¡Descarga EJERCICIOS FUNDAMENTO y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
ACTIVIDAD ENTREGABLE UNIDAD 3
TALLER ANÁLISIS DE CASOS EMPRESARIALES-RECTAS Y PARÁBOLAS
PRESENTADO POR EL GRUPO 7:
JAVIER ANDRÉS HERNÁNDEZ CALDERÓN
ID: 1005183
JENNY KARINA COLMENARES ACEVEDO
ID: 993479
MARIA FERNANDA FRANQUIN BARON
ID: 1006856
JOSE MIGUEL GUERRA RODRIGUEZ
ID: 678628
DOCENTE: LUIS FERNANDO FOSSI BECERRA
FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS NRC-45-
CORPORACION UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS (UNIMINUTO)
CUCUTA NORTE DE SANTANDER
ADMINISTRACIÓN EN SEGURIDAD Y SALUD EN EL TRABAJO
JULIO 2024
Corporación Universitaria Minuto de Dios – UNIMINUTO Fundamentos de Matemáticas Unidad 3
Taller: análisis de caso (rectas y parábolas)
" LogiTrans Co." , una empresa líder en logística y transporte, enfrenta desafíos relacionados con la optimización de rutas, costos de transporte y asignación de recursos. El entorno competitivo y los cambiantes precios del combustible requieren que LogiTrans Co. ajuste continuamente sus estrategias operativas para mantener su rentabilidad y eficiencia. Utilizando análisis de pendiente y puntos de corte en gráficas lineales, la empresa busca mejorar la toma de decisiones en sus operaciones de transporte y distribución.
Fase 1. Optimización de costos de rutas
Ejercicio 1.
" LogiTrans Co." necesita determinar la relación entre la distancia recorrida por sus vehículos de transporte y los costos asociados para optimizar sus rutas y minimizar los costos de transporte. La empresa recopila estos datos: Distancia recorrida (en kilómetros): 100, 200, 300, 400, 500 Costos totales de transporte (en dólares): 150, 280, 390, 480, 550. La empresa desea calcular la recta mejor acorde a estos datos para poder prever los costos de transporte para distancias futuras y optimizar sus operaciones.
Tarea :
Modela la distancia recorrida y los costos totales de transporte según los datos recopilados por LogiTrans Co ¿Cuál es la relación entre la distancia recorrida y los costos totales de transporte según los datos recopilados por LogiTrans Co.? ¿Cómo se puede utilizar la ecuación de la recta ajustada para prever los costos de transporte para distancias que no están incluidas en los datos originales?
SOLUCIÓN:
DATOS:
Distancias (km): 100, 200, 300, 400, 500 Costos: (Dólares) : 150, 280, 1090, 490,
550 Costo= a+ b* Distancia
𝑖
ⅈ
Crea una ecuación para los ingresos y otra para los costos totales. Encuentrael punto de corte entre ambas ecuaciones para determinar el número de kilómetros necesarios para alcanzar el punto de equilibrio cada mes.
SOLUCIÓN:
Datos proporcionados:
Cantidad de paquetes enviados:100,200,300,400, Ingresos por el servicio (dólares): 2300, 800, 5400, 6800, 8000 Costos totales (dólares):1800, 3500,
5100,6400,7500 ECUACION PARA LOS INGRESOS
∑𝑦ⅈ−𝑏∑𝑥ⅈ a=
n= Número de datos = V alores de la cantidad de paquetes y-i= V alores de ingreso
y-i= 2300+ 800+ 5400+ 6800+ 8000= 23300
∑𝑥^2 = 1002 + 2002 + 3002 + 4002 + 500^2 = 10000 + 40000 + 90000 +
(x-i y-i) = (100/ 2300)+ (200/ 800)+ (300/ 5400)+ (400/ 6800)+ (500/ 8000)= 230000+ 1 60000+ 1620 000+ 2720000+ 4000000= 8730000
b= 5.8730000- 1500* 23300= 5* 550000- 15002
43650000 - 34950000 = 8700000 = 17. 2750000 - 2250000 500000
a= 23300 - 17* 4* 1500 = 23300 - 26100 = - 2800 = - 560 5 5 5
ⅈ
ECUACIÓN PARA LOS COSTOS TOTALES:
y-i= 1800+ 3500+ 5100+ 6400+ 7500+ = 24300
∑𝑥^2 = 1002 + 2002 + 3002 + 4002 + 500^2 = 10000 + 40000 + 90000 +
(x-i y-i) = (100/ 1800)+ (200/ 3500)+ (300/ 5100)+ (400/ 6400)+ (500/ 7500)= 180000+ 700000+ 153 0000+ 2560000+ 3750000= 8720000
b= 5.8720000- 1500* 24300= 5* 550000- 15002
43600000 - 36450000 = 7150000 = 14. 2750000 - 2250000 500000
a= 24300 - 14.3* 1500 = 24300 - 21450 = - 2850 = 570 5 5 5
ECUA CION DE COSTOS= 570+ 14.3 * CA NTIDA D DE PA QUETES
Cuál es la cantidad de paquetes necesarios para que los ingresos sean iguales a los costos totales, es decir, cuál es el punto de equilibrio para esteservicio
SOLUCIÓN:
- 560+ 17.4* paquetes= 570+ 14.3* paquetes 17.4* paquetes-14.3* paquetes= 570+ 560 3.1* paquetes= 1130 Paquetes = 1130= 364 - 52
¿Qué significa este punto de equilibrio en términos de la viabilidad económica del servicio de envíos express de LogiTrans Co.?
SOLUCIÓN: Por tal razón el punto de equilibrio es aproximadamente 365 paquetes, lo que significa que se necesita enviar al menos 365 paquetes por mes parea que los ingresos igualen a costos
SOLUCIÓN:
¿En qué punto de distancia recorrida es más rentable utilizar el servicio del Proveedor A en lugar del Proveedor B, y viceversa?
Para proveedor A:
Tarifa= 200+ 0. 0xPara proveedor B:
Tarifa= 150+ 0. x Igualamos ambas tarifas
200+ 0.50x= 150+ 0.75x
200 - 150= 0.75x – 0.50x
X= 5
Por tal razón, a partir de los 200 kilómetros, el proveedor A será mas rentable. Para distancias menores a 200 kilómetros, el proveedor B será más rentable.
Fase 2. Ecuación de la línea recta
" LogiTrans Co." , tras abordar optimizaciones de rutas y análisis de costos usando conceptos de pendiente y punto de corte, avanza hacia la aplicación directa de la ecuación de la línea recta para fortalecer la planificación estratégica y la respuesta a fluctuaciones del mercado. Este nuevo enfoque permitirá a la empresa modelar y predecir comportamientos lineales en costos, ingresos y otras variables críticas, facilitando una gestión más precisa y proactiva.
Ejercicio 4.
La empresa de logística " TransRápido" está evaluando dos opciones de tarifas para el transporte de mercancías. Cada opción ofrece una tarifa diferente basada en la distancia recorrida. " TransRápido" recopila datos sobre las tarifas de cada opción en función de la distancia para determinar cuál es la más rentable para sus operaciones.
Datos:
Opción A :
Tarifa base: $ Tarifa por kilómetro: $0.
Opción B:
Tarifa base: $ Tarifa por kilómetro: $0.
Preguntas:
- ¿Cuál de las dos opciones ofrece una tarifa inicial más baja para el transporte? SOLUCION:
Proveedor A tiene una tarifa base de 150 PESOS Proveedor B tiene una tarifa base de 200 PESOS Entonces, la opción A ofrece una tarifa inicial mas baja
- ¿Cuál de las dos opciones tiene una tarifa más baja por kilómetro adicional? SOLUCIÓN:
Proveedor A tiene un tarifa por kilómetro de 0.75 pesos Proveedor B tiene una tarifa por K ilómetro de 0.50 pesos Entonces la opción B tiene una tarifa más baja por kilometraje
- ¿En qué punto de distancia recorrida es más rentable utilizar la OpciónA en lugar de la Opción B, y viceversa? SOLUCIÓN:
Opción A: (c-a= 150+ 0.75) Opción B: (c-b= 200+ 0.50)
150+ 0.75D= 200+ 0.50D
Restamos (0.50D) de ambos lados 0.25D= 50
Dividimos ambos lados entre 0.
D= 200
Por lo tanto cuando la distancia recorrida es de 200 kilometros ambas opciones tiene el mismo costo, para distancias menores de 200 kilometros, la opción B es más rentable para distancias mayores de 200 kilometros la opcionA se vuelve MAS RENTABLE
Ejercicio 6.
Descargado por JENNY KARINA COLMENARES ACEVEDO (jennykarina1012@gmail.com)
El costo del combustible es un factor crítico que afecta directamente a los costos operativos de LogiTrans Co. Con los precios del combustible fluctuando constantemente, la empresa busca modelar esta relación para predecir impactos futuros en su estructura de costos.
Datos : o Costo operativo actual (sin combustible): $20,000 mensuales o Costo adicional por aumento de $0.10 en el precio del combustible por litro: $200 mensuales Tarea : Modela los costos operativos totales como una función del precio del combustible por litro, utilizando la ecuación de la línea recta. A naliza cómo un aumento en los precios del combustible de $0.10, $0.20, y $0.30 afectaría los costos operativos totales.
SOLUCIÓN:
V ARIABLES
C(p)= 20000+ 200
0 * P
Aumento de 0. P= 0. C(0.10)= 20000+ 200
Aumento de 0. P= 0. C(0.20)= 20000+ 400
Aumento de 0. P= 0. C(0.30)= 20000+ 600
Entonces los costos operativos totales aumentan a 20.200 pesos,20.400 pesos y 20.600 pesos mensuales con los incrementos en el precio del combustible de 0.10, 0.20 y 0.30. Fase 3. Métodos para resolver sistemas de ecuaciones
" LogiTrans Co." , después de analizar costos de mantenimiento, rentabilidad de nuevas rutas y el impacto de los precios del combustible usando ecuaciones lineales, se enfrenta ahora a decisiones más complejas que involucran múltiples variables y condiciones simultáneas. Esto requiere un enfoque más sofisticado utilizando sistemas de ecuaciones, que permite analizar interdependencias y optimizar múltiples aspectos operativos y financieros simultáneamente.
Ejercicio 7. Optimización de rutas y costos de mantenimiento
LogiTrans Co. está planeando la apertura de dos nuevas rutas de transporte para mejorar su cobertura y eficiencia operativa. Sin embargo, cada ruta tiene diferentes costos de mantenimiento y se espera que generen distintos niveles de ingresos. La empresa necesita determinar cuántos vehículos asignar a cada ruta para maximizar sus ganancias y minimizar los costos de mantenimiento.
Datos:
Ruta A : o Costo de mantenimiento por vehículo: $500 mensuales o Ingreso estimado por vehículo: $1000 mensuales Ruta B: o Costo de mantenimiento por vehículo: $700 mensuales o Ingreso estimado por vehículo: $1200 mensuales
Preguntas:
- ¿Cuántos vehículos debería asignar LogiTrans Co. a la Ruta A y cuántos a la Ruta B para maximizar sus ganancias? SOLUCIÓN:
GANANCIA POR VEHICULOS EN LA RUTA
A:A= 1000-500= 500
B= 1200-700= 500
En este orden de ideas las ganancias obtenidas en la ruta A como en la ruta B es la misma (500 dólares por vehículo) por lo tanto en términos de maximizar las ganancias no hay una diferencia financiar entre asignar vehículos a la ruta A o a la ruta B.
- ¿Cuál sería la ganancia total mensual de LogiTrans Co. si se asignanlos vehículos según la solución óptima? SOLUCIÓN:
Ganancia total = 500 Dolares Si LOGITRANS.CO asigna todos sus vehículos (x) la ganancia totalmensual es de 500N
Ejercicio 8.
LogiTrans Co. tiene dos oportunidades de inversión en las que puede invertir para maximizar sus retornos. Sin embargo, la empresa tiene restricciones financieras y desea saber cuánto invertir en cada oportunidad para maximizar sus retornos totales.
No negatividadX ≥ 0
X= 100. Retorno Total= 0.10 (100.000) + 0.08 (0)
Retorno Total= 10.
1. Cantidad a invertir en la oportunidad 1= $100. 1. Cantidad a invertir en la oportunidad 2= $ Retorno total anual $10.
El punto optimo se encuentra en 100.000 que maximiza la función objetivo dada la mayor tasa de retorno de la oportunidad 1
El punto optimo se encuentra en (100.000.)que maximiza la función objetivadada
LogiTrans debe invertir $100.000 en la oportunidad 1 para maximar su retornototal
anual a $10.
Eje X* : Representa la inversión en la oportunidad 1 ( x )
Eje Y* : Representa la inversión en la oportunidad 2 ( y)
Línea A zul* : Representa la restricción presupuestaria ( x + y = 100,000 ).
Región Sombreada* : Representa la región factible donde se cumplen todas las restricciones.
Punto Rojo* : Representa el punto óptimo en (100,000, 0) , donde toda la inversión se realiza en la oportunidad 1 para maximizar los retornos.
En este diagrama el punto (100.000) maximiza la función objetivo, lo que resulta en un retorno total anual de $10.000.
Ejercicio 9. Asignación de Recursos para Nuevas Rutas de Transporte enLogiTrans Co.
LogiTrans Co. ha decidido abrir dos nuevas rutas de transporte para mejorar su cobertura y eficiencia operativa. La asignación de recursos para estas rutas debe planificarse cuidadosamente para maximizar el uso de los activos disponibles. La empresa tiene disponibles una cantidad limitada de vehículos, conductores y litros de combustible, y necesita determinar la cantidad óptima de cada recurso a asignar a cada ruta.
Datos:
Ruta 1 requiere 4 vehículos, 6 conductores y 200 litros de combustible por semana. Ruta 2 requiere 3 vehículos, 5 conductores y 150 litros de combustible por semana. LogiTrans Co. dispone de un total de 10 vehículos, 15 conductores y 500 litros de combustible por semana para asignar a ambas rutas.
Planteamiento del problema:
Sea x 1, x 2 el número de vehículos asignados a las Rutas 1 y 2, respectivamente. Sea y 1 , y 2 el número de conductores asignados a las Rutas 1 y 2, respectivamente. Sea z 1, z 2 la cantidad de litros de combustible asignados a las Rutas 1 y 2, respectivamente.
Restricciones:
Restricción de vehículos: x 1 + x 2 ≤ Restricción de conductores: y 1 + y 2 ≤ Restricción de combustible: z 1 + z 2 ≤
Preguntas:
¿Cuál es la cantidad óptima de vehículos a asignar a cada ruta paramaximizar la eficiencia operativa?
VEHICULOS: Cantidad optima de vehículos asignados a cada ruta
- Ruta1:4 vehículos
- Ruta2:6 vehículos
CONDUCTORES: Numero de conductores asignados a cada ruta
- Ruta1: 6 conductores
- Ruta2: 9 conductores
COMBUSTIBLE: Asignación de litros de combustible a cada ruta
- Ruta 1: 200 litros
- Ruta 2: 300 litros
EJE X Representa el número de vehículos asignados a la ruta 1 ( x_1 ). EJE Y Representa el número de vehículos asignados a la ruta 2 ( x_2 ). LINEA S A ZUL: Restricción de vehículos ( 4x_1 + 3x_2 10 ) VERDE: Restricción de conductores ( 6x_1 + 5x_2 \ 15 ) ROJA : Restricción de combustible ( 200x_1 + 150x_2 \ 500 ) REGION SOMBREA DA : Representa la región factible donde se cumplen todaslas restricciones. PUNTO ROJO: Representa el punto óptimo de asignación en (1, 2)
Este punto óptimo asegura que ambas rutas estén abastecidas con los recursos disponibles sin exceder las capacidades de vehículos, conductores y combustible.
Ejercicio 10.
La empresa necesita asignar horas de trabajo entre dos departamentos para cumplir con los objetivos de producción bajo restricciones de costos laborales.
Datos: o Costo por hora en el Departamento A : $25. o Costo por hora en el Departamento B: $20. o Presupuesto laboral diario: $1,400. o Horas totales requeridas: 60 horas al día. Tarea: Configura y soluciona un sistema de ecuaciones para determinar las horas de trabajo en cada departamento usando cualquier método apropiado.
SOLUCIÓN:
- Restricción del presupuesto: 25X+ 20Y= 1400 Restricción de las horas laborales: X+ Y= 60
25X
+ 20Y= 1400 X
+ Y = 60
X= 60-Y
Y)+ 20Y= 1400
1500 - 5Y= 1400
- 5Y= - 100
X+ 20= 60
X= 40
Horas de trabajo en el departamento A (X): 40 HORA S
Horas de trabajo en el departamento B (Y): 20 HORA S
COSTO TOTAL:
25(40)+ 20(20)= 1000+ 400= 1400 DOLA RES
40+ 20= 60 HORA S
A mbas restricciones se cumplen por lo tanto la solución es correcta
𝟐
𝟐
𝟐
Restriccion de horas de maquina
2(12)+ 3(0)= 24 horas
Restricción de demanda diaria combinada
12+ 0= 12 unidades
A mbas restricciones cumplen por lo tanto la solución es correcta
Unidades del producto 1 a producir 12 unidades Unidades del producto 2 a producir 0 unidades
Ejercicio 12.
Para ajustar la estrategia de precios, LogiTrans Co. necesita establecer una relación entre el precio de venta y la demanda de dos nuevos servicios, asegurando que la suma de ingresos alcance un objetivo específico.
Datos: o Precio de venta del Servicio 1 afecta la demanda de acuerdo con la ecuación d 1 = 100−2p 1. o Precio de venta del Servicio 2 afecta la demanda de acuerdo con la ecuación 𝑑 2 = 80−𝑝 2. o Objetivo de ingresos combinados: $6,000. Tarea : Establece y resuelve un sistema de ecuaciones donde los ingresos de ambos servicios alcancen el objetivo combinado, usando el método queprefieras.
SOLUCIÓN:
El objetivo esque la suma de ingresos combinados alcance $
I1+ I2= 6000
𝟏𝟎𝟎𝒑𝟏^ − 𝟐𝒑𝟐^ + 𝟖𝟎𝒑𝟐^ − 𝒑𝟐^ = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟏 𝟐
𝟏𝟎𝟎(𝟐𝟓) − 𝟐(𝟐𝟓)𝟐^ + 𝟖𝟎𝐩𝟐^ − 𝐩𝟐^ = 𝟔𝟎𝟎𝟎
a= 1b= - 80c= 4750
𝟖𝟎𝐩𝟐^ − 𝐩𝟐^ = 𝟒𝟕𝟓𝟎
𝒑𝟐^ =
Por tal razón en este caso el discrimínante es negativo lo que sugiere que la suposición inicial P-1= 25 no es viable.
𝟏𝟎𝟎(𝟐𝟎) − 𝟐(𝟐𝟎)𝟐^ + 𝟖𝟎𝒑𝟐^ − 𝒑𝟐^ = 𝟔𝟎𝟎𝟎 ⬚ 𝟐 𝟖𝟎𝐩𝟐^ − 𝐩𝟐^ = 𝟒𝟖𝟎𝟎
a= 1b= - 80c= 4750
𝒑𝟐^ =
EJE X Representa el precio de los servicios.
EJE Y Representa los ingresos de los servicios.
LINEA A ZUL Muestra los ingresos del Servicio 1 en función del precio.
LINEA V ERDE Muestra los ingresos del Servicio 2 en función del precio.
LINEA ROJA PUNTEA DA Representa el objetivo de ingresos combinado de $6,000.
Fase 4. Ecuación de la parábola
A hora nos centramos en la aplicación de la ecuación de la parábola para modelar fenómenos que exhiben comportamientos cuadráticos. Las parábolas son especialmente útiles para modelar trayectorias, maximización o minimización de costos y beneficios, y otros procesos dinámicos en operaciones empresariales. Estos modelos permiten prever comportamientos y optimizar decisiones en áreas como gestión de inventarios, asignación de recursos y planificación de la producción.
Ejercicio 13. Diseño de una valla publicitaria en LogiTrans Co.
Planteamiento: LogiTrans Co. desea construir una valla publicitaria en la entrada de su almacén para promocionar sus servicios de transporte. Se necesita determinar la forma de la valla para maximizar su visibilidad desde la carretera.
