factor común. Así:
3 𝑥
2
3
2
, se simplifica el 3 del numerador con el 3 del denominador y
12
3
= 4 , se simplifica la fracción 12 ÷ 3 = 4
(a.) 𝑥
2
− 10 𝑥 + 25 (b.) 16 + 40 𝑎
2
4
(c.) 𝑦
2
(d.) 1 − 4 𝑦
2
(e.) 9 𝑎
2
2
(a.) (𝑥 − 5 )
2
Trinomio Cuadrado Perfecto
(b.)
2
2
Trinomio Cuadrado Perfecto
(c.) (𝑦 + 2 )(𝑦 − 2 )
Diferencia de Cuadrados
(d.) ( 1 − 2 𝑦)( 1 + 2 𝑦)
Diferencia de Cuadrados
(e.) ( 3 𝑎 + 4 )( 3 𝑎 + 6 )
Trinomio de la Forma
(f.) (𝑥 − 5 )(𝑥 + 5 )
Diferencia de Cuadrados
3 (factor común)
En este ejercicio tenemos dos términos "𝑥
" y " − 3 𝑦
" que tienen en
común el factor "
", luego:
Ya que, si dividimos cada término entre el factor común, obtenemos:
= 𝒙 y
Ahora bien, puede que se nos presenten ejercicios donde tengamos que agrupar términos para luego
sacar factor común, como lo mostramos a continuación con los siguientes ejemplos:
3
2
Podemos observar que tenemos cuatro términos, donde el primer término "5𝑥
3
" y el cuarto
término " 5 𝑥" tienen en común el factor "5𝑥", vamos a aplicar entonces la propiedad
asociativa:
3
2
3
2
), también asociamos los que quedan “solos”
2
2
, sacamos factor común en el primer paréntesis
2
2
), sacamos factor común " − " en el 2do. paréntesis
2
Ya que, si dividimos cada término entre el factor común, obtenemos:
2
2
= 𝟓𝒙 y
2
2
(𝑎 − 2 𝑏) (factor común)
5 𝑥 (factor común)
2
3
2
Podemos agrupar de la siguiente manera:
3
2
3
2
2
(𝑎 − 𝑐) + 3 𝑥(𝑐 − 𝑎), sacamos factor común en ambos paréntesis
Ahora, nos quedan dos términos " 4 𝑎
2
(𝑎 − 𝑐)" y " 3 𝑥(𝑐 − 𝑎)" y observamos que en el
segundo término las letras “𝑎” y “𝑐” tienen signos opuestos a las letras del primer
paréntesis, así:
La letra “𝑎” es positiva en el primer paréntesis, mientras que en el segundo
paréntesis es negativa
La letra “𝑐” es negativa en el primer paréntesis, mientras que en el segundo
paréntesis es positiva
Para poder sacar factor común "(𝑎 − 𝑐)", tenemos que cambiarle los signos a las letras del
segundo paréntesis y esto lo hacemos colocando un “menos” delante del segundo
paréntesis y cambiando los signos de las letras dentro del mismo, tal y como lo hicimos en
el ejercicio anterior, de manera que:
2
2
2
2
2
(factor común) (factor común)
