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(A) Arya, J, Lardner, R. (2009).Matemáticas aplicadas a la Administración y Economía. 5°
edición.
CAPITULO 13
EJERCICIOS 13.
(1-12) Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones.
y = 2 x
3
− 9 x
2
− 24 x + 20
a) Dominio Máximo
D
f
= R ( Numeros reales )
b) La primera derivada
f
'
x
= 6 x
2
− 18 x − 24
c) Igualamos la primera derivada a 0 para poder obtener los valores críticos.
f ´ ( x )= 0
6 x
2
− 18 x − 24 = 0
d) Despejamos la función.
x
2
− 3 x − 4
6 (( x − 4 ) ( x + 1 ) )= 0
6 no se considera debido a que pasa a dividir con el cero o se puede deducir que si se
tomara como punto de referencia como valor crítico y se igual a cero (6 = 0), no es
válido para tomar como valor crítico.
( x − 4 ) ( x + 1 )= 0
x − 4 = 0 ; x + 1 = 0
x = 4 ; x =− 1
Al despejar esta función encontramos los valores críticos x = 4 y x =-1 cuyos valores
críticos nos serán de utilidad para poder hallar los puntos críticos de la gráfica de
nuestra función.
e) Remplazamos nuestros valores críticos en la función original (y = f(x)) para poder encontrar
nuestros puntos críticos.
f ( 4 )= 2 ( 4 )
3
2
f ( 4 )= 2 ( 64 )− 9 ( 16 )− 96 + 20
f ( 4 )= 128 − 144 − 96 ∓ 20
f ( 4 )=− 92
f (− 1 )= 2 (− 1 )
3
2
f (− 1 )= 2 (− 1 )− 9 ( 1 )−(− 24 ) + 20
f (− 1 )=− 2 − 9 + 24 + 20
f (− 1 )= 33
Puntos Críticos: (4,-92) y (-1,33)
f) Determinamos el signo tomando en cuenta la factorización de nuestra función derivada y
realizamos la tabla de signos o cementerio.
f ´ ( x )= 6 (( x − 4 ) ( x + 1 ))
− ∞ x = -2 -1 x = 1 4 x=5 + ∞
6 + + +
( x − 4 )
( x + 1 )
6((x-4)(x+1)) + - +
¿Crece o decrece la
función?
↗
(creciente)
↘
(decreciente)
↗
(creciente)
Creciente: ¿
∞,-1) U (4, +∞)
Decreciente: (-1,4)
Cuando hay un cambio del signo de f ’ , hay un mínimo relativo que sería (4,-92) y
cuando hay un cambio de signo de f ‘de positivo a negativo hay un máximo relativo de
(-1,33).
Mínimo local: (4,-92)
Máximo local: (-1,33)
h) encontramos la segunda derivada para poder encontrar los puntos de inflexión y los intervalos
de la función si son cóncavos hacia arriba o cóncavos hacia abajo.
f ´
x
= 6 x
2
− 18 x − 24
f ' ' ( x )= 12 x − 18
Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segundad a=derivada ( f
' '
x
¿ d
e
la función a cero.
− ∞ x= 1
x= 2 ∞
12 x − 18 - +
Signos - +
Cóncava ( Cóncava hacia abajo) (Cóncava hacia arriba)
Cóncava hacia arriba:(
Cóncava hacia abajo:( - ∞ ,
)
k) se hallan las intersecciones con el eje “y”, cuando x equivale a cero en la función original.
f ( 0 )= 2 ( 0 )
3
2
f ( 0 )= 20
Puntos de Intersección con el eje y: (0,20)
l) se hallan las intersecciones con el eje “x”, cuando y equivale a cero en la función original.
. 0 = 2 x
3
− 9 x
2
− 24 x + 20
factorizamos para encontrar los puntosde x utilizando divisió n sintetica
https://www.wolframalpha.com/input/?i=FACTOR%282x%5E3-9x%5E2-24x%2B20%
0 = 2 ( x −6.17993) ( x −0.684398) ( x +2,36433)
Tomamos como valores de intersección del eje x, los valores que se encuentran dentro
de los paréntesis, el dos no se coge como valor de intersección ya que si se iguala a
cero este no corresponde con la ecuación.
x =¿ 6.17993 ; x =0.684398 ; x =−2,
Puntos de Intersección con el eje x: (6,17993; 0); (0,684398; 0); (-2,36433; 0)
m) graficamos los datos obtenidos:
Función original
Puntos de intersección con el eje x
Punto de intersección con el eje y
Mínimo y máximo local
Punto de Inflexión
https://www.geogebra.org/graphing/p9t2gwgs
y = 5 x
6
− 6 x
5
a) Dominio Máximo
D
f
= R ( Numeros reales )
b) La primera derivada
f
'
x
= 30 x
5
− 30 x
4
30 + + +
( x − 1 )
( x )
4
( x − 1 ) ( x )
4
¿Crece o decrece la
función?
↘
(Decreciente)
↘
(Decreciente)
↗
(Creciente)
Creciente: ¿
, +∞)
Decreciente:( −¿∞,1)
Cuando hay un cambio del signo de f ’ , hay un mínimo relativo que sería (1,0).
Mínimo local: (1,0)
h) encontramos la segunda derivada para poder encontrar los puntos de inflexión y los intervalos
de la función si son cóncavos hacia arriba o cóncavos hacia abajo.
f ´
x
= 30 x
5
− 30 x
4
f ' ' ( x )= 150 x
4
− 120 x
3
Para encontrar los puntos de inflexión igualamos la segundad a=derivada ( f
' '
x
¿ d
e
la función a cero.
f ' ' ( x )= 0
150 x
4
− 120 x
3
X
3
5 X − 4
30 no se considera debido a que pasa a dividir con el cero o se puede deducir que si se
tomara como punto de referencia como valor de inflexión y se igual a cero (30= 0), no
es válido para tomar como valor de inflexión.
( X
3
) ( 5 X − 4 )= 0
5 x − 4 = 0 x
3
5 x = 4 → x =
3
√
x
3
3
√
0 → x = 0
Para hallar el punto de inflexión se debe remplazar en la función original.
i) Remplazamos el valor de inflexión en la función original.
f ( 0 )= 5 ( 0 )
6
5
f ( 0 )= 1
f
(
)
(
)
6
(
)
5
f
(
)
(
)
f
(
)
(
)
Punto de inflexión:
(
)
y (0,1)
j) Realizamos una tabla de signos correspondiente al valor de inflexión
(
)
y 0
(
)
(
)
(
) (
)
1
150 x
4
− 120 x
3
Signos + - +
Cóncava (Cóncava hacia arriba) ( Cóncava hacia abajo) (Cóncava hacia
arriba)
Cóncava hacia arriba: ( − ∞ ,0[U]
(
)
Cóncava hacia abajo: (0,
(
)
)
Punto de intersección con el eje y https://www.geogebra.org/graphing/dvykykc
CAPITULO
EJERCICIOS 14.
(23-26) (Elasticidad e inestabilidad de la demanda) Considere las relaciones de demanda
siguientes y determine los valores de P que hagan a la demanda: a) Elástica b) inelástica
- x = 100 ¿)
X = 200 − 100
√
p
dx
dp
√
p
η =
p
√
p
×
√
p
→η =
p
x
×
dx
dp
√ p
√
p
× 50 =
50 √ p
√
p
√ p
√
p
p
4 − 2 √ p
p
√
p
p
√
p
p
√
p
√
p
√
p
p −¿ ( 4 − 2
√
p )
√
p
√
p − 4
4 − 2 √ p
Igualamos la desigualdad a cero tanto numerador como denominador para encontrar
la inelasticidad.
√
p − 4
√
p
3 √ p − 4 = 0
√
p =
√
p
2
(
)
2
p =
4 − 2 √ p = 0
√
p
√
p = 2
√
p )
2
2
p = 4
(-∞,
,4) (4,+∞)
- ∞ p = 0
p=1 4 p=
+∞
3 √ p − 4
√
p
√
p − 4
√
p
los valores de P que hagan a la demanda es inelástica son los que se encuentran en el
intervalo (4,+∞), es decir los valores que sean mayor que cuatro hasta cualquier valor
de precio infinito positivo.
p
4 − 2 √ p
p
4 − 2 √ p
√
p
4 − 2 √ p
√
p −¿ ( 4 − 2
√
p )
√
p
