



Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Es un ejercicio acerca de como resolver el potencial electrico de un cilindro con densidad de carga uniforme.
Tipo: Ejercicios
1 / 5
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad de Ciencias y Educación
Andrés Felipe López Gutiérrez – 20152135034
aflopezg@correo.udistrital.edu.co
Julio 22, 2020
Ejercicio 2.9 de Electrodinámica
2 .9 Considere un cilindro circular recto de radio R y de longitud L que contiene una
densidad de carga uniforme ρ. Calcule el potencial electroestático en un punto del eje del
cilindro, pero exterior a la distribución.
Solución.
A continuación, muestro el dibujo del cilindro con el punto P a calcular.
Figura 1
uniforme.
potencial.
1
(cualquier punto a lo largo
Ahora para calcular el potencial electroestático tenemos:
Donde K es la constante de coulomb.
Por otro lado, tenemos una densidad de carga uniforme, por lo que expresamos la carga
en términos de la densidad y el volumen.
𝑑𝑞 = ρ𝑑𝑣
1
1
𝑑θ𝑑𝑧
𝑑𝑞 = ρ𝑟
1
1
𝑑θ𝑑𝑧 ( 2 )
1
podemos tomar entre cualquier punto dentro del cilindro y el punto P escogido, por lo
2
1
2
Se tiene en cuenta que esta relación de la ecuación (3), se obtiene debido al triangulo
P que se encuentra sobre el eje fuera del cilindro, ver figura.
Remplazando la ecuación ( 2 ) y (3) en la ecuación (1), tenemos:
𝐾ρ𝑟
1
1
𝑑θ𝑑𝑧
2
1
2
𝑅
0
Ahora bien, primero resolvemos la integral de la coordenada teta, ya que esta es
constante, por lo que dicha integral nos da 2π, quedando entonces la ecuación (4) como:
𝜑 = 2 𝜋𝐾ρ ∬
1
1
2
1
2
𝑅
0
Por comodidad, vamos a realizar la integral de adentro hacia afuera, es decir, vamos a
Ahora, sacando R como factor de la raiz y usando la propiedad tan
2
𝜃 + 1 = sec
2
𝜃 la
ecuación (11) nos queda:
2
sec 𝜃 sec
2
Para resolver la integral de la ecuación ( 12 ), hacemos una sustitución por partes, podemos
olvidarnos por un momento de - R
2
, no es importante en este momento para la finalidad
de esta integral:
𝑢 = sec 𝜃 𝑑𝑣 = sec
2
𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑θ 𝑣 = tan 𝜃
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ tan
2
𝜃 sec 𝜃𝑑θ ( 13 )
Reescribiendo el segundo término de la integral de la ecuación ( 13 ) y usando tan
2
1 = sec
2
𝜃 tenemos:
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec
2
𝜃 − 1 ) sec 𝜃𝑑θ ( 14 )
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec
3
𝜃 − sec 𝜃)𝑑θ ( 15 )
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec
3
𝜃 𝑑θ + ∫ sec 𝜃𝑑θ ( 16 )
Ahora resolviendo el tercer termino de la integral de la ecuación (16) tenemos:
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec
3
𝜃 𝑑θ + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 17 )
El segundo término de la expresión de la ecuación (17) es igual al miembro izquierdo de
la igualdad, por lo que, pasando a sumar y después a dividir tenemos que la ecuación
(12) es:
2 ∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 18 )
∫ sec
3
2
sec 𝜃 tan 𝜃 +
ln(sec 𝜃 + tan 𝜃)} ( 19 )
ecuación (1 9 ) nos queda como:
sec 𝜃 =
2
2
tan 𝜃 =
∫ sec
3
2
2
2
ln{
2
2
Recordando que 𝑢 = ℎ − 𝑧 la ecuación (9) queda como:
2
2
2
ln {
2
2
Recordando que la ecuación (9) esta evaluada ente L y 0 por lo que la ecuación (20)
también se evalúa entre estos valores, ya que es la misma, entonces, tenemos que el
resultado de la ecuación (9) es:
2
2
2
ln {
2
2
2
2
2
ln {
2
2
Ahora resolvemos el segundo termino de la integral de la ecuación (8):
𝐿
0
2
1
𝜑 = 2 π𝑘ρ {−
2
2
2
2
2
ln {
2
2
2
2
2