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EVALUACIÓN PARCIAL 2022-IIB
PGQT
DOCENTE : Ing. Saùl Matías Caro FACULTAD : INGENIERÍA INSTRUCCIONES:
1. Resolver la siguiente ecuación diferencial: (4p) ydx =(^ x + (^) √ y 2 − x
dy SOLUCION El examen tendrá una duración efectiva de 90 minutos. Desarrollar utilizando lapicero azul o negro en forma ordenada en el cuadernillo. Evite los borrones y/o enmendaduras. Toda repuesta debe ser justificada en términos de los conceptos vistos en clases. El procedimiento y respuesta se tomará en cuenta para la calificación Está prohibido el uso de celulares, Tablet, apuntes, etc.
ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Resolver ( p) y ' cosx + y senx = 1 +cos 2 x 2 SOLUCION Por identidades trigonométricas: y ' cosx + y senx =cos 2 x Luego dividiendo entre cos x a la ED: y ' + y senx cosx
cos x Resulta una ecuación diferencial lineal: y '
- tgx. y = sec x Resolviendo la ecuación lineal, primero calculamos el Factor integrante: e ∫ tgx dx = e ln ( secx ) = sec x Luego: y =
secx (∫ secx^.^ secx^.^ dx^ ) EVALUACIÓN PARCIAL 2022 – IIB Página
4. Un tanque está lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos de sal. Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litro es bombeada al tanque a razón de 7 litros por minuto. La solución mezclada es bombeada hacia el exterior a razón de 8 litros por minuto. Determinar la función que da la cantidad de sal en cada instante. ¿Se vaciará totalmente el tanque? (4p) SOLUCION La ecuación diferencial que modelara es: dx dt = υe − υs Luego: υe =( 1 kg /¿ ) ( 7 <¿ min )= 7 υs =( 8 <¿ min ) ( x ( t ) 100 +( 7 − 8 ) t )
8 x 100 − t Reemplazando en la ecuación: dx dt
8 x 100 − t Esto es: dx dt
100 − t x = 7 Resolviendo la ecuación diferencial lineal: e ∫ (^1008) − t dt = e − 8 ln ( 100 − t ) =( 100 − t ) − 8 Luego: x =
( 100 − t ) − 8 ∫^ (^100 − t^ ) − 8
. ( 7 ) dt x =
( 100 − t )−^8 ∫ (^100 − t^ ) − 8
. (− 1 ) dt x =
( 100 − t ) − (^8) ( ( 100 − t ) − 7 − 7
- C ) Siendo la solución general: x =(^100 − t )^ + C ( 100 − t ) 8 EVALUACIÓN PARCIAL 2022 – IIB Página
x =( 100 − t ) + C
[
100 )]
8 x =(^100 − t )^ +(^100 ) 8
C ( 1 −
8 Para hallar el valor de C, tenemos el valor inicial de: x ( 0 )= 20 20 =( 100 − 0 )+ C ( 100 − 0 ) 8 20 = 100 +( 100 ) 8 C − 80 =( 100 ) 8 C Entonces, la función que da la cantidad de sal en cada instante, es: x ( t )=( 100 − t )− 80 C
8 Para averiguar si el tanque se vaciara totalmente, determinaremos el tiempo en que la concentración se anula, esto es:
x ( t )= 0 → ( 100 − t )− 80 C ( 1 −
8 = 0 → ( 100 − t )
[
( 100 − t ) 7 ( 100 )
8 ]=^0
La ecuación admite dos soluciones: 100 − t = 0 →t = 100 min 1 − 80 ( 100 − t ) 7 ( 100 ) 8 =^0 →^ (^100 − t^ ) 7 =
8 80 → t =−3.23 min EVALUACIÓN PARCIAL 2022 – IIB Página
