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UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA
PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
TALLER DSP Noviembre de 2022.
1. EJERCICIO DE EJEMPLO FILTRO FIR MUESTREO EN FRECUENCIA
Dado un filtro FIR de fase lineal de longitud M=17 que tiene una respuesta impulsional simétrica y una respuesta en frecuencia que satisface las condiciones
Hr^2 π^ k 17
=^
1 k = 0,1, 2, 3, 4 0 k = 5, 6, 7,
a) Determine los coeficientes Solución. Como h(n) es simétrica y las frecuencias se seleccionan correspondiendo al caso α=0, se usa las formulas de la tabla 8.3 para evaluar h(n). En este caso
G k ( ) = − ( 1 )
k Hr 2 π k M
k^ =^ 0,1, 2, 3,…^ ,
h n ( ) =
1 M
G ( 0 ) + 2 G k ( ) cos
2 π k M
n +^
1 2
k = 1
U
U = M − 1 2
= 8
h ( 0 ) =
1 17
1 + 2 −1* cos π 17
+1* cos
2 π 17
−1* cos
3 π 17
+1* cos
4 π 17
= 3.979893073 E − 2 = h ( 16 )
siguiendo estos cálculos se obtienen los demás coeficientes
h (1)= -4.880530080812121e - 002= h (15) h (2)= -3.459323915018796e - 002 h (14) h (3)= 6.598437025829422e - 002 h (13) h (4)= 3.154170577784391e - 002 h (12) h (5)= -1.074743965127885e - 001 h (11) h (6)= -2.992123051519975e - 002 h (10) h (7)= 3.187632778664535e - 001 h (9) h (8)= 5.294117647058824e - 001
b) Obtenga la magnitud del espectro determinado por los coeficientes h(n) Solución. Se usa la DCT evaluada en h(n) para obtener H( k )
H k ( ) = h n ( )
n = 0
N − 1
∑ e
− j 2 π kn / N (^) k = 0,1, 2,… , N − 1
En este caso, M =17= N
H ( 0 ) = h n ( )
n = 0
16
∑ =^1 abs H^ (^^^ (^0 ))^ =^1
H ( ) 1 = h ( 0 ) ( 1 + e −^ j^^2 π^ (^ 16 17^ )) + h ( ) 1 ( e −^ j^^2 π^ (^ 1 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 15 17^ )) + h ( 2 ) ( e −^ j^^2 π^ (^ 2 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 14 17^ )) + h ( ) 3 ( e −^ j^^2 π^ (^ 3 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 13 17^ ))
+ h ( 4 ) ( e −^ j^^2 π^ (^ 4 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 12 17^ )) + h ( ) 5 ( e −^ j^^2 π^ (^ 5 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 11 17^ )) + h ( 6 ) ( e −^ j^^2 π^ (^ 6 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 10 17^ ))
+ h ( 7 ) ( e −^ j^^2 π^ (^ 7 17^ ) + e −^ j^^2 π^ (^ 9 17^ )) + h ( ) 8 e −^ j^^2 π^ (^ 8 17^ ) abs H ( ( ) 1 ) = 1
siguiendo estos cálculos se obtienen los demás valores del espectro de H(k)
abs ( H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H abs H
c) ¿Que se puede concluir entre los puntos a) y b)? Solución. Es de esperarse que la magnitud de la DFT de h(n) genere el espectro que determina las condiciones de filtrado dadas por H r como se observa en las siguientes figuras.
Figura 1.
Figura 2.
Solución.
h(n) es simétrico , M=11 impar.
H z ( ) = ( a 5 ) z −^1 + ( 2 a 5 ) z −^2 + ( 3 a 5 ) z −^3 + ( 4 a 5 ) z −^4 + ( 5 a 5 ) z −^5 + ( 4 a 5 ) z −^6 + ( 3 a 5 ) z −^7 + ( 2 a 5 ) z −^8 + ( a 5 ) z −^9
H z ( ) = ( 5 a 5 ) z −^5 + ( a 5 ) z −^1 + z −^9 + ( 2 a 5 ) z −^2 + z −^8 + ( 3 a 5 ) z −^3 + z −^7 + ( 4 a 5 ) z −^4 + z −^6
H z ( ) = z −^5 { ( 5 a (^5) ) + (^) ( a (^5) ) z 4 + z −^4 + (^) ( 2 a (^5) ) z^3 + z −^3 + (^) ( 3 a (^5) ) z 2 + z −^2 + (^) ( 4 a (^5) ) z 1 + z −^1 }
H ( ω ) = e −^5 j^ ω { ( 5 a (^5) ) + (^) ( a (^5) )^ e 4 j^ ω + e −^4 j^ ω+ (^) ( 2 a (^5) )^ e 3 j^ ω + e −^3 j^ ω+ (^) ( 3 a (^5) )^ e 2 j^ ω + e −^2 j^ ω+ (^) ( 4 a (^5) )^ e 1 j^ ω + e −^1 j^ ω} H ( ω ) = (^) { ( 5 a (^5) ) + (^) ( 2 a (^5) ) cos 4 ( ω) + (^) ( 4 a (^5) ) cos 3 ( ω) + (^) ( 6 a (^5) ) cos 2 ( ω) + (^) ( 8 a (^5) ) cos ( ω )} e −^5 j^ ω H ( ω ) = (^) ( 5 a (^5) ) e −^5 j^ ω + (^) ( a (^5) )^ e −^ j^ ω + e −^ j^^9 ω+ (^) ( 2 a (^5) )^ e −^2 j^ ω + e −^ j^^8 ω+ (^) ( 3 a (^5) )^ e −^ j^^3 ω + e −^ j^^7 ω+ (^) ( 4 a (^5) )^ e −^ j^^4 ω + e −^ j^^6 ω
b) Dibuje (^) H ( ω )y de una buena conclusión.
Solución.
Se calcula la respuesta del filtro para valores notables en frecuencia.
H ( =0)=(5a/5)+( 2a/5)+( 4a/5)+(6a/5)+(8a/5)=5a.
Usando la ecuación H ( ω ) = (^) { ( 5 a (^5) ) + (^) ( 2 a (^5) ) cos 4 ( ω) + (^) ( 4 a (^5) ) cos 3 ( ω) + (^) ( 6 a (^5) ) cos 2 ( ω) + (^) ( 8 a (^5) ) cos ( ω )} e −^5 j^ ω se puede observar facilmente que H ( ω ) = (^) ( 5 a (^5) ) + (^) ( 2 a (^5) ) cos 4( ω) + (^) ( 4 a (^5) ) cos 3( ω) + (^) ( 6 a (^5) ) cos 2( ω) + (^) ( 8 a (^5) ) cos( ω ) H ( ω ) = − 5 ω y se obtienen los siguientes valores (calcularlos).
Mag(H ( )) 5a^ 1.1657a^ 0.2a^ 0.0343a^ 0.2a
Ángulo(H ( )) 0 -5/4 -5/2 15 /4 -5
Se puede concluir que, para los valores tipicos en frecuencia este filtro tiene una respuesta pasabajo. Es muy fácil darse cuenta que la respuesta de fase es lineal cuya gráfica es una recta que pasa por el origen con pendiente -5.
Analicen las funciones de este código elemental; al ejecutarlo, ¿que pueden concluir? a=1; Bd=[0 a/5 2a/5 3a/5 4a/5 5a/5 4a/5 3a/5 2*a/5 a/5 0]; Ad=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; freqz(Bd,Ad,128); figure; impz(Bd,Ad);
c) Obtenga h ( n ) a partir de la especificación de H ( k ) y compare el resultado obtenido con h ( n )= ha ( nT )
del punto a) dando una buena conclusión. Solución.
Hr ω k = 2 π^ k 11
=^ ( 5 a^^5 )^ +^ (^2 a^^5 )^ cos 4 2 π k 11
+^ ( 4 a^^5 )^ cos 3 2 π k 11
+^ ( 6 a^^5 )^ cos 2 2 π k 11
+^ ( 8 a^^5 )^ cos 2 π k 11
Hr ( k = (^0) ) = 5 a , Hr ( k = (^1) ) = 2.4687 a , Hr ( k = (^2) ) = 0.0543 a , Hr ( k = (^3) ) = 0.2897 a , Hr ( k = (^4) ) = 0.0707 a , Hr ( k = (^5) ) = 0.1166 a
h n ( ) = 1 11
5 a + 2 G k ( ) cos^2 π^ k 11
n + 1 2
k = 1
5 ∑
h (^) ( 0 ) = 1 11 5 a + 2 a −2.4687* cos^ π 11
^
^
+
0.0543* cos^2 π 11
^
− 0.2897 * cos^3 π 11
^
+ 0.0707* cos^4 π 11
^
− 0.1166 * cos^5 π 11
^
= 0
h (^) ( ) 1 = 1 11
5 a + 2 a −2.4687 * cos^3 π 11
^
^
+
0.0543* cos^6 π 11
^
− 0.2897* cos^9 π 11
^
+ 0.0707 * cos^12 π 11
^
− 0.1166 * cos^15 π 11
^
= a 5 h (^) ( 2 ) = 2 a 5
, h (^) ( ) 3 = 3 a 5
, h (^) ( 4 ) = 4 a 5
, h (^) ( ) 5 = a
Al comparar los coeficientes obtenidos son iguales a la respuesta impulsional discretizada con T=1 del filtro analógico del punto a).
Conclusión: El método de diseño de filtros FIR mediante el método de muestreo en frecuencia esta basado en la transformada inversa de Fourier discreta.
4. EJERCICIOS PROPUESTOS FILTROS IIR
Considere el filtro paso bajo de un polo simple H s ( ) = α s +α
(^) Û ha ( ) t = e −^ α^ t.
a) Halle la funcion de transferencia digital H ( z ) usando el método de varianza impulsional para el filtro analógico. Valor 0.5 puntos. Usando (^) H z ( )calcule la ganancia en continua. Usando (^) H z ( )calcule el valor de frecuencia digital para la cual la respuesta en frecuencia es cero. b) Halle la funcion de transferencia digital H ( z ) usando el método de la transformación bilineal para el filtro analógico. Usando (^) H z ( )calcule la ganancia en continua. Usando (^) H z ( ) calcule el valor de frecuencia digital para la cual la respuesta en frecuencia es cero.
ha ( t )
t (s)
Figura 4
impz : Calcula la respuesta impulsional de filtros digitales unwrap : Corrige ángulos de fase adicionando múltiplos de ±2π zplane : Gráfico de polos y ceros
b) Funciones para la implementación de filtros
conv : Convolución y multiplicación de polinomios conv2 : Convolución de dos dimensiones deconv : De-convolución y división de polinomios Aplicación de filtrado digital con técnicas recursiva (IIR) o no-recursiva (FIR) fftfilt : FFT basada en el filtrado FIR que usa el método overlap-add filter : Aplicación de filtrado digital con técnicas recursiva (IIR) o no-recursiva (FIR) filter2 : Filtrado digital en dos dimensiones filtfilt : Filtrado digital de fase cero filtic : Encuentra condiciones iniciales para implementación de filtros en forma directa II transpuesta latcfilt : Implementación de filtros en celosías y celosías-escalera (lattice, lattice-ladder) medfilt1 : Filtro mediana unidimensional sgolayfilt : filtro Savitzky-Golay sosfilt : Filtro digital IIR de segundo orden (bicuadrático) upfirdn : Aplica las operaciones de interpolación, filtrado con FIR, y diezmado
c) Diseño de filtros digitales FIR
convmtx : Convolución con matrices cremez : Diseño de filtros FIR equi-rizado de fase no-lineal y complejo fir1 : Diseña un filtro FIR mediante el método de enventanado fir2 : Diseña un filtro FIR mediante el método de muestreo en frecuencia fircls : Diseña un filtro FIR por mínimos cuadrados para filtros multibanda fircls1 : Igual que el anterior, pero para paso-bajos y paso-altos de fase lineal. firls : Diseño de filtros de fase lineal por mínimos cuadrados firrcos : Diseño de filtros FIR de fase lineal con banda de transición coseno en relieve intfilt : Diseño por interpolación de filtros FIR de F-L kaiserord : Estima parámetros de un filtro FIR diseñado con ventana Kaiser remez : Calcula el filtro óptimo FIR mediante Parks-McClellan remezord : Estimación del orden óptimo de filtros según Parks-McClellan sgolay : Diseño de filtros Savitzky-Golay de alisamiento
d) Diseño de filtros IIR
butter : Diseño de filtros Butterworth analogos y digitales cheby1 : Diseño de filtros Chebyshev Tipo I (Banda de paso con rizado) cheby2 : Diseño de filtros Chebyshev Tipo II (Banda de rechazo con rizado) ellip : Diseño de filtros Elípticos (Cauer) maxflat : Diseño de filtros digitales Butterworth generalizados prony : Diseño de filtros IIR por el método de Prony stmcb : Cálculo de modelo lineal usando la iteración de Steiglitz-McBride yulewalk : Diseño de filtros digitales recursivos
e) Estimación del orden de filtros IIR
buttord : Calcula el orden y frecuencia de corte de un filtro Butterworth cheb1ord : Calcula el orden para un filtro Chebyshev Tipo I cheb2ord : Calcula el orden para un filtro Chebyshev Tipo II ellipord : Calcula el mínimo orden para filtros elípticos
f) Transformación de filtros analógicos
lp2bp : Transforma filtros análogos paso-bajos a banda de paso lp2bs : Transforma filtros análogos paso-bajos a banda de rechazo lp2hp : Transforma filtros análogos paso-bajos a paso-altos lp2lp : Cambia la frecuencia de corte de un filtro análogo paso-bajo
g) Discretización de filtros
bilinear : Transformación Bilineal para convertir filtros análogos a digital impinvar : Método de invarianza impulsional para convertir filtros análogos a digital
h) Parámetros para el diseño de filtros por Enventanado
barthannwin : Calcula los parámetros de la ventana Bartlett-Hann bartlett : Calcula los parámetros de la ventana Bartlett blackman : Calcula los parámetros de la ventana Blackman blackmanharris : Calcula los parámetros de la ventana Blackman-Harris bohmanwin : Calcula los parámetros de la ventana Bohman chebwin : Calcula los parámetros de la ventana Chebyshev gausswin : Calcula los parámetros de la ventana Gaussian hamming : Calcula los parámetros de la ventana Hamming hann : Calcula los parámetros de la ventana Hann (Hanning) kaiser : Calcula los parámetros de la ventana Kaiser window nuttallwin : Calcula los parámetros de la ventana Nuttall-defined /Blackman-Harris rectwin : Calcula los parámetros de la ventana rectangular triang : Calcula los parámetros de la ventana triangular tukeywin : Calcula los parámetros de la ventana Tukey window : Función pasarela para calcular los parámetros de diferentes ventanas
6. RECOMENDACIONES
Se recomienda a los estudiantes haber realizado este taller y el siguiente trabajo independiente listo para la próxima clase del día 18 de noviembre de 2022.
a) Estudiar el análisis y diseño de filtros IIR digitales con sus respectiva técnicas: Transformación Bilineal, Invarianza impulsional y Técnica de Aproximación por Derivadas. Esta teoría la pueden estudiar del libro de Proakis. b) Usando la ayuda de Matlab, estudiar cuidadosamente las funciones abs, angle, freqs, freqz, impz, filter, fir1, fir2, butter, cheby1, cheby2, buttord, cheb1ord, cheb2ord, bilinear, impinvar. Por: I.E. Vladimir Mosquera Cerquera Ms. C.
