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EJERCICIO 2.9 DE ELECTRODINÁMICA
Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Facultad de Ciencias y Educación
Andrés Felipe López Gutiérrez – 20152135034
aflopezg@correo.udistrital.edu.co
Julio 22, 2020
Ejercicio 2.9 de Electrodinámica
2 .9 Considere un cilindro circular recto de radio R y de longitud L que contiene una
densidad de carga uniforme ρ. Calcule el potencial electroestático en un punto del eje del
cilindro, pero exterior a la distribución.
Solución.
A continuación, muestro el dibujo del cilindro con el punto P a calcular.
Figura 1
- En la figura (1) apreciamos el cilindro con una densidad de carga volumétrica
uniforme.
• h es la altura total entre el cilindro y el punto donde queremos calcular el
potencial.
• r es la distancia entre el punto donde queremos calcular el potencial y cualquier
punto a lo largo y ancho del cilindro, por lo tanto, r
1
(cualquier punto a lo largo
de R) y z (Cualquier punto a lo largo del eje Z) van a estar variando.
- R y L son el radio y la altura del cilindro respectivamente.
Ahora para calcular el potencial electroestático tenemos:
Donde K es la constante de coulomb.
Por otro lado, tenemos una densidad de carga uniforme, por lo que expresamos la carga
en términos de la densidad y el volumen.
𝑑𝑞 = ρ𝑑𝑣
1
1
𝑑θ𝑑𝑧
𝑑𝑞 = ρ𝑟
1
1
𝑑θ𝑑𝑧 ( 2 )
También tenemos que el r de la ecuación ( 1 ) está variando respecto a r
1
y z, ya que
podemos tomar entre cualquier punto dentro del cilindro y el punto P escogido, por lo
que el valor de r en términos de las variables cambiantes se muestra en la ecuación (3)
2
1
2
Se tiene en cuenta que esta relación de la ecuación (3), se obtiene debido al triangulo
rectángulo que se forma, ver figura, también, la relación h-z es el eje Z de nuestro
triangulo y nos indica la distancia entre cualquier punto z dentro del cilindro y el punto
P que se encuentra sobre el eje fuera del cilindro, ver figura.
Remplazando la ecuación ( 2 ) y (3) en la ecuación (1), tenemos:
𝐾ρ𝑟
1
1
𝑑θ𝑑𝑧
2
1
2
𝑅
0
Ahora bien, primero resolvemos la integral de la coordenada teta, ya que esta es
constante, por lo que dicha integral nos da 2π, quedando entonces la ecuación (4) como:
𝜑 = 2 𝜋𝐾ρ ∬
1
1
2
1
2
𝑅
0
Por comodidad, vamos a realizar la integral de adentro hacia afuera, es decir, vamos a
integrar primero la coordenada dr, por lo que tenemos:
Ahora, sacando R como factor de la raiz y usando la propiedad tan
2
𝜃 + 1 = sec
2
𝜃 la
ecuación (11) nos queda:
2
sec 𝜃 sec
2
Para resolver la integral de la ecuación ( 12 ), hacemos una sustitución por partes, podemos
olvidarnos por un momento de - R
2
, no es importante en este momento para la finalidad
de esta integral:
𝑢 = sec 𝜃 𝑑𝑣 = sec
2
𝑑𝑢 = sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑θ 𝑣 = tan 𝜃
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ tan
2
𝜃 sec 𝜃𝑑θ ( 13 )
Reescribiendo el segundo término de la integral de la ecuación ( 13 ) y usando tan
2
1 = sec
2
𝜃 tenemos:
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec
2
𝜃 − 1 ) sec 𝜃𝑑θ ( 14 )
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫(sec
3
𝜃 − sec 𝜃)𝑑θ ( 15 )
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec
3
𝜃 𝑑θ + ∫ sec 𝜃𝑑θ ( 16 )
Ahora resolviendo el tercer termino de la integral de la ecuación (16) tenemos:
∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 − ∫ sec
3
𝜃 𝑑θ + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 17 )
El segundo término de la expresión de la ecuación (17) es igual al miembro izquierdo de
la igualdad, por lo que, pasando a sumar y después a dividir tenemos que la ecuación
(12) es:
2 ∫ sec
3
𝜃 𝑑𝜃 = sec 𝜃 tan 𝜃 + ln(sec 𝜃 + tan 𝜃) ( 18 )
∫ sec
3
2
sec 𝜃 tan 𝜃 +
ln(sec 𝜃 + tan 𝜃)} ( 19 )
Ahora volviendo a términos de u y haciendo uso de nuestro triangulo llegamos a que la
ecuación (1 9 ) nos queda como:
sec 𝜃 =
2
2
tan 𝜃 =
∫ sec
3
2
2
2
ln{
2
2
Recordando que 𝑢 = ℎ − 𝑧 la ecuación (9) queda como:
2
2
2
ln {
2
2
Recordando que la ecuación (9) esta evaluada ente L y 0 por lo que la ecuación (20)
también se evalúa entre estos valores, ya que es la misma, entonces, tenemos que el
resultado de la ecuación (9) es:
2
2
2
ln {
2
2
2
2
2
ln {
2
2
Ahora resolvemos el segundo termino de la integral de la ecuación (8):
𝐿
0
2
Por lo que uniendo la ecuación (21) y (22) el potencial desde cualquier punto en z y 𝑟
1
hasta el punto P mostrado en la figura (1) será;
𝜑 = 2 π𝑘ρ {−
2
2
2
2
2
ln {
2
2
2
2
2
