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Ejercicio de potencial electrico, Ejercicios de Física

Es un ejercicio acerca de como resolver el potencial electrico de un cilindro con densidad de carga uniforme.

Tipo: Ejercicios

2019/2020

Subido el 02/08/2020

andres-felipe-lopez-gutierrez
andres-felipe-lopez-gutierrez 🇨🇴

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Electrodinámica Andrés Felipe López Gutiérrez
EJERCICIO 2.9 DE ELECTRODINÁMICA
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad de Ciencias y Educación
Andrés Felipe López Gutiérrez 20152135034
aflopezg@correo.udistrital.edu.co
Julio 22, 2020
Ejercicio 2.9 de Electrodinámica
2.9 Considere un cilindro circular recto de radio R y de longitud L que contiene una
densidad de carga uniforme ρ. Calcule el potencial electroestático en un punto del eje del
cilindro, pero exterior a la distribución.
Solución.
A continuación, muestro el dibujo del cilindro con el punto P a calcular.
Figura 1
En la figura (1) apreciamos el cilindro con una densidad de carga volumétrica
uniforme.
h
es la altura total entre el cilindro y el punto donde queremos calcular el
potencial.
r
es la distancia entre el punto donde queremos calcular el potencial y cualquier
punto a lo largo y ancho del cilindro, por lo tanto,
r1
(cualquier punto a lo largo
de R)
y
z
(Cualquier punto a lo largo del eje Z) van a estar variando.
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¡Descarga Ejercicio de potencial electrico y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!

EJERCICIO 2.9 DE ELECTRODINÁMICA

Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad de Ciencias y Educación

Andrés Felipe López Gutiérrez – 20152135034

aflopezg@correo.udistrital.edu.co

Julio 22, 2020

Ejercicio 2.9 de Electrodinámica

2 .9 Considere un cilindro circular recto de radio R y de longitud L que contiene una

densidad de carga uniforme ρ. Calcule el potencial electroestático en un punto del eje del

cilindro, pero exterior a la distribución.

Solución.

A continuación, muestro el dibujo del cilindro con el punto P a calcular.

Figura 1

  • En la figura (1) apreciamos el cilindro con una densidad de carga volumétrica

uniforme.

• h es la altura total entre el cilindro y el punto donde queremos calcular el

potencial.

• r es la distancia entre el punto donde queremos calcular el potencial y cualquier

punto a lo largo y ancho del cilindro, por lo tanto, r

1

(cualquier punto a lo largo

de R) y z (Cualquier punto a lo largo del eje Z) van a estar variando.

  • R y L son el radio y la altura del cilindro respectivamente.

Ahora para calcular el potencial electroestático tenemos:

Donde K es la constante de coulomb.

Por otro lado, tenemos una densidad de carga uniforme, por lo que expresamos la carga

en términos de la densidad y el volumen.

𝑑𝑞 = ρ𝑑𝑣

1

1

𝑑θ𝑑𝑧

𝑑𝑞 = ρ𝑟

1

1

𝑑θ𝑑𝑧 ( 2 )

También tenemos que el r de la ecuación ( 1 ) está variando respecto a r

1

y z, ya que

podemos tomar entre cualquier punto dentro del cilindro y el punto P escogido, por lo

que el valor de r en términos de las variables cambiantes se muestra en la ecuación (3)

2

1

2

Se tiene en cuenta que esta relación de la ecuación (3), se obtiene debido al triangulo

rectángulo que se forma, ver figura, también, la relación h-z es el eje Z de nuestro

triangulo y nos indica la distancia entre cualquier punto z dentro del cilindro y el punto

P que se encuentra sobre el eje fuera del cilindro, ver figura.

Remplazando la ecuación ( 2 ) y (3) en la ecuación (1), tenemos:

𝐾ρ𝑟

1

1

𝑑θ𝑑𝑧

2

1

2

𝑅

0

Ahora bien, primero resolvemos la integral de la coordenada teta, ya que esta es

constante, por lo que dicha integral nos da 2π, quedando entonces la ecuación (4) como:

𝜑 = 2 𝜋𝐾ρ ∬

1

1

2

1

2

𝑅

0

Por comodidad, vamos a realizar la integral de adentro hacia afuera, es decir, vamos a

integrar primero la coordenada dr, por lo que tenemos:

Ahora, sacando R como factor de la raiz y usando la propiedad tan

2

𝜃 + 1 = sec

2

𝜃 la

ecuación (11) nos queda:

2

sec 𝜃 sec

2

Para resolver la integral de la ecuación ( 12 ), hacemos una sustitución por partes, podemos

olvidarnos por un momento de - R

2

, no es importante en este momento para la finalidad

de esta integral:

𝑢 = sec 𝜃 𝑑𝑣 = sec

2

𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑θ 𝑣 = tan 𝜃

∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ tan

2

𝜃 sec 𝜃𝑑θ ( 13 )

Reescribiendo el segundo término de la integral de la ecuación ( 13 ) y usando tan

2

1 = sec

2

𝜃 tenemos:

∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec

2

𝜃 − 1 ) sec 𝜃𝑑θ ( 14 )

∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec

3

𝜃 − sec 𝜃)𝑑θ ( 15 )

∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec

3

𝜃 𝑑θ + ∫ sec 𝜃𝑑θ ( 16 )

Ahora resolviendo el tercer termino de la integral de la ecuación (16) tenemos:

∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec

3

𝜃 𝑑θ + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 17 )

El segundo término de la expresión de la ecuación (17) es igual al miembro izquierdo de

la igualdad, por lo que, pasando a sumar y después a dividir tenemos que la ecuación

(12) es:

2 ∫ sec

3

𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 18 )

∫ sec

3

2

sec 𝜃 tan 𝜃 +

ln(sec 𝜃 + tan 𝜃)} ( 19 )

Ahora volviendo a términos de u y haciendo uso de nuestro triangulo llegamos a que la

ecuación (1 9 ) nos queda como:

sec 𝜃 =

2

2

tan 𝜃 =

∫ sec

3

2

2

2

ln{

2

2

Recordando que 𝑢 = ℎ − 𝑧 la ecuación (9) queda como:

2

2

2

ln {

2

2

Recordando que la ecuación (9) esta evaluada ente L y 0 por lo que la ecuación (20)

también se evalúa entre estos valores, ya que es la misma, entonces, tenemos que el

resultado de la ecuación (9) es:

2

2

2

ln {

2

2

2

2

2

ln {

2

2

Ahora resolvemos el segundo termino de la integral de la ecuación (8):

𝐿

0

2

Por lo que uniendo la ecuación (21) y (22) el potencial desde cualquier punto en z y 𝑟

1

hasta el punto P mostrado en la figura (1) será;

𝜑 = 2 π𝑘ρ {−

2

2

2

2

2

ln {

2

2

2

2

2