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Capítulo 6
Estructuras Algebraicas
6.1. Problemas resueltos.
P1) 1. Para la ley de composición interna (lci) en R^2 dada por
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd)
estudiar conmutatividad, asociatividad y existencia de: neutro, inversos, elementos absor- bentes y elementos idempotentes.
- Sea (A, ∗) una estructura algebraica asociativa con neutro e ∈ A y tal que
∀ a ∈ A, a ∗ a = e
Demostrar que * es conmutativa. Solución:
- Sean (a, b), (c, d), (e, f ) ∈ R^2 elementos cualquiera,
conmutatividad:
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, bd)
= (ca, db)
= (c, d) ∗ (a, b)
⇒ ∗ conmuta.
asociatividad:
((a, b) ∗ (c, d)) ∗ (e, f ) = (ac, bd) ∗ (e, f )
= ((ac)e, (bd)f )
= (a(ce), b(df ))
= (a, b) ∗ (ce, df )
= (a, b) ∗ ((c, d) ∗ (e, f ))
⇒ ∗ es asociativa.
existencia de neutro: Queremos encontrar (x, y) ∈ R^2 tal que:
∀ (a, b) ∈ R^2 , (a, b) ∗ (x, y) = (a, b) ∧ (x, y) ∗ (a, b) = (a, b)
pero como ∗ conmuta, basta con probar sólo una de las igualdades anteriores. Veamos:
∀ (a, b) ∈ R^2 , (a, b) ∗ (x, y) = (a, b) ⇔ ∀ (a, b) ∈ R^2 , (ax, by) = (a, b)
⇔ ∀ a ∈ R, ax = a ∈ R ∧ ∀ b ∈ R, by = b
⇔ x = y = 1
Por lo tanto el elemento neutro es (1, 1).
existencia de inversos: Sea (a, b) ∈ R^2 queremos ver si existe (¯a, ¯b), tal que (a, b) ∗ (¯a, ¯b) = (1, 1) (recordar que ∗ conmuta)
(a, b) ∗ (¯a, ¯b) = (1, 1) ⇔ (a¯a, b¯b) = (1, 1)
⇔ a¯a = 1 ∧ b¯b = 1
Por lo tanto (a, b) tendrá inverso si y sólo si a y b son distintos de cero y éste será (a−^1 , b−^1 ), donde x−^1 es el inverso multiplicativo de x en R.
existencia de elemento absorbente: Buscamos un elemento (x, y) ∈ R^2 tal que ∀ (a, b) ∈ R^2 , (a, b) ∗ (x, y) = (x, y)
∀ (a, b) ∈ R^2 , (a, b) ∗ (x, y) = (x, y) ⇔ ∀ (a, b) ∈ R^2 , (ax, by) = (x, y)
⇔ ∀ a ∈ R, ax = x ∧ ∀ b ∈ R, by = y
⇔ x = y = 0
- Tenemos que probar que (∀ a, b ∈ A), a ∗ b = b ∗ a. Sea z = a ∗ b, luego
a ∗ z = a ∗ (a ∗ b)
= (a ∗ a) ∗ b (∗ asoc.)
= e ∗ b (hipotesis´ )
entonces (a ∗ z) ∗ z = (e ∗ b) ∗ z, pero
(a ∗ z) ∗ z = (e ∗ b) ∗ z ⇒ a ∗ (z ∗ z) = b ∗ z (∗ asoc.)
⇒ a ∗ e = b ∗ z (hip´otesis)
⇒ a = b ∗ z
⇒ b ∗ a = b ∗ (b ∗ z)
⇒ b ∗ a = e ∗ z
⇒ b ∗ a = z
⇒ b ∗ a = a ∗ b
es decir, ∗ conmuta.
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P2) Sea U un conjunto no vacio cualquiera y sea Y(U, Z 2 ) el conjunto de las funciones de U en Z 2. A todo subconjunto X ⊆ U le asociamos la función (^11) X : U → Z 2 tal que
(^11) X (x) =
0 si x /∈ X 1 si x ∈ X
que se denomina la indicatriz del conjunto X.
- Probar que si f ∈ Y(U, Z 2 ), entonces existe X ⊆ U tal que f = 1 (^1) X.
- Sobre Y(U, Z 2 ) se definen las siguientes operaciones:
(1 (^1) A ⊕ (^11) B )(x) = 1 (^1) A(x) + 2 11 B (x) (1 (^1) A • (^11) B )(x) = 1 (^1) A(x) · 2 11 B (x) donde A, B ⊆ U y x ∈ U. Demuestre que (Y(U, Z 2 ), ⊕, • ) es un anillo conmutativo con unidad.
Estructuras Algebraicas 67
Solución:
- Dado f ∈ Y(U, Z 2 ), como Rec(f ) = Z 2 ⇒ ∀ u ∈ U, f (u) = 0 ∨ f (u) = 1. Definimos X ⊆ U de la siguiente manera:
x ∈ X ⇔ f (x) = 1 (es decir, X = f −^1 (1)).
Por lo tanto
(^11) X (x) =
0 si x /∈ X ⇔ f (x) = 0 1 si x ∈ X ⇔ f (x) = 1
de aqui que (∀x ∈ U ), (^11) X (x) = f (x), con lo que (^11) X = f.
- Como vimos en la parte anterior que toda función en Y(U, Z 2 ) se puede representar por una indicatriz (y toda indicatriz está en Y(U, Z 2 )), en lo que sigue sólo trabajaremos con indicatrices. Veamos que (Y(U, Z 2 ), ⊕, • ) es un anillo conmutativo con unidad.
Primero notemos lo siguiente: cuando evaluamos las indicatrices y operamos con + 2 y · 2 , en realidad estamos trabajando en (Z 2 , + 2 , · 2 ) que es un anillo, por lo tanto podemos ocupar sus propiedades. Cuando hagamos uso de estas propiedades habrá una nota al margen que dirá (Z 2 , + 2 , · 2 ) anillo. Sean A, B, C ⊆ U.
pdq • distribuye con respecto a ⊕: Sea x en U un elemento cualquiera.
(^11) A • (1 (^1) B ⊕ (^11) C )(x) = 1 (^1) A(x) · 2 (1 (^1) B ⊕ (^11) C )(x)
= 1 (^1) A(x) · 2 (1 (^1) B (x) + 2 11 C (x))
= (1 (^1) A(x) · 2 11 B (x)) + 2 (1 (^1) A(x) · 2 11 C (x)) ((Z 2 , + 2 , · 2 ) anillo)
= (1 (^1) A • (^11) B )(x) + 2 (1 (^1) A • (^11) C )(x)
= (1 (^1) A • (^11) B ) ⊕ (1 (^1) A • (^11) C )(x)
Por lo tanto • distribuye con respecto a ⊕, pues la igualdad se cumple en cada x y tienen mismo dominio y recorrido.
pdq (Y(U, Z 2 ), ⊕) es grupo abeliano:
a) pdq ⊕ es asociativa: Sea x en U cualquiera,
Estructuras Algebraicas 69
(^11) A • (1 (^1) B • (^11) C )(x) = 1 1 A(x) · 2 (1 (^1) B • (^11) C )(x)
= 1 (^1) A(x) · 2 (1 (^1) B (x) · 2 11 C (x))
= (1 (^1) A(x) · 2 11 B (x)) · 2 11 C (x) ((Z 2 , + 2 , · 2 ) anillo)
= (1 (^1) A • (^11) B )(x) · 2 11 C (x)
= (1 (^1) A • (^11) B ) • (^11) C (x)
Por lo tanto • es asociativa, pues la igualdad se cumple en cada x y tienen mismo dominio y recorrido.
pdq • conmuta: Sea x un elemento en U cualquiera,
(1 (^1) A • (^11) B )(x) = 1 (^1) A(x) · 2 11 B (x)
= 1 (^1) B (x) · 2 11 A(x) ((Z 2 , + 2 , · 2 ) anillo)
= (1 (^1) B • (^11) A)(x)
Por lo tanto • es conmutativa, pues la igualdad se cumple en cada x y tienen mismo dominio y recorrido.
pdq • tiene neutro: Buscamos X ⊆ U tal que ∀ A ⊆ U, ∀ u ∈ U, (^11) A • (^11) X (u) = 1 (^1) A(u) (• conmuta), es decir tal que ∀ A ⊆ U, ∀ u ∈ U (^11) A(u) · 2 11 X (u) = 1 (^1) A(u) Notamos directamente que basta tomar X = U , es decir el neutro de • es (^11) U.
Asi, finalmente, tenemos que (Y(U, Z 2 ), ⊕, • ) es un anillo conmutativo con unidad.
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P3) 1. Sea (A, ∗) una estructura algebraica con elemento neutro e ∈ A y asociativa. Se define el conjunto B = {x ∈ A| ∃ y ∈ A, x ∗ y = y ∗ x = e} es decir, x ∈ B si y sólo si x tiene inverso para ∗ en A. Probar que (B, ∗) es un grupo.
- Considere el conjunto
Z 13 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 }
con la operación · 13 de multiplicación módulo 13. Sean
A 1 = { 1 , 12 }, A 2 = { 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 }, A 3 = { 1 , 5 , 8 , 12 }
Indique cuál de los conjuntos anteriores con la operación · 13 es un grupo y cuál no. Solución:
- Para ver que (B, ∗) es un grupo, primero tenemos que verificar que ∗ es una l.c.i. : sean a, b ∈ B, entonces existen a′, b′^ ∈ A tales que
a ∗ a′^ = a′^ ∗ a = e ∧ b ∗ b′^ = b′^ ∗ b = e
Veamos que a ∗ b tiene inverso para ∗ en A: proponemos b′^ ∗ a′^ (∈ A pues ∗ es por hipótesis una l.c.i. en A). Verifiquémoslo
(a ∗ b) ∗ (b′^ ∗ a′) = (a ∗ (b ∗ b′) ∗ a′) (∗ asoc.)
= a ∗ e ∗ a′^ (hipotesis´ )
= a ∗ a′
= e (hipotesis´ )
Que (b′^ ∗ a′) ∗ (a ∗ b) = e es análoga. Por lo tanto, dados a, b ∈ B, (a ∗ b) tiene inverso en A, y éste es (b′^ ∗ a′) (con a′^ y b′^ como los definimos antes). Verifiquemos ahora las propiedades de grupo:
pdq ∗ es asociativa: Como ∗ es asociativa en A, entonces como B ⊆ A tenemos que ∗ es asociativa en B.
pdq ∗ tiene neutro en B: También es directo, pues e ∗ e = e, por lo que e ∈ B y como e es neutro en A, también lo es en B.
pdq todo elemento de B tiene inverso para ∗: Sea b ∈ B, entonces existe b′^ ∈ A tal que b ∗ b′^ = b′^ ∗ b = e. Luego, b′^ ∈ B por definición de B y también, por definición (de inverso), b′^ es inverso de b.
Por lo tanto (B, ∗) es un grupo.
- Sea i ∈ { 1 , 2 , 3 }, si Ai es un grupo, entonces es un subgrupo de (Z 13 \ { 0 }, · 13 ) que es un grupo abeliano finito, por lo tanto, por el Teorema de Lagrange, deberiamos tener que |Ai| divide a |Z 13 \ { 0 }| = 12 (notar que el teorema de Lagrange sólo pide que el grupo sea finito, si no fuera abeliano igual podriamos ocuparlo). Por lo tanto, como |A 2 | = 7, A 2 queda descartado (|A 1 | = 2 y |A 3 | = 4, por lo que no podemos decir nada aún).
Veamos A 1 : Como 1 ∈ A 1 y 1 es el neutro para · 13 , entonces (A 1 , ∗) tiene neutro. Además, como · 13 es asociativa en Z 13 y A 1 ⊆ Z 13 , · 13 sigue siendo asociativa en A 1.
Sea h ∈ H tenemos que buscar ¯h ∈ H tal que h = g ⊗ h¯. Como H es subgrupo, exite g−^1 ∈ H inverso de g, tomemos h¯ = g−^1 ⊗ h (∈ H), veamos que cumple con lo que queremos:
g ⊗ h¯ = g ⊗ (g−^1 ⊗ h)
= (g ⊗ g−^1 ) ⊗ h (pues H es subgrupo)
= h
que es lo que buscábamos, luego H ⊆ g ⊗ H.
- Suponemos que a ⊗ H ∩ b ⊗ H 6 = ∅ y veamos que a ⊗ H = b ⊗ H. Por hipótesis tenemos que existe f ∈ a ⊗ H ∩ b ⊗ H, entonces
f = a ⊗ h ∧ f = b ⊗ ¯h
para ciertos h, ¯h ∈ H, es decir existen h, ¯h ∈ H tales que a ⊗ h = b ⊗ ¯h. (⊆) Sea g ∈ a ⊗ H, luego g = a ⊗ ¯g para cierto ¯g ∈ H. Sean h−^1 ∈ H el inverso de h para ⊗ (existe pues H es subgrupo) y e el neutro de G (que es el mismo de H), entonces:
g = a ⊗ e ⊗ g¯
= a ⊗ (h ⊗ h−^1 ) ⊗ ¯g
= (a ⊗ h) ⊗ (h−^1 ⊗ ¯g)
= (b ⊗ ¯h) ⊗ (h−^1 ⊗ ¯g)
como H es un subgrupo y h, h¯ −^1 , g¯ ∈ H tenemos que m = ¯h ⊗ h−^1 ⊗ g¯ ∈ H. Asi, tenemos que g = b ⊗ m con m ∈ H ⇒ g ∈ b ⊗ H
con lo que concluimos esta inclusión. (⊇) Es análoga a la anterior (usando ¯h−^1 ⊗ h¯ = e ∈ H).
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P5) 1. Sea f : (Zm, +m) −→ (Z, +) un homomorfismo cualquiera, donde m ≥ 1. Demuestre que f es la función constante 0.
Estructuras Algebraicas 73
- Sea (G, ∗) un grupo y f : G → G la función definida por f (g) = g−^1 para cada g ∈ G (recordar que g−^1 es el inverso de g para la operación ∗). Probar que
f es un isomorfismo ⇔ G es un grupo Abeliano.
Solución:
- Como f es un homomorfismo, tenemos que
∀ a, b ∈ Zm, f (a +m b) = f (a) + f (b)
entonces para c = 1 +m 1 .... +m 1 (m veces) se tiene f (c) = mf (1). Pero c ≡m 0 , por lo tanto f (c) = f (0), con lo que obtenemos que
f (0) = mf (1).
Pero como (Z, +) es un grupo, (Zm, +m) es una estructura algebraica y f es un morfismo de (Zm, +m) en (Z, +), tenemos que f del neutro de (Zm, +m) es igual a f del neutro de (Z, +), y como el neutro de ambos es al cero, tenemos que
0 = mf (1).
Ahora, como m 6 = 0, lo anterior implica que f (1) = 0. Además, cualquier elemento de Zm se puede escribir como una suma finita de unos, por lo tanto su imagen por f será de la forma
∑n i=1 f^ (1)^ para algún^ n < m, pero esta sumatoria es siempre cero (ya que f (1) es cero). Por lo tanto tenemos que f evaluado en cualquier elemento de Zm es cero, de donde concluimos que f ≡ 0.
Como f es un isomorfismo, tenemos que
∀ g, h ∈ G, f (g ∗ h) = f (g) ∗ f (h)(⇔ (g ∗ h)−^1 = g−^1 ∗ h−^1 ).
G es un grupo,entonces para ver que es grupo abeliano sólo falta varificar que ∗ conmuta: sean a, b ∈ G y e el neutro para G
a ∗ b = (a ∗ b) ∗ e
= (a ∗ b) ∗ (b ∗ a)−^1 ∗ (b ∗ a)
= (a ∗ b) ∗ (b−^1 ∗ a−^1 ) ∗ (b ∗ a)
= a ∗ e ∗ a−^1 ∗ (b ∗ a) (G es grupo)
= a ∗ a−^1 ∗ (b ∗ a)
= b ∗ a
Por lo tanto ∗ conmuta.
Estructuras Algebraicas 75
P2) 1. Sea f : (A, ∗) → (B, ∆) un morfismo. a) Probar que ∆ es una ley de composición interna en f (A). b) Probar que (f (A), ∆) es un grupo si (A, ∗) es un grupo.
- Considere la operación definida en Z por n ∗ m = n + m − 1. Pruebe que (Z, ∗) y (Z, +) son isomorfos.
P3) 1. Sea (G, ∗) un grupo Abeliano y H, K ⊆ G subgrupos de G. Se define el conjunto
H ∗ K = {h ∗ k | h ∈ H, k ∈ K}
Probar que H ∗ K es un subgrupo de G.
- Sea (G, ∗) un grupo tal que para cada g ∈ G existe n ≥ 1 tal que gn^ = g ∗ ... ∗ g (n-veces) = e (el neutro de G). Probar que el único homomorfismo F : (G, ∗) → (Z, +) es la función constante F (g) = 0 en cada g ∈ G.
P4) Considere en R^2 las siguientes operaciones (a, b)⊕(c, d) = (a+c, b+d) y (a, b) (c, d) = (a·c, b·d).
- Pruebe que (R^2 , ⊕, ) es una anillo conmutativo con unidad.
- Pruebe que (R^2 , ⊕, ) posee divisores del cero.
- Se dice que (R 4 , + 4 , · 4 ) y (R♦, +♦, ·♦) son isomorfos si existe ϕ : R 4 → R♦ biyección tal que
∀x, y ∈ R 4 , ϕ(x + 4 y) = ϕ(x) +♦ ϕ(y) y ϕ(x · 4 y) = ϕ(x) ·♦ ϕ(y) Demuestre que (R^2 , ⊕, ) no es isomorfo a (C, +, ·).
P5) Sea (G, ∗) un grupo con neutro e ∈ G y
A = {F : G → G | F es un isomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗)}.
- Probar que (A, ◦) es un grupo (◦ es la composición de funciones).
- Para cada g ∈ G se define la función Fg : G → G tal que Fg (x) = g ∗ x ∗ g−^1 en cada x ∈ G. Pruebe que: a) Fg es un homomorfismo de (G, ∗) en (G, ∗). b) Fg∗h = Fg ◦ Fh, para todo g, h ∈ G. c) Fe = Id (Id es la función identidad en G). Concluya que Fg es un isomorfismo y que (Fg )−^1 = Fg− 1 para todo g ∈ G.
- Pruebe que B = {Fg | g ∈ G} es un subgrupo de (A, ◦).
