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DATOS
E =
K=
A =
L=
Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento.
La matriz de rigidez se calcula con la siguiente ecuacion:
K = A*E 1 -
L -1 1
Para cada elemento reemplazamos los valores de A, E correspodientes en la ecuacion dada, obteniendo su matriz de rigidez: Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Se observa que:
Ensamblanda
K = 2
Para las siguientes barras que se muestran en las figuras P3-4 a P3-8 que se muestra, determinar, el estado de deformación, las reacciones y tensores de deformación unitaria y
4,0E+
4,0 in2 * -4,0E+
0 -4,0E+06 8,0E+06 -4,0E+
0 0 -4,0E+06 4,0E+
K34 =
4,0E+06 -4,0E+06 0 0
-4,0E+06 8,0E+06 -4,0E+06 0
-4,0E+
30,0 in -4,0E+06 4,0E+
K12 = K23 =
-4,0E+
K 34 = 4,0 in2 *^ 30000000 Psi^ 4,0E+
30,0 in
30,0 in -4,0E+06 4,0E+
K 23 = 30000000 Psi 4,0E+
K 12 = 4,0 in2 * 30000000 Psi 4,0E+06 -4,0E+
30000000 Psi
5000 Lb/in
4,0 in
30,0 in
Los vectores de fuerza y desplazamiento nodal, están dados por:
Tomando en cuenta la condición de equilibrio, tenemos:
(1)
2: F = -10000 3
(4)
Las condiciones de borde, establecen que los desplazamientos en los nodos 1 y 4 son
nulos, por tanto, permite eliminar las filas y columnas 1 y 4, por lo que el sistema
reducido a resolver, proporciona los siguientes resultados:
u1 = 0 1
{ 𝑎 } = u2 =? 2
u3 =? 3
u4 = 0 4
por lo tanto la matriz reducida quedara::
Kr = 2
0 0 -4,0E+06 4,0E+06 4
-4,0E+06 8,0E+06 -4,0E+06 0
0 -4,0E+06 8,0E+06 -4,0E+
4,0E+06 -4,0E+06 0 0
Nudo 𝑓 4x =
Nudo 𝑓 3x = -10000lb
Nudo 𝑓 1x =
Nudo 𝑓 2x = 4000lb
0,00117 EA/L =
-0,00117 EA/L =
Elemento
3,00E+07 * 4 1 -1 -1,33E-
30,0 in -1 1 0,0E+
-0,00133 EA/L =
0,00133 EA/L =
DATOS
E1 =
E2 =
A =
L1=
L2=
Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento. La matriz de rigidez se calcula con la siguiente ecuacion: K = A*E 1 - L -1 1
Para cada elemento reemplazamos los valores de A, E correspodientes en la ecuacion dada, obteniendo su matriz de rigidez: Elemento 1 (1) 1 2 1 2 1 -1 1 = 1 -1 1 2 2
Elemento 2 (2) 2 3 2 3 1 -1 2 = 2 -1 1 3 3
Elemento 3 (3) 2 4 2 4 1 -1 2 = 2 -1 1 4 4
Se observa que:
2,0 in
30000000 Psi 10000000 Psi
K 12 =
K 23 =
50,0 in 30,0 in
2,0 in2 * 50,0 in
30000000 Psi
2,0 in2 * 10000000 Psi
6,7E+05 -6,7E+
30,0 in -6,7E+05 6,7E+
K 24 =
1,2E+
-1,2E+
-1,2E+
1,2E+
6,7E+05 -6,7E+
30,0 in -6,7E+05 6,7E+
2,0 in2 * 10000000 Psi
u1 = 0
{ 𝑎 } = u2 = 1
u3 = 2 u4 = 3
Las reacciones podrán calcularse a partir de la siguiente relación: F = [𝐾] * {𝑎}
F = 2 *
1 f1x = lb F = 2 = lb cumple 3 f3x = lb 4 f4x = lb
Los esfuerzos nodales están dados por:
[𝜎] = [E][𝐵]{𝑎}
Elemento 1
-1 1 3,2E-
-0,0032 EA/L =
0,0032 EA/L =
Elemento 2
σ 23 = * 2 * 1 -1 * 3,2E-
0,0032 EA/L =
-0,0032 EA/L =
Elemento 3
σ 24 = * 2 * 1 -1 * 3,2E-
0,0032 EA/L =
-0,0032 EA/L =
0 -6,7E+05 6,7E+05 0
0 -6,7E+05 0 6,7E+
1,2E+06 -1,2E+
1,00E+ 30
2105, -2105,
3,00E+ 50
-3789,
-3,8E+
8,0E+
-2,1E+
-2,1E+
3,1579E-
1,00E+
-1,2E+06 2,5E+06 -6,7E+05 -6,7E+05 3,2E-
DATOS
E =
K=
A =
L1=
L3=
Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento. La matriz de rigidez se calcula con la siguiente ecuacion: K = A*E 1 - L -1 1
Para cada elemento reemplazamos los valores de A, E correspodientes en la ecuacion dada, obteniendo su matriz de rigidez: Elemento 1 (1) 1 2 1 2 1 -1 1 = 1 -1 1 2 2
Elemento 2 (2) 2 3 2 3 1 -1 2 = 2 -1 1 3 3
Elemento 3 (3) 3 4 3 4 1 -1 3 = 3 -1 1 4 4 Se observa que: (1) (3) 2 4 2 4
Ensamblanda:
K = 2
Los vectores de fuerza y desplazamiento nodal, están dados por: (1) 1:
3,0 in2 * 15000000 Psi 1,5E+06 -1,5E+
-5,0E+
15000000 Psi 5000 Lb/in 3,0 in 30,0 in 30,0 in
1,5E+06 -1,5E+06 0 0
1,5E+
1,5E+06 -1,5E+
-1,5E+06 1,5E+
K12 = K34 =
-1,5E+
0 -5,0E+03 1,5E+06 -1,5E+
Nudo 𝑓 1x =
-1,5E+06 1,5E+06 -5,0E+
𝑓 1x
0 0 -1,5E+06 1,5E+
30,0 in
K 12 =
K 23 =
K 34 =
5000 Lb/in * 5,0E+ 5,0E+
3,0 in2 * 15000000 Psi 1,5E+
-5,0E+
-1,5E+
30,0 in -1,5E+06 1,5E+
1,51E+06 -5,0E+03 2
-5,00E+03 1,5E+06 3
-
{ 𝑎 } = Kr * F
2 3 {u2} = 2,21E-05 in
6,64E-07 2,2E-09 2 0 2 {u3} = 6,645E-03 in
2,21E-09 6,6E-07 3 10000 3
QUEDANDO LA MATRIZ DE DEFORMACION DE LA SIGUIENTE MANERA:
u1 = 0 1
{ 𝑎 } = u2 = 2,21E-05 2
u3 = 6,64E-03 3
u4 = 0 4
Las reacciones podrán calcularse a partir de la siguiente relación:
F = [𝐾] * {𝑎}
1,5E+06 -1,5E+06 0 0 1 0
F = -1,5E+06 1,5E+06 -5,0E+03 0 2 2,21E-
0 -5,0E+03 1,5E+06 -1,5E+06 3 6,64E-
0 0 -1,5E+06 1,5E+06 4 0
-3,3E+01 1 𝑓 1 x = -33,1126 lb
F = 0,0E+00 2 𝑓 2 x = 0 lb CUMPLE
1,0E+04 3 𝑓 3 x = 10000 lb CUMPLE
-9966,887 4 𝑓 4 x = -9966,89 lb
Los esfuerzos nodales están dados por:
[𝜎] = [E][𝐵]{𝑎}
Elemento 1
1,50E+07 * 3 1 -1 0
30,0 in -1 1 2,2E-
-2,2E-05 EA/L =
2,2E-05 EA/L =
Kr =
Elemento 2
5000 * 1 -1 2,21E-
-1 1 6,6E-
-0,00662 EA/L =
0,00662 EA/L =
Elemento
1,50E+07 * 3,0 in^2 1 -1 6,64E-
30,0 in -1 1 0,0E+
0,00664 EA/L =
-0,00664 EA/L =
9,40E+07 -1,4E+07 2
-1,40E+07 1,4E+07 3
-
{ 𝑎 } = Kr * F
2 3 {u2} = -2,50E-07 in
1,25E-08 1,3E-08 2 0 2 {u3} = -1,68E-06 in
1,25E-08 8,4E-08 3 -20 3
QUEDANDO LA MATRIZ DE DEFORMACION DE LA SIGUIENTE MANERA:
u1 = 0 1
{ 𝑎 } = u2 = -2,5E-07 2
u3 = -1,68E-06 3
Las reacciones podrán calcularse a partir de la siguiente relación:
F = [𝐾] * {𝑎}
8,0E+07 -8,0E+07 0 1 0
F = -8,0E+07 9,4E+07 -1,4E+07 2 * -2,50E-
0 -1,4E+07 1,4E+07 3 -1,68E-
20 1 𝑓 1 x = 20 lb
F = 3,55E-15 2 𝑓 2 x = 3,55E-15 lb CUMPLE
-20 3 𝑓 3 x = -20 lb CUMPLE
Los esfuerzos nodales están dados por:
[𝜎] = [E][𝐵]{𝑎}
Elemento 1
2,00E+11 * 0,0004 1 -1 0
1,0 in -1 1 -2,5E-
2,5E-07 EA/L =
-2,5E-07 EA/L =
Elemento 2
7,00E+10 * 0,0002 1 -1 -2,50E-
1,0 in -1 1 -1,7E-
1,4E-06 EA/L =
-1,4E-06 EA/L =
Kr =
4) DATOS E1 = A1= L1= E2= A2 = L2=
Cálculo de las rigideces, fuerzas equivalentes y fuerzas nodales para cada elemento. La matriz de rigidez se calcula con la siguiente ecuacion: K = A*E 1 - L -1 1
Para cada elemento reemplazamos los valores de A, E correspodientes en la ecuacion dada, obteniendo su matriz de rigidez: Elemento 1 (1) 1 2 1 2 K 12 = 1 -1^1 =^^1 -1 1 2 2
Elemento 2 (2) 1 2 1 2 K 21 = 1 -1 1 = 1 -1 1 2 2 Ensamblanda:
1 K = 2
Los vectores de fuerza y desplazamiento nodal, están dados por: (1) 1: 0 (2) 0 1 2: F = 385 2
al eliminar la primerafila y la primera columna
u1 = 0 1 1 2 {𝑎 } = u2 =? 2 1 Kr = 2
por lo tanto la matriz reducida quedara::
0,20 m
-1,6E+06 1,6E+
1,6E+06 -1,6E+
Nudo 𝑓 2x = 385
Nudo 𝑓 1x =
1575000 -2E+06 1575000
0,2 m -945000 945000
1 2
0,2 m -630000 630000
0,0018 m2 * 105000000 Pa 945000 -
0,20 m
0,00180 m2 * 70000000 Pa 630000 -
70000000 Pa 0,0018 m
105000000 Pa 0,0018 m
