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CAPITULO I

ELASTICIDAD Y OSCILACIONES

El concepto de elasticidad se puede simplificar de la manera siguiente: Si se le aplica

una fuerza a un resorte, se verá que el estiramiento o compresión (deformación) que

experimenta es directamente proporcional a la magnitud de la aplicada. El físico

británico Robert Hooke (1635-1703) un contemporáneo de Isaac Newton, observó por

primera (vez en el siglo XVII) esta relación que se conoce como la. Si un

material elástico se estira o comprime más allá del no recuperará su

estado original, la deformación será permanente. Para comprender y describir la

elasticidad de los materiales es necesario reconocer los conceptos de: Fatiga o Esfuerzo

Unitario, Deformación Unitaria, Modulo Elástico, etc.

La fatiga o esfuerzo unitario que experimenta un material que está sometido a fuerzas

externas puede ser de Tensión, de Compresión y de Corte. La fatiga se denota con la

letra s (sigma) del alfabeto griego y se define como:

Donde:

s t Fatiga de Tensión y Fatiga de Compresión, en N/m

2 .

s (^) c Fatiga de Corte, en N/m

2 .

F Magnitud de la Fuerza aplicada, en Newton (1N) o Libra-Fuerza (lb).

A- Área perpendicular a la dirección de la fuerza, en m

2 o in

2 .

A¦ Área transversal a la dirección de la fuerza, en m

2 o in

2 .

La unidad de la Fatiga en el sistema internacional (SI) es de 1N/m

2 = 1Pa (un Pascal).

La unidad de uso común en el sistema británico o ingles es el de libra-fuerza sobre

1.1 ELASTICIDAD

Ley de Hooke

límite elástico

1. 2 FATIGA

Es la cantidad que define cuan elástico es un material. Si el esfuerzo unitario s y la

deformación unitaria e no excede los valores del límite elástico de un material, entonces

son directamente proporcionales y a la constante de proporcionalidad se le llama

del material. Esta proporcionalidad (bajo ciertas condiciones) se

también denomina , el patrón general se puede formular por la expresión

matemática siguiente:

Donde:

Y Modulo elástico de Young, en N/m

2 .

G Modulo elástico de Rigidez o de Corte, en N/m

2 .

ß Modulo elástico de Volumen, en N/m

2 .

EJERCICIO.- Determine la energía potencial U que almacena una barra cilíndrica

homogénea de sección transversal A y de longitud inicial L, la cual es sometida a

estiramiento longitudinal por fuerzas externas de tensión.

SOLUCIÓN: Como la fuerza externa produce un estiramiento en la longitud de la

barra cilíndrica. La fuerza interna en la barra es donde es la deformación

unitaria de longitud, Y es el modulo elástico de Young. Recordando la definición de

1. 4 MODULO DE ELÁSTICIDAD

modulo de elasticidad

Ley de Hooke

trabajo podemos calcular el trabajo de la fuerza interna cuand la barra se deforma esto

es:

Debido a que la deformación longitudinal está relacionada con el estiramiento x por la

ecuación entonces el incremento diferencial de la deformación unitaria

longitudinal resulta ser por lo que al evaluar en la ecuación se obtiene:

Resultado satisface el teorema del trabajo y la energía potencial, por lo tanto la energía

potencial U almacenada por la barra cilíndrica en la deformación es:

Donde es la deformación longitudinal y el producto es el volumen de la barra

cilíndrica en cuestión. La energía potencial también se puede escribir como:

Donde x es el estiramiento total de la barra cilíndrica sometida a tensión y la cantidad

definida como recibe el nombre de constante elástica de la barra cilíndrica.

EJERCICIO.- Dos hilos de igual longitud L son hechos del mismo material, uno es de

área cuadrada de lada “d” y el otro es área circular de diámetro “d”. Si de cada hilo

cuelga un bloque del mismo peso W ¿Cuál de los dos hilos almacena mayor energía

potencial en la deformación?

EJERCICIO El diámetro de una varilla de bronce es de 8. Determinar la fuerza,

en dinas, que produce una extensión del 0. 3 %de su longitud. El módulo de Young

del bronce es 9 10 /.

11 2

SOLUCION: Por definición,

Dónde 0.^003 , /^4

2 ( )

Reemplazando ( ) en ( ):

8

(^211)

EJERCICIO Un cable de acero 12. 5 de diámetro soporta una carga de 4.

Calcular la máxima aceleración vertical hacia arriba que puede comunicarse a dicha

carga si la fatiga del cable no puede exceder de 40 /.

2

SOLUCION: Por definición fatiga se tiene:

Donde, : es la tensión que soporta el cable, como el diámetro es conocido podemos

calcular la tensión, esto es:

2 2

Por otro lado aplicando la segunda ley de Newton al sistema se tiene:

mm

Y

x dinas cm

L FL AY F LAY L

L L A D

F x dinas

L

L x

F

mm Ton

Kgf mm

T A T A

T

Kgf

D

T

a

p (^) b

b a

p

s s a

p p

s

Evaluando en la ecuación ( ), se tiene:

2

2. 22 /

EJERCICIO Un alambre circular de acero de 2 de longitud no debe estirarse más

de 0. 25 cuando se aplica una tensión de 400 a cada extremo. ¿Qué diámetro

mínimo debe tener?

SOLUCION: : Diámetro 2 , 0. 25 , 400

Por la ley de Hooke: ( )

Cómo:

2

Luego, ( ) en ( ):

2

2

Reemplazando valores se tiene:

12

10 4 20 10 2510

Finalmente,

( − )

− = ⇒ =

( − )( )

=

−

m

T p

T p ma a

a

a m s

m

cm N

D L m L cm T N

A L

FL

Y

D

A

D L

FL

Y

Y L

FL

D

x x x x

x x

D

D mm

b

b

a

p

b

b a

p p

p

, (^) Entonces:

7 2 11

Reemplazando en ( )

3

EJERCICIO Una varilla metálica de 4 de longitud y sección de

2

1. (^5) se estira

2. 2 al someterse a una tensión de 5000 .¿Qué módulo de Young tiene el metal?

SOLUCION: Aplicando la ley de Hooke,

Reemplazando valores, se tiene, 2 4 2

1. 210 0. 510

11

11

7 2

4

EJERCICIO Una muestra de aceite con un volumen inicial de

3 (^600) se somete a un

aumento de presión de

6

3. 610 y el volumen disminuye 0. 45.

3 ¿Qué módulo de

compresibilidad tiene el material? ¿Qué coeficiente de compresibilidad tiene?

SOLUCION: Por el módulo de compresibilidad , se tiene,

−

− −

−

F A Y L L

KN m

m

x m x Pa

L

A Y

L

F

K

K

m

T s

x N m

Kg

T s

m cm

cm N

A L

F L

Y

x m x m

N m

Y

Y x Pa

x Pa

m

x N

Y

cm

x Pa cm

B

V

V p

V V

p

B

a

p p

Reemplazando valores,

9

3

3 6

Además, el coeficiente de compresibilidad 1 ,será,

10 1

9

EJERCICIO El módulo volumétrico del agua es 2. 1. Calcule la contracción

volumétrica de 100 de agua cuando se someten a una presión de 1. 5.

SOLUCION: Por definición, se tiene,

9

6

EJERCICIO Una placa cuadrada de acero mide 10 por lado y tiene un espesor de

1. 5 .(a) Calcule la deformación de corte que se produce al licarse a cada uno de

los cuatro lados una fuerza de

5 (^9 10) paralela a cada lado. (b) Determine el

desplazamiento en centímetros.

SOLUCION: (a) Por la definición del módulo de rigidez o corte,

− −

B x Pa

cm

cm x Pa

B

B

B x Pa

B x Pa

GPa

ml MPa

B

V p

B p V V V

V ml

x Pa

ml x Pa

V

cm

cm

x N

x

h

x

A

F

x h

F A

G

EJERCICIOS DE ELASTICIDAD

1.- Una cuerda de nylon se alarga 120cm so- metida al peso de un alpinista de 80kg. Si

la cuerda tiene 50m de longitud y 7mm de diámetro. ¿Cuál es el modulo de Young de

este material?

2.- Un bíceps relajado requiere una fuerza de 25N para est rse 3cm; el mismo músculo

sometido a una máxima tensión requiere una fuerza de 500N para el mismo

estiramiento. Determinar el modulo de Young para el mú en ambas condiciones, si

podemos considerarlo como un cilindro uniforme de 20cm de largo y de 50cm

2 de

sección recta.

3.- Dos varillas cilíndricas, una de acero y la otra de latón, se sueldan por sus extremos.

Cada una tiene 1m de longitud y 2cm de diámetro. La combinación se somete a una

tensión de 4000N Determine: a) el modulo de Young del b) el estiramiento de

cada varilla.

10 10 2010 , 910

4.- Un bloque de 5kg se cuelga de un hilo de acero de 50cm de largo y 1mm de

diámetro. De la parte inferior del bloque se cuelga una esfera de 10kg sujeta por otro

hilo igual al primero. Determine: a) el estiramiento de cada hilo, b) La energía

almacenada por cada hilo.

5.- Una muestra de aceite con volumen inicial de 800cm

3 se somete a un aumento de

presión de 2x

6 Pa, y el volumen disminuye en 0.2cm

3 , entonces ¿Cuál es el modulo de

volumen del material? ¿En qué porcentaje cambia su densidad?

Y x Pa Y x Pa acero Lat

6.- Dos tiras de metal se remachan juntas en sus extremos con 4 remaches, de 3mm de

diámetro. ¿Qué tensión máxima puede ejercer la tira remachada sin que el esfuerzo de

corte sobre cada remache exceda de 5x

8 Pa?

7.- El cable que sujeta el ascensor de un edificio se estira 5mm cuando el ascensor esta

en reposo. Si el ascensor sube y baja con la misma aceleración de 2m/s

2 determine el

estiramiento: a) cuando sube, b) cuando baja. Considere g = 10m/s

2

8.- Un hilo de metal, tiene una longitud L y una sección recta A. Si otro hilo del mismo

material tiene el doble de longitud y el doble del diámetro, entonces la constante elástica

del segundo hilo ¿es mayor o menor que la del primer h lo?, ¿en cuánto?

9.- Una varilla cilíndrica de 40cm de longitud y 2mm de diámetro, se fija de un extremo

y, el extremo libre se somete a una torsión de 9Nm haciendo que la varilla gire sobre su

eje un ángulo de 5º, entonces ¿Cuál es el modulo de rigidez de la varilla? ¿Cuánta

energía se almacena en la torsión?

10.- Demuestre que el esfuerzo de tensión por cambio de volumen de una sustancia se

puede expresar en términos del cambio unitario de densidad.

11.- Un bloque de 15kg, se sujeta al extremo de un hilo de de longitud no estirada

de 50cm y este hilo se alarga 2mm a causa del peso del bloque. Si se hace girar l

bloque en un círculo vertical a razón de 6rev/s determine el estiramiento del hilo cuándo

el bloque se halle en el punto más bajo y más alto. Considere g = 10m/s

2

i

r

r

s b

ascensor de 980kg sostenido por este cable sin que el exceda un tercio del

límite elástico.

18.- Un bloque cuelga del extremo de un hilo de aluminio vertical. El peso estira al hilo

0.2mm. Si el esfuerzo satisface la ley de Hooke, ¿Cuánto se habría estirando el hilo a) si

tuviera el triple de longitud, b) si tuviera la misma longitud y el triple de diámetro?

19.- El modulo de Young del hueso humano es cerca de 1,4x

10 Pa. Si los huesos

pueden sufrir un cambio de longitud del 1% antes de ro ¿Qué fuerza máxima

puede aplicarse a un hueso con sección recta mínima de 3cm

2 ? Estime la altura máxima

de la que puede saltar una persona de 80kg sin fracturarse los huesos de la pierna?

Suponga que el contacto con el piso dura 0,04s y que el peso se distribuye sobre las dos

piernas.

20.- Una varilla de cobre de 1,4m de largo y área transversal de 2,0cm

2 se sujeta por un

extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección recta de 1,0cm

2

. La

varilla compuesta se somete a tensiones iguales y opuestas de 6x

4 N en sus extremos.

¿Cuál es el valor de L si el estiramiento de las varillas es el mismo? ¿Qué esfuerzo

experimenta cada varilla? Recuerde que YC u = 11x

10 Pa.

21.- Un negociante produce etanol puro y lo almacena en un que cilíndrico rígido de

25cm de diámetro con un pistón ajustado en la parte superior. El volumen total del

tanque es de 0,2m

3 y en un intento por meter un poco más al tanque, el negociante

coloca 1420kg de plomo sobre el pistón. Entonces ¿Qué adicional de etanol

puede meter el negociante?

11 1

tan

− − = x Pa e ol

k

22.- Una varilla de acero de 10ft de longitud y 0,5in de diámetro, con el eje

de un motor eléctrico de 1CV, proporciona una conexión entre le eje y la carga. Si el eje

del motor tiene una rapidez de rotación de 1800rpm ¿Qué torsión se transmite por la

varilla cuando el motor está en plena marcha? ¿Qué ángulo de torsión sufre la varilla en

estas condiciones? ¿Cuánta energía almacena la varilla a causa de la torsión?

De la aceleración resulta una ecuación diferencial de o orden y homogénea,

conocida como la ecuación de movimiento de las oscilaciones simples:

La energía mecánica de una partícula oscila con un MAS alrededor de la posición de

equilibrio es una constante en el movimiento de la partícula y se escribe por medio de la

ecuación:

EJERCICIO.- Un bloque de masa M cuelga en equilibrio de un resorte vertical de masa

despreciable y de constante elástica K. Si el bloque se golpea suavemente hacia abajo

demuestre que adquiere un movimiento armónico simple. ¿Cuál es el periodo de las

oscilaciones?

SOLUCIÓN: De lo planteado, el resorte se

estira la cantidad xo para equilibrar el peso

del bloque, vea la figura adjunta. Aquí se

debe cumplir que:

…(a)

Como el bloque se golpea hacia abajo, este

se estira una cantidad x adicional a la del

equilibrio. Aplicando la 2da. Ley de Newton al sistema en movimiento, se tiene:

1.6 SISTEMA BLOQUE-RESORTE

Dado que en el equilibrio se cumple la ecuación (a), entonces podemos escribir esta

última ecuación como:

Esta ecuación es la ecuación de movimiento para las oscilaciones simples de una

partícula que vibra con una frecuencia angular que depende solo de la masa M y de la

constante elástica K del resorte, lo que demuestra que el movimiento resultante del

bloque, es un movimiento armónico simple. La frecuencia angular? y el periodo T se

determina inmediatamente, esto es:

EJERCICIO De un muelle está colgado un platillo de balanza con pesas. El período

de las oscilaciones verticales es igual a 0. 5 .Después de poner en el platillo más pesas,

el período de las oscilaciones verticales se hizo igual a 0. 6. Qué alargamiento

provocaron en el muelle las pesas añadidas.

SOLUCIÓN: De las condiciones del problema.

Por definición: 4 /

1

1 y

2

2

s

s

rad s

T

w

rad s

T

w

p

p p

p

p p