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Guía ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas, Ejercicios de Matemáticas

Universidad Libre de Colombia - CúcutaMatemáticas

Documento que presenta la guía No. 10 del Programa de Ingeniería Industrial de la Universidad Libre Seccional Cúcuta, Facultad de Ingenierías, sobre el tema de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas con coeficientes variables. El documento incluye competencias a desarrollar, recursos para el aprendizaje, bibliografía y sesiones de construcción conceptual. Se abordan diferentes ejercicios resueltos y se presenta el método de solución por el método de Cauchy-Euler.

Qué aprenderás

  • ¿Cómo se notan las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas con coeficientes variables?

Tipo: Ejercicios

2018/2019

Subido el 15/10/2021

omaira-vergel
omaira-vergel 🇨🇴

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UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
Guia No.10. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR
HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES
Página
1 de 5
1. Competencias
• Identificar la notación de las ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con
coeficientes variables
• Solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden Homogéneas con coeficientes variables.
• Solucionar ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con coeficientes variables.
2. Recursos
• Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado.
México :Cengage Learning.
• Páginas de internet
• Guia de aprendizaje
• Plataforma Microsoft Teams
3. Bibliografía
Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning.
México (2018).
Boyce, William E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa.
México (2002)
4. Sesión de construcción conceptual
4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGENEA CON
COEFICIENTES VARIABLES POR ECUACION CAUCHY-EULER
La característica de esta ecuación es que los coeficientes de xr es igual al orden de la derivada
dry/dxr para
r= 1,2,3…n
Forma: ax2y’’ + bxy’ + cy =0
pf3
pf4
pf5

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¡Descarga Guía ecuaciones diferenciales lineales de orden superior homogéneas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES Guia No. 10. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES Página 1 de 5 1. Competencias

  • Identificar la notación de las ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con coeficientes variables
  • Solucionar ecuaciones diferenciales de segundo orden Homogéneas con coeficientes variables.
  • Solucionar ecuaciones diferenciales de orden superior Homogéneas con coeficientes variables. 2. Recursos
  • Texto guía:Zill, Dennis G. (2018). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. México :Cengage Learning.
  • Páginas de internet
  • Guia de aprendizaje
  • Plataforma Microsoft Teams 3. Bibliografía Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Cengage Learning. México ( 2018 ). Boyce, William E. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa. México (2002) 4. Sesión de construcción conceptual 4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 2DO ORDEN HOMOGENEA CON COEFICIENTES VARIABLES POR ECUACION CAUCHY-EULER

La característica de esta ecuación es que los coeficientes de xr^ es igual al orden de la derivada

dry/dxr^ para

r= 1,2,3…n

Forma: ax^2 y’’ + bxy’ + cy =

FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES Guia No. 10. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES Página 2 de 5

4.1.1.MÉTODO SOLUCIÓN :

OPERADOR LINEAL Y= xr

1) Probamos una solución de la forma xr^ donde r debe ser determinada.

Y = xr

Y’ = rxr-^1

Y’’ = r(r-1)xr-^2

2) Reemplazo en la Ecuación Diferencial de 2do orden

ax^2 y’’ + bxy’ + cy =

ax^2 (r(r-1)xr-^2 ) + bx(rxr-^1 ) + cxr^ =0 ax^2 (r(r-1)xrx-^2 )+bx(rxrx-^1 )+cxr=0 factor común

xr( ar(r-1) + br + c) = 0 xr( ar^2 - ar + br + c) = 0 – 3

xr( ar^2 + r(b- a) + c) = 0

xr^ es solución de la Ecuación Diferencial si ar^2 +r(b-a)+c tiene solución

r 1 ≠ r 2 Y=C 1 xr1^ + C 2 xr

r 1 = r 2 Y=C 1 xr1^ + C 2 xr^2 Lnx

r 1 = r 2 =α+Bi Y=xα^ [C 1 cos (Blnx) + C 2 sen (BLnx)]

4.1.2. EJERCICIOS RESUELTOS:

1) x^2 y’’ + y’ = 0 r=2, a=1, b=1, c=

ecuación canónica xr( ar^2 + r(b– a) + c) = 0 x^2 ( 1r^2 + r(1– 1) + 0) = 0

x^2 ( 1r^2 ) = 0 r 1 = 0, r 2 =

voy al cuadro r 1 = r 2 Y=C 1 x^0 + C 2 x^0 Lnx Y=C 1 + C 2 Lnx

2) x^2 y’’ – 3xy’– 2y = 0 r=2, a=1, b= – 3, c= – 2

ecuación canónica xr( ar^2 + r(b – a) + c) = 0 x^2 ( 1r^2 + r(- 3 – 1) – 2) = 0

x^2 ( r^2 – 4r - 2) = 0 r 1 ,r 2 = – b +√b^2 – 4ac r 1 ,r 2 = – (–4)+√16-4(1)(-2)

r 1 ,r 2 = +4+√16+8 2a 2(1) 2 r 1 ,r 2 = +4+√24 r 1 ,r 2 = +4+√(6. 4 ) r 1 ,r 2 = +4+2√6 r 1 ,r 2 = +2+√ 2 2 2

voy al cuadro r 1 ≠ r 2 Y=C 1 xr1^ + C 2 xr2^ Y=C 1 x2+√6^ + C 2 x^2 - √

FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES Guia No. 10. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES Página 4 de 5 4.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGENEA CON COEFICIENTES VARIABLES POR ECUACION CAUCHY-EULER La característica de esta ecuación es que los coeficientes de xr^ es igual al orden de la derivada dry/dxr^ para r= 1,2,3…n Forma: ax^3 y’’’+ bx^2 y’’ + cxy’ + dy = 4.2.1.MÉTODO SOLUCIÓN:

1) Probamos una solución de la forma xr^ donde r debe ser determinada.

Y = xr

Y’ = rxr-^1

Y’’ = r(r-1)xr-^2

Y’’’ = r(r-1)(r-2)xr-^3

2) Reemplazo en la Ecuación Diferencial de Orden Superior

ax^3 y’’’+ bx^2 y’’ + cxy’ + dy =

a x^3 r(r-1)(r-2)xr-^3 +bx^2 (r(r-1)xr-^2 ) + cx(rxr-^1 ) + dxr^ =

a x^3 r(r^2 - 3r+2)xrx-^3 +bx^2 (r^2 - r)xrx-^2 )+cx(rxrx-^1 )+dxr=0 factor común

xr( a(r^3 - 3r^2 +2r) + b(r^2 - r) + cr + d) = 0 xr( ar^3 - 3ar^2 +2ar+ br^2 - br+ cr + d) = 0

xr( ar^3 + r^2 (b- 3 a) +r(2a+c-b) + d = 0

xr^ es solución de la Ecuación Dif si (ar^3 + r^2 (b- 3 a) +r(2a+c-b) + d tiene solución

42.2.EJERCICIO RESUELTO

  1. x^3 y’’’+ 5 x^2 y’’+ 7 xy’+ 8y = 0 r=3, a= 1 , b= 5 , c=7, d= ecuación canónica xr( ar^3 + r^2 (b–3a) +r(2a+c–b) + d = 0 x^3 ( r^3 + r^2 (5–3(1)) +r(2(1)+7–5) + 8 = 0 x^3 ( r^3 + 2r^2 + 4r + 8) = 0 división sintética 1 2 4 8 /- 2
  • 2 0 - 8 1 0 4 0 x^3 ( r+ 2)(r^2 + 4) = 0 x^3 ( r+ 2)(r + 2i) = 0 r 1 = – 2, r 2 = 2i, r 3 =-2i r 1 ≠ r 2 Y=C 1 xr1^ + C 2 xr2^ , r 1 = r 2 =α+Bi , Y=xα^ [C 1 cos (Blnx)+C 2 sen(BLnx)] Y=C 1 x-^2 + x^0 [C 1 cos(2lnx)+C 2 sen(2Lnx)] Y=C 1 x-^2 + C 2 cos(2lnx)+C 3 sen(2Lnx)

FACULTAD DE INGENIERÍAS PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ECUACIONES DIFERENCIALES Guia No. 10. ECUACIONES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES VARIABLES Página 5 de 5

  1. x^3 y’’’ – 6y=0 r=3, a=1, b=0, c=0, d=– 6 GUIA 10 ecuación canónica xr( ar^3 + r^2 (b–3a) +r(2a+c-b) + d = 0 x^3 ( r^3 + r^2 (0–3(1)) +r(2(1)+0-0) – 6 = 0 x^3 ( r^3 – 3r^2 +2r– 6) = 0 division sintetica 1 - 3 2 - 6 / 3 0 6 1 0 2 0 x^3 (r – 3)(r^2 + 2) = 0 x^3 (r – 3)(r+ √2)(r + √2i) = 0 r 1 = 3, r 2 = √2i, r 3 =-√2i r 1 ≠ r 2 Y=C 1 xr1^ + C 2 xr2^ , r 1 = r 2 =α+Bi , Y=xα^ [C 1 cos (Blnx)+C 2 sen(BLnx)] Y=C 1 x^3 + x^0 [C 1 cos(√2lnx)+C 2 sen(√2Lnx)] Y=C 1 x^3 + C 2 cos(√2lnx)+C 3 sen(√2Lnx)

4.2.3. TRABAJO INDEPENDIENTE

  1. x^3 y’’’+ 4 x^2 y’’+ 19 xy’+ 8y = 0 RTA/ y= C 1 x-0,48^ + C 2 x0,26^ cos (4,08 lnx) + C 3 x0,26^ sen(4,08 Lnx)
  2. x^3 y’’’ + 2x^2 y’’ – 4y =0 RTA/ Y=C 1 x^2 + x-^1 [C 2 cos(√7lnx)+C 3 sen(√7Lnx)]
  3. x^3 y’’’ + x^2 y’’ + xy’ =0 RTA/ Y=C 1 + x^1 [C 2 cos(lnx)+C 3 sen(Lnx)]