Examen resuelto de problemas, Ejercicios de Matemáticas

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Probabilidad de

sucesos compuestos

A B

A - B A y B

A - B

UNIDAD

Ejemplos Los siguientes conjuntos están dados por extensión. Escríbelos por comprensión: a) O = {suma, resta, multiplicación, división} b) B = {enero, febrero, marzo, ..., diciembre} c) P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} d) Q = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,...} Solución a) Es el conjunto de las operaciones fundamentales de la aritmética. O = { x / x es una operación fundamental de la aritmética} Se lee: “A es el conjunto de todas las x , tal que x es una Operación fundamental de la aritmética”. b) Es el conjunto de los meses del año. B = {x / x es un mes del año} Se lee: “B es el conjunto de todas las x, tales que x es un mes del año”. c) Es el conjunto de los números naturales pares. P = {x / x es un número natural divisible entre 2} O bien: P = {x / x es un número natural par}. O en forma más compacta: P = {x / x∈N y es par}, P = {x / x ∈N y es divisible entre 2}, P = {x / x = 2n, n ∈ N} d) Es el conjunto de los números primos. Q = {x / x es un número primo} A continuación recordaremos las definiciones y operaciones elementales entre conjuntos que se utilizan en el estudio de la probabilidad.

Conjuntos finito e infinitos

Un conjunto es finito si sus elementos se pueden contar. El conjunto V = { a, e, i, o, u } es finito En caso contrario, es decir, un conjunto en que no se pueden contar sus elementos se denomina conjunto infinito. El conjunto de los números naturales, el de números pares, el de números enteros, el de los racionales, el de los reales, son todos conjuntos infinitos.

Cardinalidad de un conjunto

En un conjunto finito cualquiera A , se llama cardinalidad del conjunto al número de sus elementos. La cardinalidad del conjunto A suele representarse por n (A). La cardinalidad del conjunto A = { a, e, i, o, u } es n (A) = 5.

Conjunto vacío

Tratemos de enumerar los elementos del siguiente conjunto: A = { x/x es una mujer que haya sido presidente de México hasta el año 2009} Obsérvese que no existe persona que tenga esta propiedad. Por lo tanto, este conjunto A, no tiene elementos: A = { } Este tipo de conjuntos sin elementos, se presenta frecuentemente en matemáticas; se llama conjunto vacío y se representa con el símbolo: φ. Conjunto vacío , es un conjunto que no tiene elementos. El símbolo que lo representa es: φ

Subconjuntos

Un conjunto A se dice que es subconjunto del conjunto B cuando todo elemento de A es elemento de B. Se representa : A ⊂ B y se lee: “ A es subconjunto de B ” o “ A está contenido en B ” o “ A está incluido en B ” Para representar que un conjunto no es subconjunto de otro, se utiliza el símbolo ⊄. H ⊄ D significa que H no es subconjunto de B. El conjunto vacío, φ, es subconjunto de cualquier conjunto. Si A es un conjunto arbitrario, entonces φ ⊂ A Sea A un conjunto cualquiera, se cumple que A ⊂ A. Ejemplos: 1. En los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 7} el elemento 5 pertenece a A y no pertenece a B; por lo tanto A no es subconjunto de B. Esto se denota A ⊄ B (Se lee: A no está contenido en B, o A no es subconjunto de B).

2. El conjunto A = { x/x es un paralelogramo}es un subconjunto del conjunto C = {cuadriláteros}

conjunto de interés. En el diagrama de la derecha se ha coloreado el conjunto A. (^6 9) U 2 A^ 1 5 3 0 8 4 7 La representación de dos conjuntos presenta alguna de las siguientes opciones A B

U A B U^ A U

B

Cuando A y B no tienen elementos comunes. A y B se llaman conjuntos mutuamente excluyentes, disjuntos o ajenos. Cuando A y B tienen al menos un elemento común. Cuando todos los elementos del conjunto B pertenecen al conjunto A. Ejemplo a) Los conjuntos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {2, 4, 6, 8} quedan representados:

A B

9 U (^1 2 ) (^5 ) (^3 ) (^0 ) El diagrama ilustra que los elementos 2 y 4 pertenecen a ambos conjuntos. Los conjuntos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {6, 7} quedan representados: 9 U A 0 B 1 2 6 4 3 5 7 8 El diagrama ilustra que los conjuntos A y B no tienen elementos comunes. Son conjuntos disjuntos, ajenos o mutuamente excluyentes. c) Los conjuntos: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5} quedan representados: 8 1 A^2

6 U

4 5

B 0

3 9 7 El diagrama ilustra que A contiene a B, o lo que es lo mismo, todo elemento de B es elemento de A. B ⊂ A

Intersección

Dados dos conjuntos A y B, la intersección de A y B , que se escribe A ∩ B , es el conjunto formado por todos aquellos elementos que son comunes a A y a B. En forma simbólica: A ∩ B = { x/x ∈ A y x ∈ B} En un diagrama de Venn: A B

U

La región representa A ∩ B Ejemplo Si A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {2, 5, 8, 11, 14}

A ∩ B = {2, 8}

Para formar el diagrama de Venn, primero se localizan los elementos de la intersección y después se completa cada conjunto. A ∩ B 1 2 14 5 4 8 11 16

Las operaciones combinadas, A ∩ B', A' ∩ B y A' ∩ B' Estas operaciones cobran relevancia especial en el tratamiento de la probabilidad. Nos interesa de manera particular, la región que ocupan dentro de un diagrama de Venn. Utilizaremos un ejemplo para encontrar tales regiones. Ejemplo (^) Dados: U = {x/x es un número dígito} A = {x/x es dígito múltiplo de 2} B = {x/x es dígito múltiplo de 3} Determina: a) A ∩ B, b) A ∩ B', c) A' ∩ B y d) A' ∩ B' Solución Primero formemos el diagrama de Venn. Para ello necesitamos expresar los conjuntos dados, por extensión U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 4, 6, 8} B = {3, 6, 9} Para formar el diagrama de Venn primero se localizan los elementos comunes y después se completa cada conjunto 1 A B

U

2 6 3 7 0 4 8 9 5 a) A ∩ B Está formado por los elementos que están en A y en B (múltiplos de 2 y múltiplos de 3) 1 A^ B^

U

A ∩ B = {6}

(^2 6 ) 0 4 8 9 5 La región representa A ∩ B

b) A ∩ B' Está formado por los elementos que están en A y no están en B (múltiplos de 2 y no son múltiplos de 3) 1 A B

U

A ∩ B' = {2, 4, 6, 8} ∩ {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} = {2, 4, 8} (^2 6 3 ) 0 4 8 9 5 La región representa A ∩ B' (sí A y no B) c) A' ∩ B Está formado por los elementos que no están en A y sí están en B ( no son múltiplos de 2 y son múltiplos de 3) 1 A^ B

U

A' ∩ B = {0, 1, 3, 5, 7, 9} ∩ {3, 6, 9} = {3, 9} (^2 6 3 ) 0 4 8 9 5 La región representa A' ∩ B ( no A y sí B) d) A' ∩ B' Está formado por los elementos que no están en A y no están en B ( no son múltiplos de 2 y no son múltiplos de 3) A' ∩ B' = {0, 1, 3, 5, 7, 9} ∩ {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} = {0, 1, 5, 7}

1 A B

U (^2 6 3 ) 0 4 8 9 5 La región representa A' ∩ B' (no A y no B)

Actividad 2.1 b

1. Sean los conjuntos: U = {x/x es número dígito} A = {x/x es número dígito primo} B = {x/x es número dígito impar} Determina e interpreta a) A ∩ B b) A ∩ B' c) A' ∩ B d) A' ∩ B'

Ejemplo Sean los conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, b, f, g} y B = {f, g, h} La diferencia A − B es: A − B = {a, b, f, g} − {f, g, h} = {a, b} Asimismo: B − A = {f, g, h} − {a, b, f, g} = {h} c A B U (^) e A B

U

a a f (^) h f h b^ g^ b^ g d e (^) c d La región representa A − B La región representa B − A La operación "−" tiene un significado equivalente a una intersección. A − B significa " sí A y no B" A B A − B = A ∩ B' Asimismo B − A significa " sí B y no A" B − A = B ∩ A' A B

Actividad 2.1 d

Con los datos del ejemplo anterior, comprueba que A − B = A ∩ B' , B − A = B ∩ A'. Para ello, determina los elementos de A ∩ B' y B ∩ A' y compáralos con los de A − B y B − A respectivamente (dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, sin importar el orden). A ∩ B'={a,b} B ∩ A' ={h} A – B= {a,b} B – A= {h} Si concuerdan los resultados de los conjuntos

Unión El conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o a los dos se llama

unión de A y B ; se le designa mediante A ∪ B y se define como: A ∪ B = {x/x ∈ A o x ∈ B o ambas cosas a la vez} El conjunto A ∪ B está representado en la región sombreada del siguiente diagrama: A B

U

La unión cumple con las siguientes propiedades A B  B A A A  A A φ  A A U  U Ejemplos 1) Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c} la unión de ambos será A ∪ B = {1, 2, 3, 4, a, b, c} 1

A

B

U

4 a b 3 2 c^ La región^ representa A^ ∪^ B

2. Si A = {1, 2, 4, 8, 16} y B = {2, 5, 8, 11, 14} entonces A ∪ B = {1, 2, 4, 5, 8, 11, 14, 16} Los elementos comunes a ambos conjuntos no deben repetirse A B

U

16 2 14 4 8 11 La región representa A ∪ B 1 5 Leeremos ∪ como "o".

Operaciones con sucesos

Debido a que existe un paralelismo entre conjuntos y sucesos, podemos extender la terminología de los conjuntos, para describir sucesos. Primero, realiza la siguiente actividad: Actividad 2.1 f Analiza las siguientes situaciones y contesta lo indicado. El señor Vega necesita recoger un paquete en la oficina de correos. Para realizar dicho trámite le piden como identificación credencial de elector o licencia de manejo. ¿Cuáles de las siguientes opciones tiene el señor Vega? (Señala en un diagrama de Venn la zona correspondiente a cada posibilidad). El inciso a) y c) a) Puede llevar la credencial. b) Puede llevar la credencial únicamente C L C L C indica credencial. L indica licencia c) Puede llevar la licencia. C L d) Puede llevar la licencia únicamente. C L e) Puede llevar la credencial y la licencia. C L Sombrea la parte del diagrama que “favorece” al señor Vega (licencia o credencial): C L Plantea aquí tu respuesta: _____

C (^) AL C L

Actividad 2.1 f (Cont.) Ahora, el señor Vega necesita comprar un automóvil en EEUU. Le piden como requisito pasaporte y licencia de manejo. ¿Cómo debe interpretarse el conectivo “ y ” al pedirle pasaporte y licencia? Señala en un diagrama la zona que favorece al señor Vega. P L Ahora, procederemos a establecer la equivalencia entre conjuntos y sucesos (o eventos). Para ello, consideraremos como conjunto universal al espacio muestral correspondiente al experimento de interés. El suceso complemento del suceso A, es el suceso constituido por todos los resultados de S que no están en A y se representa por Ā o A'. El complemento de A, equivale a la negación de A. Intersección de dos sucesos A y B , es un suceso que ocurre si A y B se realizan simultáneamente (ambos). Esto se escribe: A ∩ B Unión de dos sucesos A y B es un suceso que se rea-liza si A o B se realizan. Es decir, el suceso A o B, ocurre, si: Sucede A Sucede B Suceden ambos. En términos de conjuntos se escribe: A B A o B = A B significa: Al menos uno. Cualesquiera.

A

S

Ā o A' S A B S A B Actividad 2.1 g Contesta : ¿A qué operación entre sucesos corresponde cada una de las situaciones planteadas en la actividad (2.1 f)? A “Union”

L P

I

I Interpreta con palabras cada uno de los sucesos combinados encontrados en a). Suceso 1) No indico ninguna intersección o Unión, por lo que separe los dos conjuntos dentro del rectángulo, así representado por separado el conjunto “A” del conjunto “B” Suceso 2) Nos indica la intersección del conjunto “A” con el conjunto “B” Suceso 3) La intersección del conjunto “A” con el complemento del conjunto “B” (B’) Suceso 4) La intersección del complemento del conjunto “A” (A’) con el conjunto “B” Hacer un diagrama de Venn en donde aparezca: Universo: estudiante de la UNAM: Suceso P = estudiantes de preparatoria Suceso I = estudiantes del Centro de Idiomas Ahora, mostrar un diagrama que indique: A) Un estudiante está en P pero no en I B) Un estudiante no está en I C) Un estudiante no está en P D) Ni en P, ni en I F) En P, pero no en I A) D) U U P B) F) U U C) U P I P I P P I

Ejercicio 2. Expresar los siguientes conjuntos, describiendo la propiedad de sus elementos (método de comprensión): A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35} A= {x | x= a los múltiplos de 5, 5 ≤ x ≤ 35 } D = {7, 14, 21, 28} D= {x| x= a los múltiplos de 7, 7 ≤^ x^ ≤^^28 } E = {Luna} E={ x| x= a los satélites naturales de la tierra} F = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} F= {x| x= son los números dígitos} Expresar cada uno de los siguientes conjuntos enlistando sus elementos (método de extensión): L = {x/x es un planeta del sistema solar} L={ mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno.} M = {x/x es un número positivo múltiplo de 4 y menor que 20} M={ 4,8,12,16} Q = {x/x es dígito del sistema decimal} Q={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} R = {x/x es un número entero y x + 2 = 0} R={-2} S = {t / t es entero y t 2 + 2t = 0} S={-2, 0 } Dado el conjunto universal U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, escribe cuatro subconjuntos que sean parte de él. A’={x| x ∈^ N^ ,^^0 ≤^ x <^2 } B’={ x| x ∈ N , 3 ≤^ x^ <^5 } C’={ x| | x ∈ N , 6 ≤ x < 8 } D’={ x| | x ∈ N , 8 < x ≤ 9 } Sea el experimento de lanzar un dado. Considera como conjunto universal el conjunto de resultados posibles de este experimento y sean los siguientes sucesos: A = { x/x < 4} A={1,2,3} B = { x/x < 5} B={1,2,3,4,5} U={1,2,3,4,5,6} C = { x/x es par} C={2,4,6} U={x| x son todos los números del dado} D = { x/x es impar} D={1,3,5} Describe por extensión cada uno de los sucesos siguientes: a) A B b) A ∩ C c) A ∩ B d) ( A B )' e) A ∩ ( B C ) Supuse que t2 es (^) t^2 d) ( A B )' A={1,2,4} B’={6} ( A B )'={ 1,2,4}{6} e) A ∩ ( B C ) A={1,2,4} B={1,2,3,4,5} C={2,4,6} a) A B A={ 1,2,4} B={1,2,3,4,5} b) A ∩ C A ∩ C ={2} c) A ∩ B A ∩ B= {1,2,3}