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Ejercicio de Programación lineal
Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero.
Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen en seguida:
Comportamiento Capacidad de peso (ton) Capacidad de espacio
(ft
3
Delantero 12 7000
Central 18 9000
Trasero 10 5000
Más aun, para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su
capacidad.
Se tiene ofertas para cuatro cargamentos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga Peso (ton) Volumen
(ft
3
/ton)
Ganancia ($/ ton)
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de carga debe aceptarse (si se acepta) y como
distribuirá en los compartimientos para maximizar la ganancia del
a. Formule un modelo de programación lineal
b. Resuelva el modelo por el método simplex para encontrar una de sus soluciones óptimas múltiples.
Solución.
Ahora podemos realizar una nueva tabla resumen.
Cualquier carga puede ser repartida en los tres compartimientos.
Compartimiento Carga
Carga
Carga
Carga
Peso
(toneladas)
Espacio
Delantero X 1
X
2
X
3
X
4
Central X 5
X
6
X
7
X
8
Trasero X 9
X
10
X
11
X
12
Utilidad 320 400 360 290
X
12
: toneladas de la carga 4 que irá en el compartimiento trasero
Ahora también podemos decir que la carga tiene la siguiente utilidad
X
1
: 320 X
2:
400 X
3
: 360 X
4
X
5
: 320 X
6
: 400 X
7
: 360 X
8
X
9
: 320 X
10
: 400 X
11
: 360 X
12
La función de maximización es la siguiente:
z : 320 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
RESTRICCIONES:
RESTRICCIONES DEL TAMAÑO DE LAS CARGAS:
Se tiene que lleva la mayor cantidad posible de las cargas ya que no se puede llevar toda la cantidad total que es:
Mientras que la capacidad total de los tres compartimientos es de 12 + 18 + 10 = 40
Recordemos que la carga 2 tiene un peso de 20 toneladas que pueden ir repartidas en los tres compartimientos. Así es que las toneladas
de Carga 1 (X 1
) que van en el compartimiento delantero, mas las toneladas que van en el central (X 5
), mas las toneladas que van en el
compartimiento trasero (X 9
) deben sumar máximo 20 toneladas.
Así mismo cumple para las otras cargas.
Las restricciones del tamaño quedan de la siguiente forma.
x
1
5
9
≤ 20 toneladas de la carga 1 (1)
x
2
6
10
≤ 16 toneladas de la carga 2 (2)
x
3
7
11
≤ 25 toneladas de la carga 3 (3)
x
4
8
12
≤ 13 toneladas de lacarga 4 (4)
Restricciones de la capacidad de los compartimientos.
Restricciones de peso:
El compartimiento delantero aguanta como máximo un peso de 12 toneladas; por lo tanto, la suma de las fracciones de las cuatro cargas
que pueden ir ahí debe ser como máximo de 12 toneladas. Lo mismo cumple para los otros dos compartimientos
500 x
5
6
7
8
500 x
9
10
11
12
Restricciones para mantener balanceado el avión.
x
1
2
3
4
x
5
6
7
8
x
9
10
11
12
De aquí se tiene 3 restricciones porque la proporción de cargas del compartimiento delantero debe igualarse con la del central y con la
del posterior y la del compartimiento central debe igualarse con la del posterior así tenemos:
compartimiento delantero y central
x
1
2
3
4
x
5
6
7
8
compartimiento delantero y central
Despejando tenemos
18 ( x ¿
¿ 1 + x
2
3
4
)= 12 ( x
5
6
7
8
Ahora
18 x
1
2
3
4
= 12 x
5
6
7
8
18 x
1
2
3
4
− 12 x
5
− 12 x
6
− 12 x
7
− 12 x
8
compartimientos delanteros y porteriores
x
1
2
3
4
x
9
10
11
12
10 x
1
2
3
4
= 12 x
9
10
11
12
10 x
1
2
3
4
12 x
9
− 12 x
10
− 12 x
11
− 12 x
12
También puede ser
x
9
x
10
x
11
x
12
x
1
x
2
x
3
x
4
x
1
5
9
x
2
6
10
x
3
7
11
x
4
8
12
x
1
2
3
4
x
5
6
7
8
x
9
10
11
12
5 00 x
1
2
3
4
500 x
5
6
7
8
500 x
9
10
11
12
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
x
8
x
1
x
2
x
3
x
4
x
9
x
10
x
11
x
12
Ya teniendo las restricciones podemos obtener que:
recurso X
1
X
5
X
9
X
2
X
6
X
10
X
3
X
7
X
11
X
4
X
8
X
1
Total Recurso
posible
Delantero 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 12 ≤ 12
Central 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 18 ≤ 18
Trasero 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 10 ≤ 10
Carga 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 ≤ 15
Carga2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 12 ≤ 12
Carga 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 ≤ 25
Carga 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 13 ≤ 13
Espacio
delantero
Espacio
central
Espacio
trasero
