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PRÁCTICA 3
Un estadístico podría meter su cabeza en un horno y sus pies en hielo, y decir que en promedio se encuentra bien.
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIO 1
Los psicólogos que trabajan en un Centro de Día para adultos de la tercera edad de la Ciudad de Buenos Aires, observaron el estado civil de un grupo de 120 varones que se tratan por problemas depresivos. Sus registros se presentan en la siguiente tabla:
Estado Civil Frecuencia Soltero 24 Casado 18 Viudo 42 Divorciado 36 Total 120
¿Qué Estado Civil se le asignaría a Antonio G. si solo sabe que se trata por problemas depresivos y concurre a dicho Centro de Día? Justifique su respuesta.
Resolución: La moda de la distribución de la variable Estado Civil de los adultos mencionados es la categoría VIUDO, pues a ella le corresponde la mayor frecuencia. Esta categoría es la más probable para una observación realizada al azar. Por tanto, en las condiciones dadas, a Antonio G. se le asignaría el estado civil VIUDO. Nótese que la categoría DIVORCIADO también concentra una alta proporción de las frecuencias. En el ejercicio resuelto 4 se retomará este ejercicio y se cuantificará la incertidumbre para la asignación hecha al azar.
EJERCICIO 2
Los siguientes son los puntajes de un grupo de adolescentes en un test de Agudeza Visual: 25, 12, 15, 23, 24, 39, 13, 31, 19, 16.
a) Calcule la media, la mediana, el primer cuartil, el primer intercuartil y las frecuencias de los intercuartiles. b) Calcule la varianza y el desvío estándar.
Resolución: En los problemas como este en que los datos son pocos (en este caso son diez) el cálculo puede hacerse “manualmente” (usando una calculadora). Cuando los datos no son pocos se
emplean programas computacionales de cálculo estadístico como el Statistix. A continuación se presentan los dos procedimientos, con calculadora o con Excel, y mediante el uso del programa Statistix.
a) i) Usando calculadora o Excel
Para calcular la media ( ) se usa la expresión: =
Entonces: = 21,
Para calcular la mediana (Mdn) se deben ordenar los puntajes de forma ascendente:
Mdn = , pues 19 y 23 ocupan las posiciones centrales. O sea: Mdn= 21
Considérense nuevamente los datos ordenados:
12, 13, 15, 16, 19, 23, 24, 25, 31, 39
En este caso de pocos datos por simple observación se obtiene el primer cuartil q 1 = 15 y el primer intercuartil es Q 1 = {12,13}. Las frecuencias de los intercuartiles es igual a 2 en los cuatro casos.
a) ii) Usando el programa Statistix Se cargan los valores de la variable Puntaje en un archivo:
Sujeto Puntaje 1 25 2 12 3 15 4 23 5 24 6 39 7 13 8 31 9 19 10 16
x x
n
x
x 21 , 7
x
b) ii) Usando el programa Statistix Desde el Menú, en StatisticsSummary Statistics Descriptive Statistics se pide que realice los cálculos de interés y se obtiene lo que sigue:
Descriptive Statistics Variable SD Variance Puntaje 8.5512 73.
EJERCICIO 3 En un grupo de estudiantes se considera el número de ensayos que necesita cada uno para memorizar una lista de seis pares de palabras. Los resultados fueron: 5 8 3 9 6 7 10 6 7 4 6 9 5 6 7 9 4 6 8 7
a) Construya la tabla de frecuencias. b) Calcule la moda, la media, la mediana y el tercer cuartil de las observaciones dadas. Obtenga la frecuencia del conjunto de los resultados superiores a 5. c) Calcule la varianza y el desvío estándar. d) Un grupo de 20 actores fue sometido a la misma experiencia que los estudiantes mencionados arriba. Para ellos resultó una media de 4,8 y un desvío de 1,8. En base a los resúmenes estadísticos adecuados señale: d1) cuál es el grupo de mejor desempeño en la experiencia realizada. Justifique su respuesta. d2) en cuál grupo los integrantes son más parecidos entre sí en relación a la cantidad de ensayos necesarios para memorizar la lista de seis pares de palabras. Justifique su respuesta.
Resolución: a) Usando el programa Statistix se obtiene la distribución de frecuencias para el número de ensayos. Frequency Distribution of Número de ensayos Cumulative Value Freq Percent Freq Percent 3 1 5.0 1 5. 4 2 10.0 3 15. 5 2 10.0 5 25. 6 5 25.0 10 50. 7 4 20.0 14 70. 8 2 10.0 16 80. 9 3 15.0 19 95. 10 1 5.0 20 100. Total 20 100.
Por ejemplo, en la cuarta línea de esta tabla de frecuencia se lee que 5 de los 20 estudiantes (25% de la muestra) realizaron 6 ensayos, y que 10 estudiantes necesitaron hacer 6 ensayos o menos.
b) La moda es 6, pues es el valor de la variable al que le corresponde la mayor frecuencia.
Obtención de la media usando calculadora o Excel: Partiendo de la expresión = , se
construye la siguiente tabla:
x
n
x. f
X f x.f 10 1 10 9 3 27 8 2 16 7 4 28 6 5 30 5 2 10 4 2 8 3 1 3 20 132
Resultando: =. Luego: = 6,
Cálculo de la mediana usando calculadora: Se calculan las frecuencias acumuladas llamadas fa y ga según se muestra en la tabla que sigue:
x f fa ga 10 1 20 1 9 3 19 4 8 2 16 6 7 4 14 10 6 5 10 15 5 2 5 17 4 2 3 19 3 1 1 20
Como = 10, resulta
Valores Altos: A = {10, 9, 8, 7} con fA= 10 = n/
Valores Bajos: B = {6, 5, 4, 3} con fB = 10 = n/
Como no quedan valores de la variable fuera de AB, resulta que la mediana es:
Mdn =
Cálculo del tercer cuartil:
Como , resulta A = {9, 10} con fA = 4 5 = n/
B = {3, 4, 5, 6, 7} con fB = 14 15 = 3n/4.
Luego: q 3 = 8
x 6 , 6
132 x
n
3 n (^)
para comparar la variabilidad de los dos grupos en cuanto al número de ensayos necesarios para memorizar los seis pares de palabras debemos recurrir, si es posible su uso, al Coeficiente de Variación (CV). Notemos que tiene sentido usar el CV porque tratamos con variables que se miden con una escala de razones.
Para los estudiantes: CV = 1,875 / 6,6 = 0,284 y para los actores: CV = 1,8 / 4,8 = 0,
En tanto el CV para los estudiantes es menor que para los actores, puede afirmarse que los estudiantes presentan valores de la variable más próximos a la media del grupo, y por tanto son más parecidos entre sí, que los actores. Luego, la dispersión relativa del número de ensayos necesarios para memorizar la lista de seis palabras es menor en el grupo de estudiantes y este grupo resulta más homogéneo en cuanto a la característica observada.
EJERCICIO 4 La siguiente distribución de frecuencias corresponde a las observaciones del estado civil registradas, por los psicólogos del ejercicio resuelto 1, sobre un grupo de 100 mujeres tratadas por problemas depresivos.
Estado Civil Frecuencia Soltera 18 Casada 10 Viuda 62 Divorciada 10 Total 100
Compare esta distribución con la de los varones dada en el ejercicio resuelto 1.
Resolución: Para las mujeres con problemas depresivos resulta que la categoría modal es VIUDA, ya que le corresponde la mayor frecuencia.
Como los totales de varones y mujeres son distintos, para comparar las distribuciones consideramos la distribución de los porcentajes para cada sexo.
Estado Civil Varones % Mujeres % Soltero 20 18 Casado 15 10 Viudo 35 62 Divorciado 30 10 Total 100 100
Para las mujeres el porcentaje mayor corresponde a la categoría VIUDA, en cambio para los hombres hay dos categorías con porcentajes altos y similares (VIUDO y DIVORCIADO). O sea que en las mujeres las frecuencias están concentradas en un número menor de categorías que en los hombres. De ahí que la incertidumbre sobre el estado civil de una persona con
problemas depresivos es menor si es mujer. Por lo tanto la distribución de mujeres tiene menor entropía. Veamos que el valor de la Entropía (H) correspondiente confirma esta afirmación.
La expresión para el cálculo de la Entropía (H) es
H = - ∑ fR.LOG 10 (fR), o bien H =∑ [- fR.LOG 10 (fR)]
Operando en Excel resulta:
Estado Civil Varones f R
Mujeres fR
Varones
- fR.LOG 10 (fR)
Mujeres
- fR.LOG 10 (fR) Soltero 0,20 0,18 (^) 0,1398 0, Casado 0,15 0,10 (^) 0,1236 0, Viudo 0,35 0,62 (^) 0,1596 0, Divorciado 0,30 0,10 (^) 0,1569 0, Total (^1 1) 0,5798 0,
O sea:
Varones Mujeres Entropía (H) 0,5798 0,
Resulta que, para la información muestral dada, la distribución del Estado Civil para las mujeres presenta menor entropía que la de los Varones.
EJERCICIO 5
Los resultados de un test de aptitud tomado a un grupo de 100 personas se volcaron en la siguiente tabla:
Intervalo Frecuencia
¿Cuál es el intervalo modal? ¿En qué intervalo se encuentra la mediana? Calcule la media, la varianza y la desviación estándar.
Resolución: Muchas veces solo se conoce la distribución de frecuencias para los datos agrupados en intervalos de clase. Es decir, no se conocen los valores observados de la variable sino sólo cuántos de ellos (Frecuencia) se cuentan en cada intervalo. En estos casos
Para el cálculo de la varianza y del desvío estándar se usa fórmula computatoria para la suma de cuadrados. Para ello se construye la tabla siguiente:
Intervalo Marca de clase x
f x.f x^2 .f
20,5 - 25,5 23 28 644 14812 15,5 – 20,5 18 32 576 10368 10,5 – 15,5 13 21 273 3549 5,5 - 10,5 8 12 96 768 0,5 - 5,5 3 7 21 63 100 1610 29560
SC = =29560 - 1001 (1610)^2 = 3639
Luego s^2 = 3639/99 = 36,7576. O sea s^2 =36,7576 y s= 6,
EJERCICIOS PROPUESTOS
(Las respuestas se pueden encontrar en la página Web de la Cátedra)
EJERCICIO 1
En una encuesta de datos personales realizada en el marco de una investigación psicosocial (Casullo, 2000) se obtuvieron los siguientes datos acerca de los estudios alcanzados por los jefes de familias de adolescentes que concurren a escuelas de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires y del Conurbano Bonaerense:
Estudios alcanzados Escuela C.A.B.A. (f%)
Escuela Conurbano (f%)
Sin estudios o primario incompleto 1 22 Primario completo 4 58 Secundario incompleto 11 15 Secundario completo 23 3 Terciario incompleto 6 2 Terciario completo 8 Universitario incompleto 8 Universitario completo 39
Responda:
a) ¿Qué medida es la más adecuada para resumir la centralidad de los datos? Justifique su respuesta.
^2.^ ^1.^ ^ x. f ^2 n
x f
b) Si de Juan F. y Santiago T. sólo se sabe que son jefes de familias de adolescentes que concurren, respectivamente, a Escuelas de la C.A.B.A y del Conurbano Bonaerense, ¿qué nivel de estudios alcanzado le asignaría a cada uno? Justifique utilizando el resumen estadístico adecuado. c) ¿En cuál de los dos casos la incertidumbre sobre la ubicación del jefe de familia es mayor? Justifique utilizando el resumen estadístico adecuado.
EJERCICIO 2 Seleccione una muestra al azar de 20 individuos (Grupo A) de la base de datos Psicología y Humor. Para los puntajes en el factor Afiliativo: a) Construya la tabla de frecuencias. b) Obtenga los cuartiles, intercuartiles y frecuencias de los intercuartiles. c) Calcule la varianza y el desvío estándar.
EJERCICIO 3 La Calidad de un chiste fue evaluada por un grupo de expertos. A continuación se presenta la distribución obtenida: Muy bueno 5 % Bueno 12 % Regular 40 % Malo 28% Muy Malo 15%
a) Determine la moda y la mediana de esta distribución. b) Algunas informaciones nuevas permiten subdividir la clase "Regular" en dos clases:
Regular superior 25% Regular inferior 15%
Determine la moda y la mediana de esta nueva distribución. Compare los resultados con los obtenidos en el punto a). Justifique su respuesta.
EJERCICIO 4 Se pidió a un grupo de 18 sujetos (Grupo 1) que en 2 minutos armaran la mayor cantidad de palabras posibles a partir de un conjunto desordenado de letras. Se usó la cantidad de palabras correctas armadas como indicador de la habilidad de cada sujeto. Los resultados fueron: 6 2 4 4 7 3 6 7 7 5 6 5 6 5 6 1 7 3
Otro grupo de 18 sujetos (Grupo 2) realizó la misma tarea. Los resultados fueron: 3 9 7 4 5 6 3 4 5 6 7 4 4 4 3 8 3 5
a) Para cada grupo: i) Construya la tabla de frecuencias. ¿Cuántos sujetos superan 6 palabras? ¿Cuántos no superan 4 palabras?
e) Calcule la varianza y el desvío estándar. f) Indique en cuál grupo los integrantes son más parecidos en cuanto a la cantidad de “y entonces…” utilizados en el relato de una película. Justifique su respuesta.
EJERCICIO 6
Se dan dos series de observaciones: (A) 3, 4, 3, 200, 1, 5, 4, 2, 3 (B) 3, 4, 8, 5, 7, 6, 3 Calcule en cada caso el resumen adecuado para indicar la centralidad de las series. Fundamente su elección en cada caso.
EJERCICIO 7
Un grupo A de 10 psicólogos atiende en promedio a 5,80 pacientes. Otro grupo B de 20 psicólogos atiende en promedio 5,45 pacientes. ¿Cuál es la media de la cantidad de pacientes que atiende un psicólogo del grupo obtenido juntando A y B?
EJERCICIO 8
Un docente de Estadística tiene a su cargo las comisiones de Trabajos Prácticos 1 y 2. El promedio de notas del primer parcial en la comisión 1 fue de 6 puntos mientras que en la 2 el promedio fue de 7 puntos. El docente está interesado en conocer cuál es el promedio de notas de sus dos comisiones en conjunto. ¿Cuál es este promedio si la comisión 1 tiene 20 alumnos y la comisión 2 tiene 30? Elija una de estas opciones:
a) 6,20 b) 6,25 c) 6,50 d) 6,
EJERCICIO 9
El tiempo que transcurre entre la finalización de la presentación de un chiste y el momento en que una persona comienza a reírse se denomina tiempo de reacción. En este contexto, la presentación del chiste es un estímulo y la aparición de la risa, la reacción. Se hizo una experiencia, con un denominado grupo 2, en el que se midió el tiempo de reacción de sus integrantes ante un chiste y se registraron los siguientes datos en décimas de segundos (ds): 29 34 26 31 38 35 36 32 34 33 30 En una experiencia previa con un grupo 1, se tuvo, para este chiste, un tiempo de reacción medio 29,182 ds, una varianza 11,964 ds^2 y una mediana 29 ds. Calcule los resúmenes estadísticos que permitan decidir: a) cuál de los grupos reaccionó más rápido ante el estímulo. Justifique su respuesta. b) cuál de los grupos es más homogéneo respecto de la característica estudiada. Justifique su respuesta.
EJERCICIO 10 El sentido del humor de un grupo de jóvenes de la ciudad de Córdoba fue medido mediante la Escala sobre el Sentido del Humor. Se organizaron los datos del estilo del humor Mejoramiento
Personal en una tabla que contiene las frecuencias correspondientes a los intervalos de clase indicados.
Intervalos de clase Frecuencia 13,5 - 19,5 4 19,5 - 25,5 59 25,5 - 31,5 136 31,5 - 37,5 132 37,5 - 43,5 56 43,5 - 49,5 7
a) Considerando que no se dispone de los datos originales, y que sólo se cuenta con la información de la tabla, calcule la media y la desviación estándar del sentido del humor Mejoramiento Personal de los jóvenes de la ciudad de Córdoba que participaron de la experiencia. ¿Qué puede decir sobre la exactitud de los resúmenes obtenidos? b) ¿Cuál es el intervalo modal? ¿En qué intervalo se encuentra la mediana?
EJERCICIO 11
Obtenga moda, media, mediana y desvío estándar o, según el caso, los intervalos en los que se ubican, para los datos sin agrupar y para los agrupados en intervalos del factor Mejoramiento Personal como se indicó en el ejercicio 3 de la Práctica 2. Compare los resultados obtenidos.
EJERCICIO 12
La base de datos Psicología y Humor incluye las observaciones de la variable Lugar de Residencia. En 2011, se recogió información sobre la misma variable de una muestra tamaño 215, obteniéndose los siguientes datos:
Lugar de residencia Frecuencia Ciudad de Buenos Aires 55 Gran Buenos Aires 140 Otros lugares 20
Compare esta distribución del Lugar de Residencia con la que surge de la base de datos.
a) Si de Eliana y Fidel sólo se sabe que integraron, respectivamente, la base de 2011 y 2012 ¿qué lugar de residencia le asignaría a cada uno? Justifique utilizando el resumen estadístico adecuado.
b) ¿En cuál de los dos casos la incertidumbre sobre el lugar de residencia es mayor? Justifique utilizando el resumen estadístico adecuado.
EJERCICIO 16
Considere una distribución de frecuencias de una variable cualitativa (cuyos valores se obtienen exclusivamente por una medición de nivel nominal). Si dos clases tienen la misma frecuencia, y ésta es mayor que la de las clases restantes, la distribución se dice bimodal:
a) Nunca. b) Algunas veces. c) Siempre. d) No se puede determinar.
EJERCICIO 17
Considera dos muestras de observaciones de la misma variable. Suponga que de cada una de ella se conoce la media, la mediana, la moda, la desviación estándar y el tamaño. Indique si es Verdadero (V) o Falso (F) que esa información permite, para la muestra que resulta de juntar todas las observaciones, el cálculo de:
a) la moda
b) la mediana
c) la media
d) el desvío estándar
EJERCICIO 18
Para cada uno de los términos listados coloque una cruz en la casilla que corresponda según esté incluido en el concepto de medidas de centralidad, de medidas de dispersión u otro.
Término Medida de centralidad
Medida de dispersión
Otro concepto
Amplitud Asimetría Desvío estándar Entropía Intercuartil Marca de clase Mediana Rango semiintercuartil
EJERCICIO 19
Si una distribución de frecuencias tiene asimetría negativa la relación entre moda y media es tal que:
a) La media es mayor que la moda b) La moda es mayor que la media c) Moda y media coinciden d) Ninguno de los enunciados anteriores es verdadero.
EJERCICIO 20
Si una distribución de frecuencias es simétrica se cumple que media, moda y mediana coinciden:
a) Nunca. b) Algunas veces. c) Siempre. d) No se puede determinar.
EJERCICIO FINAL
Continúe con la construcción del glosario de los términos estadísticos contenidos en el cuento “Como transformarse en un estudiante de Psicología y no desencadenarse en el intento” (Fridman, 2015), tal como se explica en el Ejercicio Final de la Práctica 1.
Referencias Bibliográficas
Casullo, A. (2000). Riesgos sociales, medioambientales y personales percibidos por los adolescentes. Anuario de Investigaciones VIII. Buenos Aires: Secretaría de Investigaciones, Fac. de Psicología, U.B.A. Fridman, C. A. (2015). Como transformarse en un estudiante de Psicología y no desencadenarse en el intento. En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires.
