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Introducción a la Epistemología
**1. Introducción
- Diferentes soluciones al problema de la relación sujeto-objeto
- Contribución constructivista
- Epistemología y Dídáctica de las matemáticas**
- Introducción
Las raíces etimológicas de Epistemología provienen del griego ( episteme ) ,
conocimiento, y - (logía) estudio. La epistemología estudia la naturaleza y validez del
conocimiento. También ha sido llamada Teoría del conocimiento (términos más comúnmente usados y difundido por los alemanes e italianos), o gnoseología (utilizado frecuentemente por los franceses). En las últimas décadas también es conocida como filosofía de la ciencia.
El propósito de la epistemología es distinguir la ciencia auténtica de la seudociencia, la investigación profunda de la superficial, la búsqueda de la verdad de sólo un modus vivendi. También debe ser capaz de criticar programas y aun resultados erróneos, así como de sugerir nuevos enfoques promisorios.
El problema fundamental que ocupa a la epistemología es el de la relación sujeto-objeto. En esta teoría se le llama “sujeto” al ser cognoscente y “objeto” a todo proceso o fenómeno sobre el cual el sujeto desarrolla su actividad cognitiva. De este modo, el problema se presenta en la relación de quien conoce y lo que es cognoscible. En esencia, se trata de la naturaleza, carácter y las propiedades específicas de la relación cognoscitiva, así como de las particularidades de los elementos que intervienen en esta relación.
- Diferentes soluciones al problema de la relación sujeto-objeto El pensamiento epistemológico surge, entre otras cosas, cuando la incoherencia entre el ser real del objeto y el saber subjetivo dado de este objeto, se convierte en objeto de la actividad intelectual. ¿Cuál es la relación mutua entre la substancia y sus formas fenoménicas, la relación entre lo individual y lo múltiple, entre reposo y movimiento, etc.? Esta fue la problemática planteada por la filosofía natural jónica y de Heráclito. Más tarde, en la escuela eleática, se enlaza el planteamiento cosmológico en forma consciente: a la sustancia le corresponde el saber verdadero, y a sus formas fenoménicas externas le corresponde el simple opinar, el saber falso.
Los sofistas fueron los primeros filósofos que señalaron el papel de las diferencias individuales en el conocimiento de la realidad, el papel de las condiciones perceptuales, etc. Así, afirmó Protágoras, el ser es para cada quien diferente. De ahí concluyeron que no puede haber ningún saber universalmente válido y, consecuentemente, tampoco un saber objetivo de la substancia. Para ellos era válido que algo fuera como aparece, que el hombre sea la medida de todas las cosas.
Para Platón, cada saber real debe de tener un carácter universal, persistente y objetivo y que, en consecuencia, no puede depender de las particularidades individuales y personales del sujeto cognoscente. En su filosofía se está reconociendo por primera vez, claramente, la necesidad de
superar los momentos subjetivos del saber para poder reconstruir acertadamente el objeto de esta actividad cognoscitiva. Con esto se presentó la tarea de encontrar aquellas propiedades del objeto que se muestran perdurable en relaciones cognoscitivas distintas. Esa es una tarea que, como veremos, ha jugado un gran papel en toda la historia de la filosofía, y que, ahora, se vuelve a discutir con mayor énfasis: por ejemplo, en relación con los problemas metodológicos de las matemáticas, la física y la psicología.
En este sentido es específico de la filosofía antigua que todas sus reflexiones sobre el conocimiento parten de la condición, en cierto modo completamente natural, de que el saber guardar una relación estrecha con aquello que el saber representa. Esto es, que el saber ser una imagen específica del objeto. Los procesos cognoscitivos son entendidos como “flujos” que salen, tanto del sujeto como del objeto, cuya unión externa y mecánica forma la imagen.
La teoría antigua del reflejo fue desarrollándose en las doctrinas de Platón y Aristóteles, los cuales, como idealistas, naturalmente no podían aceptar la forma ingenuo-naturista de los presocráticos. Pero fieles al supuesto fundamental de toda la filosofía antigua: la tesis de la unidad entre el saber y el objeto. Platón formuló la teoría causal de la percepción: comparó el sujeto cognoscente con un pedazo de cera y el objeto de la percepción con un sello que penetra la cera. En lo que se refiere a Aristóteles, expresó la idea de que el sujeto es potencialmente lo que el objeto cognoscible es en el momento. En la filosofía antigua no se podía comprender que la actividad creativa del sujeto era indispensable para la construcción ideal del objeto. Se pensaba que el objeto verdadero sólo puede ser “dado” al ser cognoscente: todo aquello que es producto de su creatividad cognoscitiva subjetiva, sólo puede ser un simple opinar, una subjetividad, y por lo tanto, no es verdadero, no corresponde al ser.
Sin embargo, la filosofía de los siglos XVII y XVIII presenta un nuevo planteamiento del problema que se desarrolla en relación estrecha con las ciencias naturales. Esto se manifiesta principalmente, en la comprensión del sujeto, de lo subjetivo, como algo claramente diferenciado de la substancia material que le es lógicamente opuesto. Descartes comprendió el “yo”, la autoconciencia del sujeto, como el principio, en cuya existencia no se puede dudar, porque el acto mismo de dudar presupone el “yo” (pienso, luego existo). Ya el hecho de que se subraye el “yo” como experiencia interna determinada, como apariencia vital de la conciencia, es un cierto progreso en el análisis filosófico. En su sistema, a la materia se le atribuye una propiedad cuantitativa, mientras que al espíritu se le da una cualitativa. De ahí resulta un dualismo marcado: la exclusión lógica de las dos substancias. En la medida que el racionalismo – después de Descartes- atribuía a la sustancia ideal y material, al sujeto y al objeto, propiedades lógicamente incompatibles, no pudo resolver el problema del conocimiento.
En lo que se refiere al materialismo empirista, corriente dominante de los siglos XVII y XVIII, éste se opuso a la conversión del pensamiento en una sustancia existente por sí solo. Se opuso, además, a la doctrina catesiana de “las ideas innatas”. Pero, al mismo tiempo, no pudo evitar reconocer el hecho de la existencia del “yo” como un fenómeno de la vida psíquica, que es experimentado inmediatamente por el sujeto cognoscente. El materialismo empirista se vio enfrentado a la difícil tarea de explicar el origen y el funcionamiento de la llamada experiencia interna. Naturalmente, no era posible solucionar esta tarea dentro del marco de la forma metafísica que le era propio al materialismo de aquel tiempo. De ahí deriva la poca claridad, la incongruencia y las diversas concesiones que se hacen al subjetivismo, en la investigación del problema de la relación mutua entre experiencia “externa” e “interna”, de los materialistas de los siglos XVII y XVIII. En Locke aparecen la experiencia externa (sensorial) y la experiencia interna (la reflexión) como dos fuentes casi independientes del
del proceso de su autodescubrimiento y autorealización. No se puede entender el resultado sin el camino que ha conducido a él, y el resultado contiene este camino conservado y superado como momento de sí mismo.
El materialismo dialéctico afirma que la posición de que el saber no es una cosa independiente que se inmiscuye entre sujeto y objeto, sino un momento de la actividad del sujeto frente al objeto, una “forma transformada” (Marx) específica del proceso cognoscitivo. El saber representa la actividad cognoscitiva potencial del sujeto. (Cuando el saber se convierte de una actividad cognoscitiva potencial en una actual, entonces, ya no aparece en “forma transformada” de la objetividad, sino como momento del proceso cognoscitivo.) De este modo, en la realidad, no hay dos relaciones independientes – la del saber con el objeto y la del sujeto con el saber-, sino sólo la relación entre sujeto y objeto. El saber no es un “mediador” entre sujeto y objeto, sino una forma de la realización de la relación cognoscitiva. En su forma “tranformada”, específica, un tipo de cristalización de la actividad cognoscitiva realizada y la forma de su posible desarrollo futuro.
A finales del siglo XIX aparecieron una serie de trabajos en los cuales se analizó lógicamente los conceptos fundamentales de la física clásica, destacan principalmente los trabajos de Ernst Mach. Mientras en la mecánica de Newton se explicaba una serie de fenómenos físicos por su referencia con el espacio absoluto, por su parte, Mach postuló un nuevo principio: todo lo que sucede en el mundo tiene que explicarse por la acción recíproca de los cuerpos. Para Mach los conceptos deben ser determinados necesariamente por datos de la observación, esta afirmación lo condujo a pensar en la existencia de elementos primarios que son “dados” sensorial e inmediatamente, y que fundamentan todo conocimiento.
La tesis de Mach sobre la reductibilidad de todo conocimiento ( y de realidad) a la combinación de elementos dados sensorial e inmediatamente, encuentra su continuación en la filosofía del neorrealismo divulgado en Inglaterra y en los Estados Unidos en las primeras décadas del siglo XX.
El mundo de los “datos sensoriales” se convierte así en un ser con existencia autónoma ( no en un modo de ser, sin en el fundamento de la realidad total). Al igual que el mundo subjetivo debe ser reducido totalmente a combinaciones diferentes de “datos sensoriales”, a “construcciones lógicas” específicas de “datos sensoriales”, como propuso Bertrand Russell.
Los rasgos esenciales de la teoría empirista de Mach y Russell se reproducen en las nociones del positivismo lógico. El positivismo lógico plantea el interrogante acerca de la relación de los “datos sensoriales” con el mundo de los cuerpos materiales, así como la pregunta acerca de la relación, de las proposiciones y los términos sobre los “datos sensoriales” (del llamado lenguaje fenoménico con las proposiciones y los términos de las cosas físicas (el llamado lenguaje objetivo). El positivismo lógico postula que una proposición del lenguaje objetivo equivale a una conjunción finita de proposiciones sobre “datos sensoriales”; es decir, es solamente una abreviación específica de las proposiciones que fijan en el lenguaje los resultados de las observaciones inmediatas simples. Además, declaró que los conceptos teóricos en su esencia solamente representan una abreviatura taquigráfica para el materia empírico que es dado en la experiencia sensorial.
Lenin aporta que una característica de todo saber es no ser absoluto, es decir, que no puede revelar todas las conexiones y mediaciones del objeto. Contiene en sí mismo la necesidad de trascender sus propios límites, de evidenciar su propia subjetividad. El saber no es idéntico con el objeto y, en este sentido, es subjetivo. “Conocer es la aproximación eterna, infinita del pensamiento al objeto. El reflejo de la naturaleza en el pensamiento humano, no es ‘muerto’ ni
‘abstracto’, sin movimiento o contradicciones, sino que hay que comprenderlo en el proceso eterno del movimiento, en el surgimiento y superación constante de las contradicciones.
Por otra parte, Rubinstein afirma que el objeto del saber como algo cuyas propiedades son independientes de este o aquel “punto de vista” del sujeto, independiente de cómo se le aparece al sujeto. En el proceso del conocimiento esto se manifiesta en que el sujeto elabora relaciones del objeto de cierta forma invariante, es decir estables, generales, independientes del punto de vista cambiante del sujeto. En el pensamiento, éstas permiten unir a un sistema único objetivo, las diferentes propiedades y relaciones del objeto, ya que la existencia de las mismas es lo que posibilita diferentes nociones subjetivas. En cambio, aquellas nociones sobre los aspectos del objeto que dependen de los diferentes puntos de vista y sistemas de referencia del saber, y que no se dejan integrar en un sistema de premisas objetivas, son consideradas por el sujeto como subjetivas, ilusiorias, como no conformes con la realidad objetiva.
El desarrollo del conocimiento demuestra que para el saber objetivo juega un papel importante, precisamente, la comprensión de aquellos aspectos del objeto, que son invariantes no sólo en lo relativo a las “perspectivas” cambiantes del sujeto, sino también en lo relativo a las muchas las muchas condiciones externas distintas. El problema de cómo aparece el objeto según el punto de vista del sujeto en esta o aquella “perspectiva”, en un caso especial del problema más general de cómo las relaciones invariantes pueden manifestarse por medio de conexiones y propiedades variantes.
Se puede, entonces, establecer que el programa de la constancia perceptual en la psicología, es solamente un caso especial de un problema más general: el problema sobre el papel que juega la invariancia de las percepciones de los objetos en la construcción del saber objetivo. Es necesario, por ello, no solamente investigar los mecanismos psicológicos y fisiológicos por medio de los cuales el hombre percibe un objeto como constante, sino también analizar la estructura lógica de la invariancia, la relación mutua entre la invariancia y la variancia de las determinaciones del objeto, su relación con la subjetividad y objetividad del saber. La importancia del análisis lógico-filosófico de la posición de la invariancia en el proceso cognoscitivo, sea aclara especialmente en donde no se trata de una realización inconsciente de la invariancia (como en el caso de la constancia perceptual), sino de sus aplicaciones como principio metodológico importante en la construcción del saber. Esto es de lo más reciente en saber científico, especialmente en ciencias como las matemáticas y la física. El investigador reproduce el objeto y desarrolla el saber sobre el mismo objeto cognoscible, les corresponde determinada invariancia que también determina el sistema de su estado total.
En los resultados que se encuentran en los trabajos del psicólogo suizo J. Piaget, documentan el gran significado que tiene, para el desarrollo del saber, el aprovechamiento de la invariancia de las determinaciones del sujeto. Sus investigaciones en el campo de la psicología infantil, lo llevaron a desarrollar un problema general, esto es, la génesis del intelecto.
Piaget ve la esencia del intelecto en un sistema de operaciones. La operación como acción interna se deriva de la acción real, objetiva. Una operación es la acción objetiva, externa transformada, y continuada internamente (“interiorizada”). La operación como acción interna se realiza mentalmente, con el uso de imágenes, símbolos y señales que representan cosas reales. Mas, la operación no solamente se distingue de la acción objetiva, real por su carácter “interno” y abreviado. No toda acción “interna” (interiorizada) es una operación. Una acción interna sólo se convierte en operación, cuando es una dependencia mutua determinada con otras acciones, se une a un sistema, a un todo estructurado. Ahí, tal sistema de operaciones se caracteriza por el equilibrio que se establece entre las operaciones y otras opuestas a aquéllas. Así, en un sistema
También subraya esta tendencia por parte de algunos teóricos de la corriente positiva, pero se la interpreta de un modo específico: no como una forma de reproducción ideal del objeto real, sino como expresión de ciertas peculiaridades del sujeto. Así la escuela de la psicología de la Gestalt señala el carácter estructural del conocimiento. Este carácter estructural ya aparece desde la percepción elemental: el sujeto percibe determinadas totalidades estructuradas que se le aparecen como cosas existentes en un determinado “trasfondo”. Según esto, el sujeto cognoscente aparece como pasivo en la concepción de la psicología de la Gestalt; al propio sujeto se le considera como cosa física entre otras cosas físicas. Con este supuesto, desde el principio es imposible diferenciar en la percepción como resultado de la relación mutua entre sujeto y objeto, las propiedades de la cosa “como tal”, de las propiedades que le son características a la percepción según las peculiaridades de sujeto.
Piaget, sin embargo, se acercó más a la solución del problema de la relación sujeto-objeto con ayuda de la teoría del equilibrio. Él critica la psicología de la Gestalt y subraya que hay que ver al sujeto como un ser activo. Según Piaget, la psicología de la Gestalt se dedica solamente a un tipo muy estrecho de estructura cognoscitiva totalitaria, a las llamadas totalidades irreversibles y no-asociativas que corresponden solamente al estadio inicial del desarrollo del intelecto y que son sustituidas en el curso del desarrollo del intelecto y que son sustituidas en el curso del desarrollo intelectual por otras estructuras reversibles y asociativas. Es hasta las estructuras reversibles, donde aparecen las características estables, invariantes del objeto, las cuales no dependen del cambio continuo de las condiciones cognoscitivas.
Los estudios psicogenéticos han puesto de relieve que la acción constituye la fuente común del conocimiento lógico-matémático y del conocimiento físico del mundo. Precisamente, es desde los sistemas de acción que puede comprenderse la contribución del objeto y del sujeto en el conocimiento, ya que tales instrumentos de conocimiento se modifican en virtud de las “resistencias” de los objetos, ya su vez, los objetos sólo son conocidos por la acción estructurante del sujeto.
Entre otra de sus aportaciones, en lo que respecta al rol de la experiencia en el conocimiento, la epistemología genética ha demostrado experimentalmente que el empirismo está equivocado. Los resultados de la investigación psicogenética han mostrado el rol esencialmente activo del sujeto cognoscente.
En la solución del problema sujeto-objeto, la filosofía marxista parte de que la relación cognoscitiva se produce en la relación práctica material-productiva entre sujeto y objeto. La primera relación sólo puede existir como algo que garantiza la realización de la segunda relación. La particularidad específica que distingue al hombre del animal, como es sabido, consiste en que el hombre no se apropia pasivamente los objetos ofrecidos por la naturaleza, sino que transforma la naturaleza, la “humaniza” y así crea un “segundo” mundo, la sociedad, en la que vive y actúa. Con la transformación de la naturaleza que el hombre realiza conforme a sus necesidades, él mismo se transforma produce dentro de sí nuevas necesidades, “se crea a sí mismo”. Mas para poder transformar el objeto conforme a sus finalidades, el sujeto necesita de un saber sobre la estructura interna del objeto tiene que conocer las conexiones necesarias del objeto, sus leyes. Por esto, la actividad que transforma el objeto, necesariamente se une a la actividad cognoscitiva del sujeto, es decir, una actividad que en su contenido coincide con el objeto. En los primeros estadios del proceso de desarrollo cognitivo humano, la actividad práctica y cognoscitiva todavía no eran separadas externamente. La última era un momento, un aspecto de la primera, según una expresión de Marx, se entrelazaba con la actividad práctica. Más tarde, se dio la separación externa entre actividad práctica y actividad cognoscitiva, lo que naturalmente no niega el hecho de que el proceso cognoscitivo depende fundamentalmente de la apropiación práctica
de la realidad por el sujeto.
- Contribución constructivista En sus orígenes, la epistemología se apoyó en dos supuestos:
- Que el conocimiento es una categoría del espíritu, una “forma” de la actividad humana o del “sujeto”, que puede ser investigada universal y abstractamente, esto es, prescindiendo de los procedimientos cognoscitivos particulares, de los que el hombre dispone, tanto fuera como dentro de la ciencia.
- Que el objeto inmediato del conocer sea, como lo había pensado Descartes, solamente la idea o representación y que la idea sea una entidad mental, que existe, por lo tanto, sólo “dentro” de la conciencia o del sujeto que la piensa. Se trata, por tanto, de ver si a la idea le corresponde una cosa o entidad “externa”, o sea “fuera” de la conciencia, y si existe una diferencia, y en su caso cuál, entre ideas irreales o fantásticas e ideas reales.
Sin embargo, esta postura de la epistemología fue perdiendo primacía desde que se empezó a dudar de la validez de uno de sus supuestos. Los analistas contemporáneos han rechazado que el conocimiento sea una forma o categoría universal que pudiera indagarse como tal: ellos adaptaron como objeto de investigación los procedimientos efectivos o el lenguaje del conocimiento científico y no el conocimiento en general. Tal es el caso de la empistemología genética que, por su parte, se ha propuesto encarar la reconstrucción del modo en que se producen los conocimientos apelando al estudio psicogenético así como a la indagación histórica.
A pesar de las semejanzas superficiales, los movimientos desde los hechos hacia las teorías no son los mismos en epistemología genética como los que sostiene, por ejemplo, el empirismo lógico, porque lo real desde el punto de vista de Piaget no permanece idéntico a sí mismo en el proceso, sino que es transformado constantemente por este verdadero movimiento del conocimiento. Es, por lo tanto, una epistemología de la relación. Pero ésta es una relación calificada. El movimiento del conocimiento siempre va en aumento. Permite una mejor comprensión tanto de la realidad como del sujeto cognoscente, si no ya del propio conocimiento. Se niega a mantener invariable tanto a la realidad, al igual que el empirismo, como a las estructuras cognoscitivas del sujeto, como en el innatismo. Postula un sistema del cambio continuo de controles y equilibrios entre el sujeto cognoscente y la realidad, lo que requiere un máximo de creatividad por parte del sujeto en la invención de nuevos medios de coordinación entre él y la realidad o los instrumentos del conocimiento. De allí conceptos tales como equilibración, autorregulación, interacción, retroacción. Para Piaget, el conocimiento es interacción. 1
4. Epistemología y Dídáctica de las matemáticas^2
J. Piaget con su teoría de la equilibración predominante presentó una teoría coherente de la evolución del conocimiento: "el conocimiento pasaría de un estado a otro de equilibrio a través de un desequilibrio de transición, en el curso del cual las relaciones consideradas por el sujeto en el estado anterior estarían en contradicción, ya sea por la consideración de relaciones nuevas o por la tentativa, nueva también, de coordinarlas. Esta fase de conflicto sería superada durante una
(^1) Cfr. Piaget J., Apostel L., Construcción y validación de las teorías científicas , Ed. Paidós, Argentina, 1986. (^2) Albert J. A. (1996), La convergencia de series en el nivel superior. Una aproximación sistémica , Tesis de doctorado,
CINVESTAV-ME.
historia de los conceptos mismos, lo cual no implica que se habrán de reproducir en situación escolar necesariamente las mismas condiciones históricas en que se han superado. Brousseau introdujo a la didáctica, en 1976, esta noción de obstáculo epistemológico como un medio para cambiar el status del error, así fue posible mostrar que el error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre o del azar, como lo conciben las teorías conductistas, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, que incluso habiendo sido exitoso se presenta como falso o inadaptado. Con lo que se origina un nuevo paradigma del cual surge la didáctica como disciplina científica, desterrando al empirismo. Farfán (1996)^6 sostiene que esta noción de obstáculo epistemológico es la que ha permitido el surgimiento de la didáctica como disciplina independiente de aquéllas en las que se apoyó al inicio (epistemología, psicología, sociología, lingüística, etc.) construyendo sus propios referentes de explicación como la teoría de situaciones, los conceptos dialécticos herramienta/objeto, el juego de contextos.
También en el terreno metodológico se encuentra esta noción en tanto que las relaciones entre observador y observado no se establecen natural e ingenuamente fuera de la problemática que les es consubstancial; la observación se construye contra el sistema observado.
En la tarea de diseñar una Ingeniería Didáctica es de fundamental importancia la noción de obstáculo epistemológico, pues ha de decidirse ¿cuáles pueden (o deben) evitarse?, ¿cuáles no deben evitarse?, y en consecuencia ¿cómo serán superados? A lo que se añade el asunto del significado a elegir, ya que los problemas que han motivado la introducción (el surgimiento) de tal o cual concepto, así como los que han gobernado su evolución son constitutivos de la significación de dicho concepto y el investigador, en su análisis, se confronta necesariamente al problema de la significación del concepto que resolverá con el análisis epistemológico.
De lado del análisis conceptual, la epistemología interviene a un nivel más general que el de la enseñanza, ya que asumimos que el fenómeno educativo no es simplemente la transmisión de conocimientos matemáticos. Éste concierne globalmente a una cultura. Luego, bajo está consideración, ¿cuáles son los procesos generales del pensamiento que lo gobiernan? Es el análisis epistemológico quien responderá estas cuestiones, planteando al investigador varios problemas globales y, fundamentalmente, guiando la producción de ingenierías didácticas referentes al análisis de la enseñanza actual, tales como: ¿Qué transponer en la enseñanza de los elementos de la cultura y de sus interrelaciones? ¿Existe una transposición mínima o un conjunto de transposiciones mínimas a respetar para no desnaturalizar el sentido de la cultura? Si ello es posible, ¿bajo qué condiciones? ¿Las transposiciones pueden, o bien deben depender del público al que se destina la enseñanza? ¿Cuáles son las restricciones que se establecen en las transposiciones usuales? ¿Cuáles son sus efectos? Desde esta perspectiva, la investigación epistemológica en esta disciplina no se limita a integrar asuntos referentes a la naturaleza epistemológica. Consiste también en construir los distintos contextos teóricos que permitan involucrar tales dilemas, así como su incorporación efectiva de la enseñanza.
3 Características de los obstáculos didácticos a) Errores : un obstáculo se manifiesta por sus errores, los cuales son reproducibles y persistentes. Están ligados entre ellos por una fuente común, una forma de conocer, una concepción característica coherente y que ha tenido éxito en todo un dominio de acciones que no
(^6) Farfán, R. M. (1996). Matemática educativa e Ingeniería didáctica. México: CINVESTAV-IPN.
son forzosamente explicitables. Los errores persisten, resurgen a pesar del tiempo que tengan de haber sido rechazados del sistema cognitivo consciente, no desaparecen radicalmente de golpe. b) Franqueamiento : el obstáculo está constituido como un conocimiento con objetos, relaciones, métodos de aprehensión, consecuencias olvidadas... va a resistir el rechazo, se adaptará localmente, se modificará al menor precio, se optimizará sobre un campo reducido siguiendo un proceso de acomodamiento. Será necesario un flujo suficiente de situaciones nuevas que van a desestabilizar en el alumno su conocimiento y hacer necesaria la reconsideración, el rechazo, el olvido hasta en sus últimas manifestaciones. Franquear un obstáculo exige un trabajo de igual naturaleza que el establecimiento de un conocimiento, es decir, interacciones rechazadas en el proceso dialéctico entre el alumno y el objeto de conocimiento. Así, un verdadero problema es una situación que permita esta dialéctica y que la motive. c) Afianzamiento a causa del medio ambiente: el conocimiento, el hombre y el medio mantienen una interacción que desemboca frecuentemente en concepciones erróneas, mismas que son dirigidas por condiciones de interacción posibles de modificar, fenómeno que es objeto de la didáctica. Este obstáculo es fruto de una interacción del alumno con su medio. Esta declaración tiene consecuencias para la enseñanza: si uno quiere desestabilizar una noción enraizada es necesario que el alumno pueda invertir sus concepciones dentro de situaciones numerosas e importantes para él, con condiciones informacionales diferenciadas para que un salto cualitativo sea necesario.
4 Consideraciones en la organización de situaciones problemáticas La concepción del aprendizaje apoyada en el desarrollo de los conocimientos en términos de obstáculos difiere de la concepción clásica en lo concerniente al rol y organización de los problemas. El problema va a jugar en el proceso un rol fundamental. Plantear el problema consiste en encontrar una situación en la que el alumno emprenderá una sucesión de intercambios relativos a una cuestión que constituye un obstáculo para él, el cual tomará como apoyo para apropiarse o construir un conocimiento nuevo. Las condiciones en que se desarrolla esta situación-problema son inicialmente escogidas por el que enseña. El proceso debe pasar rápidamente por el control de quien va a participar a su vez en la situación. La motivación nace de esta inversión y se conserva con ella. El estudiante deberá establecer la validez de una afirmación, por lo que el maestro debe dirigirse al alumno como un sujeto capaz de aceptar o rehusar sus afirmaciones, exponer pruebas de lo que anticipa, de oponerle otras afirmaciones. Estos intercambios entre maestro y alumno permiten explicitar teorías matemáticas. Se trata menos de aprender las pruebas aceptadas que de poner a prueba aquéllas que uno concibe. Un proceso de prueba se construye en una dialéctica de la validación que conduce al alumno a usar espontáneamente retórica, es decir, defender con argumentos aquello de lo que no está tan seguro y, enseguida renunciar a ellos. A lo largo de este apartado se han esbozado de forma muy breve y sencilla las aproximaciones teóricas que fundamentan a la Ingeniería Didáctica como una metodología constructivista que intenta, desde el aula, captar la complejidad de la clase.
En cuanto a los campos conceptuales, igualmente se aceptó en el transcurso de los procesos anteriores, la influencia de más de una alternativa en las formas de dar solución a la situación- problema enfrentada por los alumnos, a fin de que lograran, en consecuencia, el conocimiento esperado.
Se abordó la comunicación de un saber a un público (los estudiantes), proceso que supone la transformación de un saber en un conocimiento a enseñar y después en un objeto de enseñanza,
modificar tales criterios.
b) Dificultades asociadas con la conceptualización de la noción de límite. En las investigaciones sobre la enseñanza del cálculo, el límite tiene un lugar esencial, dada la posición central del concepto en este campo. En particular, la noción de límite interviene en la noción de convergencia de series. Se ha buscado conciliar una aproximación cognitiva e histórica, y con base en la noción de obstáculo epistemológico (introducida por G. Bachelard, 1938),^7 se ha indagado también sobre el desarrollo histórico de la noción de límite y sobre los candidatos a obstáculos, susceptibles de explicar las dificultades que en particular pueden encontrar los estudiantes. El obstáculo epistemológico no se refiere a las dificultades desorganizadas o derivadas de la ausencia del conocimiento, sino a las dificultades directamente vinculadas con las formas de considerar el conocimiento o con los conocimientos mismos, por lo tanto es válido suponer que el conocimiento científico no es el resultado de un proceso continuo, por el contrario, requiere de algunos momentos de ruptura con los conocimientos anteriores. Un obstáculo epistemológico que aparece en este dominio es el sentido común, mismo que favorece la concepción del límite como una barrera indispensable, una marca o el último término de un proceso, y al mismo tiempo tiende a reforzar en los estudiantes concepciones monótonas estrictas (que siempre crecen o bien siempre decrecen) de la convergencia. Muchas investigaciones han evidenciado, al solicitarles a los estudiantes la comparación entre los números 0.9999.... y 1, que perciben la notación 0.9999... como algo diferente a un proceso infinito que no se detiene jamás y que, por tanto, nunca llega al valor de 1. Por otra parte, se les cuestiona sobre si se puede calcular la suma 9/10+9/100 + ..., y si se puede hacer, qué valor tiene. En este caso, la pregunta evoca directamente al estudiante la serie geométrica y, también, algunas actividades, como la fórmula de la suma o el algoritmo que permite calcularla. Tanto en la visión que tiene el estudiante, como en la solución que él hace del problema, el proceso del límite en sí está relegado a último plano. Existe un salto cualitativo mayor, que se verifica en la historia misma del concepto, entre el manejo relativamente intuitivo de la noción de límite y la noción formalizada estándar. El concepto formalizado aparece como un concepto hecho para "demostrar", lo cual rompe parcialmente con las formas de conocimientos anteriores (Lakatos 1976)^8 y se convierte, de hecho, en una gran dificultad para el estudiante.
c) Dificultades asociadas a la ruptura álgebra/cálculo. El cálculo es un dominio donde la actividad matemática se apoya en gran medida en las competencias algebraicas, donde se necesita de una ruptura con una cierta cantidad de prácticas algebraicas para acceder a él, temática que en realidad se ha trabajado muy poco. Dentro del campo algebraico, los estudiantes están acostumbrados a razonar en lo posible por equivalencia. Entrar en el campo del cálculo significa comprender que este manejo con frecuencia no se va a realizar. Todo esto no tiene por qué ser natural. La ideología tradicional de la enseñanza no ayuda a los estudiantes a tomar conciencia de estos cambios pues lo conduce a minimizar las rupturas y a mantener la ficción de un aprendizaje progresivo y continuo. De igual forma, esto es difícil porque los modos de razonamiento que subyacen a este trabajo son nuevos para los estudiantes y porque las técnicas matemáticas de trabajo son delicadas. Se pasa de razonamientos por equivalencias sucesivas a razonamientos por condiciones suficientes.
(^7) Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique
des Mathématiques , 2(3), pp. 303-346. (^8) Lakatos, Y. (1976). Proofs and refutations: the logic of mathematical discovery. Cambridge: Cambridge University
Press.
5. Usos de la epistemología en diversos trabajos de investigación Muy diversos trabajos se han realizado con aporte epistemológico dentro de la naciente escuela mexicana de matemática educativa. Tal es el caso del estudio sobre las categorías relativas a la apropiación de una base de significaciones propia del pensamiento físico para los conceptos y procesos matemáticos de la teoría elemental de las funciones analíticas realizado por Ricardo Cantoral (1990)^9. Destaca, entre otras cosas importantes, el resaltar una noción que, por el papel que desempeña en la construcción del conocimiento, se ubica como la idea germinal , a partir de la cual tanto procedimientos como significaciones se construyen paulatinamente y adquieren entre sí su completa significación epistémica. Cantoral sostiene que esta idea alcanza su madurez durante el siglo XVIII y la que llamará prædicere , el cual define como: “ Es la acción intelectual del sujeto epistémico sobre los datos fácticos para establecer los patrones de regularidad del comportamiento de lo que ha de predecirse. Acción que tiene efecto sólo con el conocimiento de las explicaciones causales de los fenómenos de los estudiantes ”. El prædicere , dice él, transita por diversos estadios de su desarrollo que denomina: prædicere como esquema , prædicere como modelo y, prædicere como teoría. El primero se refiere a la construcción de tablas numéricas y de ecuaciones cuasi-empíricas que incorporan variables continuas. Dichas tablas constan de una colección finita de valores de cierto parámetro físico y sirven para predecir valores no contenidos en ellas. Respecto a las ecuaciones, éstas son expresadas generalmente en la lengua natural y se han obtenido mediante la percepción de algún patrón de regularidad en el comportamiento de los datos empíricos. La segunda se encuentra sobre la base del anterior, añadiendo la estructuración de ecuaciones cuasi- universales en el primer marco teórico integrador. En este estadio se construyen las ecuaciones a partir del reconocimiento de la unidad fundamental y permanente, con lo cual se puede prescindir de las grandes tablas construidas. Los resultados, en este contexto, dejan de ser particulares en la mediada que se aplican a todos los objetos en situaciones semejantes. El tercer estadio se refiere a la presencia de un marco teórico relativamente completo en el que las ideas tienden a ocultar su significación que les dio origen. Por otra parte, el enfoque epistemológico forma parte del procedimiento metodológico de la investigación en Cantoral que incluye una génesis histórica, didáctica de antaño, fenomenología intrínseca, constructos característicos, reconstrucción de significados asociados y la praxis educativa.
En el trabajo de Francisco Cordero^10 se puede observar otra forma contemporánea de hacer epistemología desde una perspectiva neo-piagetiana. Cordero caracteriza el conocimiento matemático, dentro de situaciones problemas, en términos de procesos y objetos. De este modo, la complejidad del conocimiento matemático consiste en dos aspectos: situación del problema y concepción matemática del sujeto. De éstas depende tomar el papel de proceso o de objeto para muchas nociones matemáticas. Él considera que la transformación proceso-objeto constituye una de las componentes de la problemática, la cual precisa sobre las dificultades de ir más allá al considerar una función como una regla de procedimiento y concebir esto como un ente individual: un objeto matemático. La visualización es otra componente de la matemática la cual consiste en la reticencia del pensamiento visual en la escuela ante la resolución de problemas matemáticos. La flexibilidad de representaciones permite tener al mismo tiempo significados y significantes que no están formados solamente de signos sino, también, de conceptos y nociones que reflejan a la vez el mundo material y la actividad del sujeto en éste.
(^9) Cantoral R. (1990). C ategorías relativas a la apropiación de una base de significaciones propia del pensamiento
físico para los conceptos y procesos matemáticos de la teoría elemental de las funciones analíticas. Simbiosis y Predación entre nociones de «El praediciere» y «Lo analítico». Tesis doctoral. México: CINVESTAV-ME. (^10) Cordero F. (1994). Cognición de la integral y la construcción de sus significados. Un estudio del discurso
matemático escolar. Tesis de doctorado. México: CINVESTAV-ME.
¿Qué repercusiones, en términos de validación, tendría recurrir al concepto de probabilidad en la investigación en matemática educativa?
Bibliografía Bunge Mario (1980). Epistemología, Barcelona: Ed. Ariel. Lektorski W. A. (1980). Teoría del conocimiento y marxismo , México: Ediciones “taller abierto”. Olivé León (1991), Cómo acercarse a la filosofía , México: Ed. Limusa. Gadner Howard (1988). La nueva ciencia de la mente , Historia de la revolución cognitiva. Barcelona: Eds. Paidós. Inhelder B. (1975). Aprendizaje y estructura del conocimiento. Madrid: Eds. Morata. Flavell John (1993). La psicología evolutiva de Jean Piaget. Barcelona: Paidós, 8ª edición. Fundación Archivos Jean Piaget (1986). Construcción y validación de las teorías científicas. Argentina: Paidós. Albert H. José Armando (1996). La convergencia de series en el nivel superior. Una aproximación sistémica. Tesis doctoral. México: CINVESTAV-IPN.
LA TEORÍA DEL CONOCIMIENTO
Copleston Frederick
En ninguno de los diálogos de Platón se hallará una teoría del conocimiento expuesta sistemáticamente. El Teeteto está dedicado, sí, al examen de los problemas que plantea el conocimiento, pero su conclusión es negativa, pues en este diálogo trata Platón de refutar algunas teorías del conocimiento falsas, especialmente la de que el conocimiento consiste en la percepción sensible. Por lo demás, en la época en que se puso a escribir el Teeteto, había elaborado ya su teoría de los grados del conocer, correspondientes a los de la jerarquía del ser tal como los expone en la República. Podemos decir, por tanto, que el estudio positivo precedió al negativo y crítico, o que Platón, después de haberse hecho su propia opinión acerca del conocimiento, volvió enseguida la atención hacia las dificultades, a fin de refutar sistemáticamente las teorías que consideraba falsas. No obstante, en un libro como éste, parece preferible tratar primero el lado negativo y crítico de la epistemología platónico, antes de proceder al examen de su doctrina positiva. Por consiguiente, resumiremos en primer lugar la argumentación del Teeteto y estudiaremos a continuación la doctrina del República en lo tocante al conocimiento. Esta manera de proceder justifícanla las exigencias de la exposición lógica y el hecho de que el diálogo República no sea, esencialmente, una obra epistemológica. Cierto que en él hay una doctrina epistemológica positiva. pero algunos de los presupuestos lógicamente previos de esa doctrina se hallan en el Teeteto, diálogo que fue compuesto más tarde. La tarea de resumir la epistemología platónica y de presentarla en forma sistemática es una tarea complicada, porque resulta difícil separar la epistemología de Platón de su ontología. Platón no fue un pensador crítico en el sentido en que lo fue Manuel Kant, y, aunque se pueda discernir en su pensamiento un anticipo de la filosofía crítica (al menos, esto es lo que han tratado de hacer algunos autores), propende más bien a afirmar que el hombre puede conocer verdaderamente, y trata ante todo de averiguar cuál sea el objeto genuino del conocimiento. Ésta es la causa de que los temas ontológicos y los epistemológicos aparezcan frecuentemente entremezclados por él o tratados pari passu, como en la República. Intentaremos, pues, separar la epistemología de la ontología, pero semejante tentativa no puede ser coronada del todo por el éxito, dado el carácter mismo de la epistemología platónica.
I.- El conocimiento no es la percepción sensible.
Sócrates, interesado como los sofistas por la conducta práctica, rehusaba admitir la idea de que la verdad sea relativa, de que no haya ninguna norma fija ni ningún objeto estable del conocimiento. Tenía la convicción de que la conducta ética se ha de basar en el conocimiento y, asimismo, la de que este conocimiento que sirva de base a la acción debe ser un conocimiento de valores eternos, no sujetos a las variables y cambiantes impresiones de los sentidos-, o de la opinión subjetiva, sino idénticos para todos los hombres y para todos los pueblos y todas las edades. Platón heredó de su maestro esta convicción de. que es posible el conocimiento, entendiendo por tal un conocimiento objetivo y universalmente válido; pero quiso demostrarlo teóricamente, y así se metió de lleno y con profundidad en los problemas del conocimiento, preguntándose por su naturaleza y objeto. En el Teeteto, lo que Platón se propone es ante todo refutar las teorías falsas. Señálese, en consecuencia, la tarea de combatir la teoría de Protágoras sobre el conocimiento como mera percepción [sensible] y su tesis de que lo que a cada cual le parece verdadero eso es la verdad
que puede haber conocimiento e ignorancia y admiten que ellos mismos pueden tener por verdadero algo que en realidad no lo sea. En conformidad con lo cual, quien sostenga que la doctrina de Protágoras es falsa estará afirmando, según Protágoras mismo, la verdad (es decir, si se supone que el hombre medida de todas las cosas es el hombre individual). Tras estas críticas, acaba Sócrates con la pretensión de que la percepción sea el conocimiento, demostrando: 1º) que la percepción no es todo el conocimiento, y 2º) que ni aun dentro de su propia esfera es la percepción un conocimiento. 1º La percepción no es el todo del conocimiento, pues gran parte de lo que se reconoce en general como conocimiento consiste en verdades que implican términos que no pueden ser objetos de la percepción. Mucho de lo que sabemos acerca de los objetos sensibles lo conocemos gracias a la reflexión intelectual, y no inmediatamente por la percepción. Platón pone como ejemplos la existencia y la inexistencia. Supongamos que un hombre ve un espejismo; no hay percepción sensible inmediata que pueda informarle de la existencia o inexistencia del objeto que él percibe en ese espejismo: sólo la reflexión racional se lo puede decir. Tampoco las conclusiones y razonamientos de las matemáticas se pueden aprehender por los sentidos. Y. cabe añadir que nuestro conocimiento del carácter de una persona es algo más de lo que pueda explicarse mediante la definición "Conocer es percibir", pues tal conocimiento no nos lo depara ciertamente la simple sensación. 2º La percepción sensible no es conocimiento ni siquiera en su propio plano. Realmente, no puede decirse que sepamos alguna cosa si no hemos alcanzado la verdad acerca de ella, por ejemplo, en lo concerniente a su existencia o inexistencia, a su semejanza o desemejanza con otra cosa, etcétera. Pero la verdad sólo se alcanza en la reflexión, en el juicio, no en la mera sensación. La sensación, por sí sola, únicamente puede dar, digamos, una superficie blanca y otra superficie blanca; pero, para juzgar acerca de la semejanza entre ambas, se necesita la actividad de la mente. Asimismo, los raíles de la vía férrea parecen converger : si sabemos que en realidad son paralelos es gracias a una reflexión intelectual. Por lo tanto, la percepción sensible no merece el nombre de conocimiento. Conviene advertir aquí cuán influido está Platón por el convencimiento de que los objetos sensibles no son los objetos propios del conocimiento ni pueden serlo, puesto que sólo hay conocimiento de lo que es, de lo estable y constante, y de los objetos sensibles no se puede decir en realidad que “son" -al menos en cuanto percibido- sino únicamente que “devienen”. Claro que, en cierto modo, los objetos de los sentidos son objetos aprehensibles, pero engañan a la mente demasiado como para que sean verdaderos objetos de conocimiento; recordémoslo: el conocimiento real y propiamente dicho tiene que ser --como indicamos más arriba- infalible y de lo que verdaderamente es. (Nótese que Platón, al evidenciar lo gratuito que es el pretender que la percepción sea la totalidad del conocimiento, contrapone los objetos peculiares o particulares de los diferentes sentidos -por ejemplo el color, que es el objeto de la visión tan sólo- a los "términos comunes que se aplican a todas las cosas", y que son los objetos de la mente y no de los sentidos. Esos "términos comunes" corresponden a las Formas o Ideas, que son, ontológicamente, objetos estables y constantes, en contraposición con los particulares o sensibles.)
II. -El conocimiento no es simplemente "el juicio verdadero"
Comprende Teeteto que no puede decir que el juicio por sí solo, sin más, sea el conocimiento, porque también se pueden hacer juicios falsos. Sugiere, en consecuencia, que se acepte, siquiera como definición provisional, que el conocimiento es el juicio verdadero, hasta que su examen pruebe si es correcto o falso. (Aquí tiene lugar una digresión, en la que Sócrates trata de averiguar cómo son posibles los juicios equivocados y cómo se incurre en ellos. No entraremos en esta discusión, pero sí que mencionaré una o dos sugerencias que se hacen de pasada. Así,
la de que algunos juicios erróneos provienen de la confusión de dos objetos de diferentes clases, uno de los cuales es el objeto actual de la percepción sensible y el otro una imagen mnemónica. Alguien puede juzgar equivocadamente que está viendo a un amigo suyo que, en realidad, se halla en otra parte. Allí, ante el que así juzga, hay efectivamente alguien, pero éste no es su amigo. Nuestro juzgador tiene una imagen mnemónica de su amigo, y algo que hay en la figura de aquel al que está viendo le recuerda esa imagen mnemónica: por eso piensa, equivocándose, que es su amigo el que se encuentra ante él. Pero, evidentemente, no todos los casos de juicios erróneos son ejemplos de confusión entre una imagen retenida por la memoria y un objeto presente de la percepción sensible: los errores en los cálculos matemáticos, difícilmente se podrían reducir al caso citado. La famosa comparación de la "pajarera" se introduce aquí a modo de ensayo con el que se intenta hacer ver cómo pueden originarse las otras clases de juicios falsos, pero se la halla insatisfactoria; y Platón concluye que el problema del juicio erróneo no puede tratarse convenientemente sin que antes se haya determinado la naturaleza del conocimiento, discusión sobre el juicio erróneo es continuada en el Sofista.) Al examinarse la sugerencia de Teeteto de que el conocimiento es el juicio verdadero, indicase que un juicio puede ser verdadero aun cuando su verdad no incluya el conocimiento de ella por parte del hombre que hace el juicio. Fácil es comprender la importancia de esta observación. Si yo emitiese en este momento el siguiente juicio: "El primer ministro británico está hablando por teléfono con el presidente de los EE.UU.", esto podría ser verdad, pero tal verdad no necesitaría, para serlo, de que yo la conociese. Sería una adivinación o una casualidad, dado lo poco que yo estoy al corriente de las actividades de esos personajes, el que mi juicio fuese objetivamente verdadero. De la misma manera, un hombre puede ser llevado ante los tribunales a responder de un cargo sobre algún crimen del que en realidad no es culpable, aunque los indicios sean tan fuertes contra él que no logre probar su inocencia. Si, con todo, un abogado hábil, al defender a ese hombre inocente, fuese capaz de presentar las cosas, con la fuerza de su argumentación, de tal manera que el jurado diese el veredicto de "No culpable", el juicio de los miembros del jurado sería un juicio verdadero; pero difícilmente se podría decir que ellos conocían la inocencia del reo, ya que, por hipótesis, las pruebas estaban contra él. Su veredicto habría sido un juicio verdadero, pero estaría basado en la persuasión, más bien que en el conocimiento. Síguese, por ende, que el conocimiento no es simplemente el juicio verdadero, y Teeteto es invitado a hacer otra sugerencia respecto a la definición adecuada del conocimiento.
III. - El conocimiento no es el juicio verdadero más una “razón"
Como hemos visto, el juicio verdadero no puede significar más que la creencia verdadera, y ésta no es lo mismo que el conocimiento. Teeteto sugiere-, pues, que la adición de una "razón" o explicación (lógos) convertiría la creencia verdadera en conocimiento. Sócrates empieza por señalar que, si el añadir una razón o explicación quiere decir enumerar las partes componentes, entonces esas partes deben ser o conocidas ya o cognoscibles: si no, se seguiría la absurda conclusión de que el conocimiento consistiese en añadir a la creencia verdadera la reducción de lo complejo a elementos desconocidos o incognoscibles. Pero ¿qué significa "dar una explicación"?
- No puede significar esto, sin más, que un juicio exacto, en el sentido de creencia verdadera, sea expresado en palabras, puesto que, si tal fuese el significado, no habría diferencia entre la creencia verdadera y el conocimiento, y ya hemos visto que sí que hay una diferencia entre hacer un juicio que resulte correcto y hacer un juicio que se sepa que es correcto.
- Si "dar una razón" significa analizar las partes componentes (es decir, los elementos cognoscibles), ¿bastará con añadir una razón para convertir la creencia verdadera en conocimiento? No, el simple proceso de analizar sus componentes no convertirá la creencia verdadera en conocimiento, porque, si fuese así, cualquiera que pudiese enumerar las partes de
