UNIVERSIDAD LIBRE SECCIONAL CÚCUTA
FACULTAD DE INGENIERÍAS
PROGRAMA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
Guia No.3. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
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1.OBJETIVO: Solucion de EDOS Homogéneas.
2.ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEAS
Algunas Ecuaciones Diferenciales no se pueden separar en x e y y se convierten en separables después de un cambio de
variable. Este es el caso para que la Ecuación Diferencial de la forma y’=f(x,y) siempre que f sea Homogénea.
2.1.DEFINICION ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
Una EDOS es Homogénea de la forma: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0 donde M y N son f. homogéneas del mismo grado.
2.2.SOLUCION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
Se puede transformar en EDOS separable por medio de la sustitución:
1) Sustituir y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x cuando la estructura M es + simple q N
2) Sustituir x=yv , dx= ydv+vdy, v= x/y cuando la estructura N es + simple q M
2.3.VERIFICACION DE ECUACION DIFERENCIAL HOMOGENEA
La función dada z=f(x,y) es Homogénea de grado n, si la sustitución de x por xt y y por yt multiplica la función por tn.
Osea F(tx,ty) = tn f(x,y)
Ejemplo: F(x,y)= x3+2x2y+3xy2+y3
F(tx,yt)= (xt)3+2(xt)2(yt) + 3(xt)(yt)2+(yt)3 = x3t3+2x2t3y + 3xy2t3+y3t3
F(tx,ty) = tn f(x,y) = t3(x3+2x2y+ 3xy2+y3) Homogenea de grado 3
En general una función es Homogénea si la suma de los exponentes tanto de x como de y en cada término son iguales;
a menos que sea homogénea de grado 0.
Ejemplo: F(x,y) = √𝑥2+ 𝑦2− 3𝑥𝑦 Ec. Homogénea de grado 1
Ejemplo: f(x,y)= xy3 – x2y2 Ec. Homogénea de grado 4
F(x,y)= x2 – y No homogénea
2.4.EJERCICIOS RESUELTOS: Resolver la Ecuación Diferencial: M(x,y)dx + N(x,y) dy = 0
EJEMPLO 1: (3x2– y2) dx + (xy – x3y-1)dy = 0 No se pueden separar variables
Verificar si es Homogenea sumo exponentes, Homogenea grado 2
Aplico sustitución y=xv , dy=xdv+vdx , v=y/x
(3x2– y2) dx + (xy – x3y-1)dy = 0 (3x2–(xv)2) dx + (x(xv)–x3(xv)-1)(xdv+vdx) = 0
3x2dx–x2v2dx+(x2v– x2v-1)(xdv+vdx) 3x2dx–x2v2 dx+x3vdv–x3v-1dv+x2v2dx–x2dx=0
2x2dx +x3vdv–x3v-1dv= 0 separo v/bles 2x2dx = – x3vdv + x3v-1dv 2x2dx = (– x3v + x3v-1)dv
2x2dx = x3 (– v + v-1)dv 2/x dx = –( v– v-1)dv integrar –2∫1/x dx = ∫ v dv– ∫v-1dv
-2Lnx = v2– Ln v + C Reemplazamos v=y/x -2Lnx = (y/x)2– Ln (y/x)+ C
2 2
-2Lnx = y2– (Ln y – Ln x) + C -2Lnx – Ln x = y2– Ln y + C –3Ln x = y2– Ln y + C
2x2 2x2 2x2
Aplico prop ln Ln x–3 = y2– Ln y + C Aplico sustitución x=yv , dx=ydv+vdy , v=x/y
2x2
(3x2–y2) dx + (xy –x3y-1)dy = 0 (3(yv)2–y2)(ydv+vdy) + (y(yv)– (yv)3y-1)dy = 0
3y3v2dv–y3dv+3y2v3dy– y2vdy+y2vdy– v3y2dy=0 3y3v2dv– y3dv+ 2y2v3dy= 0
