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Guía No.3: Solucion de Ecuaciones Diferenciales Homogéneas, Ejercicios de Matemáticas

Una guía para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas (edos). Se define qué es una edo homogénea, se presentan ejemplos de soluciones y se incluyen ejercicios resueltos. Además, se proporcionan pasos para verificar si una función dada es una función homogénea y se ofrecen soluciones para diferentes edos homogéneas.

Tipo: Ejercicios

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Subido el 15/10/2021

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UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
Guia No.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
1
1.OBJETIVO: Solucion de EDOS Homogéneas.
2.ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAS
Algunas Ecuaciones Diferenciales no se pueden separar en x e y y se convierten en separables después de un cambio de
variable. Este es el caso para que la Ecuación Diferencial de la forma y’=f(x,y) siempre que f sea Homogénea.
2.1.DEFINICION ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
Una EDOS es Homogénea de la forma: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 donde M y N son f. homogéneas del mismo grado.
2.2.SOLUCION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
Se puede transformar en EDOS separable por medio de la sustitución:
1) Sustituir y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x cuando la estructura M es + simple q N
2) Sustituir x=yv , dx= ydv+vdy, v= x/y cuando la estructura N es + simple q M
2.3.VERIFICACION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
La función dada z=f(x,y) es Homogénea de grado n, si la sustitución de x por xt y y por yt multiplica la función por tn.
Osea F(tx,ty) = tn f(x,y)
Ejemplo: F(x,y)= x3+2x2y+3xy2+y3
F(tx,yt)= (xt)3+2(xt)2(yt) + 3(xt)(yt)2+(yt)3 = x3t3+2x2t3y + 3xy2t3+y3t3
F(tx,ty) = tn f(x,y) = t3(x3+2x2y+ 3xy2+y3) Homogenea de grado 3
En general una función es Homogénea si la suma de los exponentes tanto de x como de y en cada término son iguales;
a menos que sea homogénea de grado 0.
Ejemplo: F(x,y) = √𝑥2+ 𝑦2 3𝑥𝑦 Ec. Homogénea de grado 1
Ejemplo: f(x,y)= xy3 x2y2 Ec. Homogénea de grado 4
F(x,y)= x2 y No homogénea
2.4.EJERCICIOS RESUELTOS: Resolver la Ecuación Diferencial: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0
EJEMPLO 1: (3x2 y2) dx + (xy x3y-1)dy = 0 No se pueden separar variables
Verificar si es Homogenea sumo exponentes, Homogenea grado 2
Aplico sustitución y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x
(3x2 y2) dx + (xy x3y-1)dy = 0 (3x2(xv)2) dx + (x(xv)x3(xv)-1)(xdv+vdx) = 0
3x2dxx2v2dx+(x2v x2v-1)(xdv+vdx) 3x2dxx2v2 dx+x3vdvx3v-1dv+x2v2dxx2dx=0
2x2dx +x3vdvx3v-1dv= 0 separo v/bles 2x2dx = x3vdv + x3v-1dv 2x2dx = ( x3v + x3v-1)dv
2x2dx = x3 ( v + v-1)dv 2/x dx = ( v v-1)dv integrar 2∫1/x dx = ∫ v dv– ∫v-1dv
-2Lnx = v2 Ln v + C Reemplazamos v=y/x -2Lnx = (y/x)2 Ln (y/x)+ C
2 2
-2Lnx = y2 (Ln y Ln x) + C -2Lnx Ln x = y2 Ln y + C 3Ln x = y2 Ln y + C
2x2 2x2 2x2
Aplico prop ln Ln x3 = y2 Ln y + C Aplico sustitución x=yv , dx=ydv+vdy , v=x/y
2x2
(3x2y2) dx + (xy x3y-1)dy = 0 (3(yv)2y2)(ydv+vdy) + (y(yv) (yv)3y-1)dy = 0
3y3v2dvy3dv+3y2v3dy y2vdy+y2vdy v3y2dy=0 3y3v2dv y3dv+ 2y2v3dy= 0
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UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA

FACULTAD DE INGENIERÍAS

PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

1.OBJETIVO: Solucion de EDOS Homogéneas. 2.ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAS Algunas Ecuaciones Diferenciales no se pueden separar en x e y y se convierten en separables después de un cambio de variable. Este es el caso para que la Ecuación Diferencial de la forma y’=f(x,y) siempre que f sea Homogénea. 2.1.DEFINICION ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA Una EDOS es Homogénea de la forma: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 donde M y N son f. homogéneas del mismo grado. 2.2.SOLUCION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA Se puede transformar en EDOS separable por medio de la sustitución:

  1. Sustituir y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x cuando la estructura M es + simple q N
  2. Sustituir x=yv , dx= ydv+vdy, v= x/y cuando la estructura N es + simple q M 2.3.VERIFICACION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA La función dada z=f(x,y) es Homogénea de grado n, si la sustitución de x por xt y y por yt multiplica la función por tn. Osea F(tx,ty) = tn^ f(x,y) Ejemplo: F(x,y)= x^3 +2x^2 y+3xy^2 +y^3 F(tx,yt)= (xt)^3 +2(xt)^2 (yt) + 3(xt)(yt)^2 +(yt)^3 = x^3 t^3 +2x^2 t^3 y + 3xy^2 t^3 +y^3 t^3 F(tx,ty) = tn^ f(x,y) = t^3 (x^3 +2x^2 y+ 3xy^2 +y^3 ) Homogenea de grado 3 En general una función es Homogénea si la suma de los exponentes tanto de x como de y en cada término son iguales; a menos que sea homogénea de grado 0. Ejemplo: F(x,y) = √𝑥^2 + 𝑦^2 − 3 𝑥𝑦 Ec. Homogénea de grado 1 Ejemplo: f(x,y)= xy^3 – x^2 y^2 Ec. Homogénea de grado 4 F(x,y)= x^2 – y No homogénea 2.4.EJERCICIOS RESUELTOS : Resolver la Ecuación Diferencial: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 EJEMPLO 1 : (3x^2 – y^2 ) dx + (xy – x^3 y-^1 )dy = 0 No se pueden separar variables Verificar si es Homogenea sumo exponentes, Homogenea grado 2 Aplico sustitución y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x (3x^2 – y^2 ) dx + (xy – x^3 y-^1 )dy = 0 (3x^2 – (xv)^2 ) dx + (x(xv)–x^3 (xv)-^1 )(xdv+vdx) = 0 3x^2 dx–x^2 v^2 dx+(x^2 v– x^2 v-^1 )(xdv+vdx) 3x^2 dx–x^2 v^2 dx+x^3 vdv–x^3 v-^1 dv+x^2 v^2 dx–x^2 dx= 2x^2 dx +x^3 vdv–x^3 v-^1 dv= 0 separo v/bles 2x^2 dx = – x^3 vdv + x^3 v-^1 dv 2x^2 dx = (– x^3 v + x^3 v-^1 )dv 2x^2 dx = x^3 (– v + v-^1 )dv 2 /x dx = – ( v– v-^1 )dv integrar – 2∫1/x dx = ∫ v dv– ∫v-^1 dv
  • 2Lnx = v^2 – Ln v + C Reemplazamos v=y/x - 2Lnx = (y/x)^2 – Ln (y/x)+ C 2 2
  • 2Lnx = y^2 – (Ln y – Ln x) + C - 2Lnx – Ln x = y^2 – Ln y + C – 3Ln x = y^2 – Ln y + C 2x^2 2x^2 2x^2 Aplico prop ln Ln x–^3 = y^2 – Ln y + C Aplico sustitución x=yv , dx=ydv+vdy , v=x/y 2x^2 (3x^2 – y^2 ) dx + (xy – x^3 y-^1 )dy = 0 (3(yv)^2 – y^2 )(ydv+vdy) + (y(yv)– (yv)^3 y-^1 )dy = 0 3y^3 v^2 dv–y^3 dv+3y^2 v^3 dy– y^2 vdy+y^2 vdy– v^3 y^2 dy= 0 3y^3 v^2 dv– y^3 dv+ 2y^2 v^3 dy= 0

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PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

Guia No.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

separo v/bles 2y^2 v^3 dy = (– 3y^3 v^2 + y^3 )dv 2y^2 v^3 dy = – y^3 (3v^2 – 1)dv Integro – 2∫dy/y= ∫(3v^2 – 1)/v^3 dv – 2 Lny =3∫dv/v–∫v-^3 dv - 2Lny=3Lnv– v-^2 /- 2 + C Reemplazamos v=x/y - 2Lny = 3 Ln(x/y)+ ( 1 / 2 (x/y)^2 )+ C - 2Lny = 3 Lnx- 3 lny + (y^2 /2x^2 )+ C

  • 2Lnx + 3Ln y =3Ln x+ y^2 /2x^2 +C – 3Ln x = y^2 – Ln y +C Aplico prop ln Ln x–^3 = y^2 – Ln y+C 2x^2 2x^2 EJEMPLO 2 : (x^3 + y^3 ) dx – xy^2 dy = 0 ; y(1)= 2 EDOS Homogénea grado 3, No se separan v/bles Reemplazo y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x (x^3 + (vx)^3 )dx– x(vx)^2 (xdv+vdx) = 0 x^3 dx+ v^3 x^3 dx–v^2 x^3 (xdv+vdx)=0 x^3 dx+v^3 x^3 dx–v^2 x^4 dx–v^3 x^3 dx = 0 x^3 dx–v^2 x^4 dx= 0 separo v/bles e integro ∫dx = v^2 dx Ln x = v^3 + C Reemplazo v=y/x x 3 Ln x = (y/x)^3 + C Ln x + C= y^3 y^3 = 3x^3 (Ln x + C) despejo y Y = x 3 √3(Ln x+C) 3 3x^3 Y = x 3 √Ln x^3 + C Despejo C C= y^3 /3x^3 – Ln x Aplico CI x= 1, y=2 C= (2)^3 – Ln(1) = 8 Reemplazo a C y = x 3 √Ln x^3 +8/ 3(1)^3 3. GUIA DE TRABAJO EN CLASE 3.1.CONSULTAR:

Consultar si la EDOS es Homogenea o no. a) f(x,y)= y√x^2 + y^2 – x √x+y __________

b) f(x,y)= x^3 + y^3 – 3xy^2 __________

c) f(x,y)= 5 – x^2 y + y^3 __________

3.1. RESOLVER LAS SIGUIENTE ECUACIONES DIFERENCIALES

  1. (x^2 y^4 + x^6 ) dx – x^3 y^3 dy = 0 EDOS Homogénea grado 6 RTA/ 𝑦 = √ 4 𝑥^4 ln 𝑥 + 𝐶 4
  2. x dy – (2xe-y/x+y)dx = 0 EDOS Homog 1er grado con y(1)=0 RTA/ ey/x^ = 2 Ln x + 1
    • y^2 dx + x(x+y)dy=0 EDOS Homog 2° grado y(1)=1 RTA/ y = e-y/x+
  3. (x sec y/x +y) dx – x dy=0 EDOS Homog 1er grado y(1)=0 RTA/ Ln x = sen(y/x)