Identifique el conjunto de puntos que satisfacen
a) |𝑧|=𝑅𝑒𝑧+1; b) |𝑧−1|+|𝑧+1|=4; c) 𝑧3=𝑧
Encuentre las tres raíces de 𝑥3−6𝑥=4
Encuentre las dos raíces de √−8+6𝑖
Encuentre todas las soluciones para:
a) 𝑧6=1; b) 𝑧4=−1; c) 𝑧4= −1 + √3 𝑖; d) 𝑒𝑧=1; e) 𝑒𝑧=𝑖; h) 𝑒𝑧=−3;
𝑖) 𝑒𝑧=1+𝑖; j) 𝑧2+√32 𝑖 𝑧 − 6𝑖 =0 .
Evalúe los siguientes límites:
a) lim
𝑧→2𝑖(𝑖 𝑧4+3𝑧2−10𝑖); b) lim
𝑧→𝑒𝜋𝑖4
⁄𝑧2
𝑧4+𝑧+1; c) lim
𝑧→𝑖𝑧2+1
𝑧6+1; d) lim
𝑧→𝑖(𝑧−1−𝑖
𝑧2−2𝑧+2)2
𝑒) lim
𝑧→1+𝑖𝑧2−𝑧+1−𝑖
𝑧2−2𝑧+2
Probar que 𝑓′(𝑧) no existe en ningún punto para:
a) 𝑓(𝑧)=𝑧 ; b) 𝑓(𝑧)=𝑧−𝑧 ; c) 𝑓(𝑧)=2𝑥+𝑖𝑥𝑦2; d) 𝑓(𝑧)=𝑒𝑥𝑒−𝑖𝑦
Demostrar, usando el teorema de Cauchy-Riemann que 𝑓′(𝑧) y su derivada existen en todas
partes y calcular 𝑓′′(𝑧), para:
a) 𝑓(𝑧)=𝑖𝑧+2; b) 𝑓(𝑧)=𝑒−𝑥𝑒−𝑖𝑦; c) 𝑓(𝑧)=𝑧3 ; d) 𝑓(𝑧)=cos 𝑥 cosh𝑦 + 𝑖 sin𝑥sinh𝑦
Aplicar el teorema de Cauchy-Riemann para comprobar que cada una de estas funciones es
entera:
a) 𝑓(𝑧)=3𝑥+𝑦+𝑖(3𝑦−𝑥); b) 𝑓(𝑧)=sin𝑥cosh𝑦+𝑖cos𝑥sinh𝑦; c) 𝑓(𝑧)=𝑒−𝑦𝑒𝑖𝑥
d) 𝑓(𝑧)=(𝑧2−2)𝑒−𝑥𝑒−𝑖𝑦 e) 𝑓(𝑧)=𝑒𝑧2; h) 𝑓(𝑧)=cos(2𝑧); i) 𝑓(𝑧)=𝑧𝑒−𝑧;
𝑗) 𝑓(𝑧)=𝑧2+ 5𝑖 𝑧 + 3 − 𝑖.
Muestre donde es 𝑓(𝑧)=𝑥2+ 𝑖 𝑦2 diferenciable y además que no es analítica en ninguna parte.
Demostrar que estas funciones no son analíticas en ningún punto:
a) 𝑓(𝑧)=𝑥𝑦+𝑖𝑦; b) 𝑓(𝑧)=𝑒𝑦𝑒−𝑖𝑥
Determinar los puntos singulares de la función dada y explique por qué la función es analítica en
todas partes excepto en esos puntos:
a) 2𝑧+1
𝑧 (𝑧2+1); b) 𝑧3+𝑖
𝑧2−3𝑧+2 ; c) 𝑧2+1
(𝑧+2) (𝑧2+2𝑧+2)