UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO
VILLARREAL
ESCUELA UNIVERSITARIA DE EDUCACION A
DISTANCIA
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
“EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES”
PROFESOR: Dr. WILLY VICTOR MANDUJANO MIESES
LIMA – UNFV – Octubre 2017
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ejercicios resueltos de probabilidades, Ejercicios de Estadística Inferencial
ejercicios resueltos de probabilidades
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 24
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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO
VILLARREAL
ESCUELA UNIVERSITARIA DE EDUCACION A
DISTANCIA
ESTADISTICA Y PROBABILIDADES
“EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES”
PROFESOR: Dr. WILLY VICTOR MANDUJANO MIESES
LIMA – UNFV – Octubre 2017
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES
I.- ESPACIO MUESTRAL
1. Construir el espacio muestral apropiado para los siguientes experimentos aleatorios: a) Elegir una carta de una baraja de 52 cartas. b) Inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fábrica. c) Extraer una muestra de 5 bolas con reemplazamiento de una urna que contiene 12 bolas diferentes (esto es las bolas se devuelven a la urna antes de extraer una segunda vez). SOLUCIÓN
A) Si : C= Corazones, D = Diamantes, = Espada y T = trébol S = {C1, C2,....C13; D1, D2, ... D13; E1, E2,…E13; T1, T2,....T13} B) Hay n formas de inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fábrica. S = {0,1,2,..........n}
C) Si a1, a2, a3,........a12, son las diferentes bolas
S={a1,a2,a3,......a12}^5 producto cartesiano Dado que son con reemplazamiento.
2. Un inversionista planea escoger dos de las cinco oportunidades de inversión que le han recomendado. Describa el espacio muestral que representa las opciones posibles.
Solución Si {A,B,C,D,E} es el conjunto de 5 opciones
a) Dar el espacio muestral adecuado para el experimento. b) Describir los siguientes eventos:
A: todos los aspirantes son calificados, deficientes o excelentes. Solución S = {D,R,B,E}^10 = [(X 1 ,X 2 ,X 3 ,X 4 ,……..X 10 )/Xj=D,R,B,E;j= 1,2,3,…..10]
II.- PROBABILIDAD DE EVENTOS EXCLUYENTES
6. Las caras numeradas 1,2 y 3 de un dado son de color rojo; las caras numeradas 4 y 5 son de color blanco, y la cara numerada 6 es azul. Al tirar este dado, cual es la probabilidad. a) Que aparezca una cara roja o el 5. b) Que aparezca una cara roja o número impar. Solución a) Def. Evento A: Que aparezca una cara roja Def. Evento B: Que aparezca el número 5. P (A U B ) = P(A) + P(B) ..............(1) Es una probabilidad de eventos mutuamente excluyentes e independientes. Pero : P (A) = n(A)/ n(S) A = {1,2,3} n(A)= 3 S = {1,2,3,4,5,6} n(S)= 6 P (A) = 2
Tambien: P(B) = n(B)/ n(S)
B = {5} n(B) = 1 S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 P (B) = 1/
Reemplazando en (1) tenemos:
P (A U B ) = (3/6)+ (1/6) = 4/6 = 2/3= 0.75 = 75%
b) Def. P (A U B ) : Que aparezca una cara roja o un
Número impar. Def. Suceso A: Que aparezca una cara roja Def. Suceso (A B): Que aparezca una cara roja e número impar a la vez
Por el teorema: P (A U B ) = P(A) + P(B) - P(A B)
A = {1,2,3} n(A)= 3 S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 P(A)= 3/ B= {1,2,3} n(B 2 )= 3 S = {1,2,3,4,5,6} n(S)= 6 P(B)= 3/ También: (A B)= {1,3} n(A B) = = 2 Reemplazamos (1) tenemos: P(B 3 )= (3/6)+(3/6)- 2/6 = 4/6 = 2/3 = 0.75 = 75%
PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
- Una caja contiene tres bolitas rojas y 8 bolitas negras, todas ellas del mismo material y del mismo tamaño. Si se extrae dos bolitas en sucesión y sin reemplazo, cual es la probabilidad de que ambas sean rojas.
SOLUCIÓN EJERCICIO Nº 8
Definimos el evento A = El # escogido sea divisible por 6 Definimos el evento B = El # escogido sea divisible por 8.
El evento (A B) = El # escogido sea divisible por 6 y por 8
Por el teorema:
P (A U B ) = P(A) + P(B) - P(A B)
Excluyentes pero dependiente.
P(A) = n(A) A = {6,12,18,24,30,36,42,48} n(A 1 )= 8
n(S) n(s) = {1,2,3,……………….,50} n(s)= 50 P(A) = 508
También: P(B) = n(B)/n(S)
Pero B ={8,16,24,32,40,48}n(B)= 6 P(B) = 6/ También: P (A B)= n(A B) / n (S)
Pero (A B) = {24,48} n (A B )= 2 Reemplazando en (1) tendremos:
P (A U B ) = 508 506 502 5012 256
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
9. Diez fichas numeradas del al 10 se mezclan en una caja. Se sacan de la caja dos fichas numeradas (X,Y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que X+Y sea igual a 10?
SOLUCIÓN
Definir: A: x + y = 10 P(A) =? S = {(1,2); (1,3)}; ......... (10,1)
n(S) = 90 n 1 n 2 A = {(1,9); (2,8); (3,7); (4,6);
n(A) = 4
Por lo tanto P(A)= 45
n(S)
n(A) (^)
10. En la caja hay 6 cubos enumerados iguales. De una a la vez se extraen al azar todos los cubos de la caja; hallar la probabilidad de que los números de los cubos extraídos aparezcan en orden creciente.
A : Obtener los cubos ...... en orden creciente (1,2,3,4,5,6) A = {(1,2,3,4,5,6) n(A) = 1 S ={(1,2,3,4,5,6);(1,3,4,6,2);(..); ......(6,5,4,3,2,1)}
n(A) = 1 n(S) = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720
..P(A)= 61!^ 7201
Se obtiene de la tabla de doble entrada
b)
n n r
n Cr C
c) 0 ^1
Cn
d) C n
n (^) 1
COMBINACIONES
- En una caja hay 15 piezas de las cuales 10 están pintados. Un mostrador extrae al azar dos piezas. Hallar la probabilidad de que las piezas extraídas sean pintadas.
SOLUCIÓN
ξ: Extraer 2 piezas A: 2P. Extraídas [de 25 donde 10 están pintadas]
Sean Pintadas
12. Un dispositivo contiene 5 elementos de los cuales 2 están desgastados, al poner en funcionamiento el dispositivo se conectan en forma aleatoria dos elementos. Hallar la probabilidad de que los elementos no desgastados resulten conectados.
SOLUCIÓN
e D = 2
e D = 3
total e = 5
n(S) = (^) C 25 Todos los elementos
n(A) = (^) C 23 No desgastado
5 x4x3!
n(S) P(A) n(A) 25
23 02 x
x C
CC
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
13. Con los dígitos 0,1,3,5,7 y 9 se forman aleatoriamente números de tres cifras distintas mayores que 100. ¿Cuál es la probabilidad de que estos números sean divisibles por cinco?
SOLUCION
A : Los números formados sean mayores que 100 y divisibles por 5 S : Los números mayores que 100. n (S) :
Además los números son múltiplos de 5 terminan en 5 o en
0
Sea n 1 :# de 3 cifras terminadas en 0 = 20
Sea n 2 :# de 3 cifras terminadas en 5 = 16
No va el cero n(A)= 36
Y P (A) = n(S)^36
n 1 n 2
Múltiplos de 5 Y no múltiplos de 5 = 100
b) B : Insignias cuyo # sea 5
B = {1, 2, 3, 4, 5 } n (B)= 5
Fijo Debemos tomarlos de 3en 3 o de r en r
20
1
( 10 3 )! 3!
10!
( 4 2 )! 2!
4! C P(B) (^10) 3
4 2 10 3
6 1
5 - 2 3 - (^1)
C
C C
C
15. De 20 personas que contrajeron cierta enfermedad al mismo tiempo y que fueron llevados a la misma sala de un hospital, 15 se recuperaron completamente en tres días, al cabo del cual, se escogen aleatoriamente 5 personas para un chequeo ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 sean dados de alta? ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 sean dados de alta? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de sea dado de alta?
SOLUCION
S : Escoger 5 personas de los 2 y darle de alta. 20 n(S) C 5
a) A : Las personas sean dadas de alta (es decir todos los que están sanos) 15 n(A) C 5 (ya que 15 de los 20 están sanos)
Luego:
5 , 168
C 1 , 001 P(A) (^20) 5
15 3 C
b) B: Exactamente 4 personas están sanas
n(B) = C^154 x C^51
20 5
5 1
15 P(A) C^4 C
C
c) Sea C : “Ninguna Persona está sana”
C tiene C^55
(S) = 1
P(C) =^20
5
C
POR DEFINICION DE PROBABILIDAD
16. Elige una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas?Cuál es la probabilidad de que sea un palo negro (espadas o tréboles)? ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 10? ¿Cuál de que sea una figura (rey, reyna o sota)? ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 4 o menos?. SOLUCION S = Elegir una carta de una baraja de 52 cartas. N(S)= 52 a) A : “Obtenemos un palo negro” A tiene 26 elementos (13 espadas + 13 tréboles) n(A) = 26
De las 5 extraídas Las que están enfermas
b) B: El # formado sea par.
S: Formado por # pares. Para que el # formado sea par, debe terminar en 2,4,6, las cuales pueden escogerse de 4 formas y para c/u de estas si empiezan con el mismo # habrá 7! De ordenar los dígitos restantes. n(B) 4 x7! De donde P(B) = 2
4 x 7 !
c) C: “El número formado sea múltiplo de 4” 5 múltiplos de 4 cuando las 2 últimas cifras también lo son y ese conjunto es: 32 24 36 28 52 64 56 48 72 84 76 68 92 96 es decir hay 14 posibles permutaciones y para c/u de ellos hay 6. n(C) = 14 x 6! P(C) =^148^ x!^6 ! 41
d) D: El # formado sea múltiplo de tres La suma de sus cifras es múltiplo de 3 Pero 2+3+4+5+6+7+8+9 = 44 no es múltiplo de 3 n(D) = 0 P(C)= 80!^ 0
DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD
18. Una muestra aleatoria de 10 fábricas emplea un total de 10,000 personas, demostró que ocurrieron 500 accidentes de trabajo durante un periodo reciente de dos meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada.
Solución: Sea el evento A: “un accidente de trabajo en la industria”, determinada entonces: P(A)= 500 = 0.05 por definición de frecuencias relativos ya que esté valor de la probabilidad se basa en una muestra, por lo tanto es una estimación del valor real desconocido, observe aquí no se supone implícitamente que las normas de seguridad no han cambiado desde que se realizó el muestreo.
19. La distribución de los miembros de los partidos polí ticos es: Partido A B C D E F Número Total de Militantes 105 100 70 45 40 15 Militantes Mujeres 15 20 5 10 3 2
¿Cuál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente: a) ¿Sea una mujer? b) ¿Pertenezca al partido b? c) ¿Sea un miembro del partido c?
W. VICTOR MANDUJANO MIESES
23. En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen
más de 6 pies de estatura. Además, 60% de los estudiantes son
mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es más
alto que 6 pies. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer.
6 pies > 6 pies
H
M
P(> 6 pies/H) = 0.04 P(H) = 0.
P(> 6 pies/M = 0.01 P(M) = 0.
11
3
4 0. 04 0. 6 0. 01
6 0. 01
( ) 6 ( ) 6
( ) 6 6
^ H piesH M pies M
M piesM M (^) pies P P P P
P P P
H
M
> 6 pies/H
< 6 pies/H
> 6 pies/M
< 6 pies/M
24. Un artículo que es manufacturado por 3 fábricas, se conoce que la
primera fábrica produce el doble de número de artículos que la
segunda y que la otra tercera fábrica produce el mismo número de
artículos que la segunda, todo esto dentro de un período de
producción determinado. Se sabe también que las fábricas 1 y 2
producen un 2% de artículos defectuoso cada uno, mientras que la
fábrica 3 produce un 4% de artículos defectuosos; se colocan juntos
los artículos producidos por las tres fábricas y se escoge un artículo al
azar. Hallar la probabilidad:
a) Que dicho artículo sea de la fábrica 1, si además se conoce que el
artículo es defectuoso.
b) Que el artículo sea de la fábrica 1 y se conoce que el artículo no es
defectuoso.
A 1 : Obtención de artículos producidos por la fábrica 1 P(D/A 1 ) = 0.
A 2 : Obtención de artículos producidos por la fábrica 2 P(D/A 2 ) = 0.
A 3 : Obtención de artículos producidos por la fábrica 3 P(D/A 3 ) = 0.
P(A 1 ) = r; P(A 2 ) = r/2; P(A 3 ) = r/2 => r + r/2 + r/2 = 1
r = ½
^ P(A 1 ) = ½ ;^ P(A 2 ) = ¼ ;^ P(A 3 ) = ¼
a
0. 5 0. 02 0. 25 0. 02 0. 25 0. 04 0.^4
P(A1/D)
(^112233)
(^11)
^
A
PA D
A
PA D
A
PA D
PA DA
b
^ ^ (^0). 5
- 975