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ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD UNO
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
Presentado a:
Javier Andrés Moreno
Tutor(a)
Entregado por:
Levys Dayan Gonzalez
Código: 72276922
Sergio Luis Bello Galvis
Carlos Arturo Ortiz
Grupo: 100412_
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS
CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
03 DE MARZO
BOGOTÁ D.C.
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos
correspondientes a diversas disciplinas. Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. De este modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos.
Mediante la realización de este primer trabajo colaborativo, aplicamos, identificamos y desarrollamos conceptos de las ecuaciones lineales de primer orden para abordar la temática presentada en la unidad uno mediante la resolución de problemas y aplicación de ecuaciones diferenciales, mediante el desarrollo de ejercicios planteados
OBJETIVOS
Aplicar cada uno de los conceptos adquiridos de la Unidad 1, relacionados con las ecuaciones diferenciales de primer orden, tales como, derivadas, integrales y sus aplicaciones, profundizando en cada tema para dar solución a los diferentes ejercicios planteados, de esta forma ampliar nuestros conocimientos y mejorar continuamente.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA
PASO 3
EJERCICIOS INDIVIDUALES
A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.
Recuerde consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 32-45).
EJERCICIOS 1. VARIABLES SEPARABLES
Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado).
Estudiante Que Realizó: Sergio Bello
Proposición Enunciado O Expresión Matemática Razón O Explicación
Ecuación de primer orden de variables separadas
Factorizamos por agrupación
Y sacando el factor común queda de la siguiente manera Se procede a separar las variables, los que están multiplicando pasan a dividir
Se procede a resolver la integral de las dos expresiones
Se realiza la integral por sustitución para resolver dy
Aplicamos la regla de la potencia, esta es una integral estándar, y aplicamos la regla de la constante Reemplazamos las integrales resueltas
Deshace la sustitución u=y+1, aplicamos la función del valor absoluto.
Con el fin de extender el dominio de la antiderivada. Simplificando
Cambiamos por una variable u para resolver dx
Ahora hallamos la diferencial de u, entonces pasa el 2 a dividir quedando de la siguiente manera Usando la propiedad de integral por potencias
Y al obtener la variable
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Sustituir con y
Escribimos la ecuación
Tenemos
Combinar constantes
EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de
Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso,
debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado).
Estudiante Que Realizó: Sergio Bello
Proposición Enunciado O Expresión Matemática
Razón O Explicación
Solución 1 Se comienza a dividir todo por x
Se procede a sustituir quedando como ecuación
Ahora dividimos y
Segunda sustitución quedando Esta es la llamada ecuación de D Alembert que tiene solución Por lo tanto, esta es la repuesta
Segunda solución
La solución en forma implícita
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Levis Dayan Gonzalez
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Primero se expresa la ecuación diferencial de la forma:
Suponiendo que y
Homogénea de grado uno
Se verifica que las funciones y , sean funciones homogéneas del mismo grado de homogeneidad
Sustituyendo
Ahora se divide en x para hallar el termino
simplificar
EJERCICIOS 3 - ED EXACTAS.
De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado).
Estudiante Que Realizó: Sergio Bello
Proposición Enunciado O Expresión Matemática
Razón O Explicación
Comprobar si se cumple la ecuación de ambos lados sean iguales es decir exacta Se utiliza la siguiente formula para ello derivamos ambos lados. No es una ecuación diferencial exacta Procedemos a hallar los coeficientes
Procedemos a hallar los coeficientes
Reemplazamos el resultado del coeficiente en la ecuación del factor integrante, correspondiente en este (6) y hallamos el factor integrante Quedando una ecuación exacta
Se utiliza la siguiente formula para ello derivamos ambos lados.
My=Nx, por lo tanto la ecuación diferencial exacta:
Entonces
Respuesta
, Reemplazamos
ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Levis Dayan Gonzalez
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Reordenando la ecuación
Puesto que la ecuación no es exacta
Comprobando la condición:
Dado que la ecuación no es exacta se debe buscar un factor integrante mediante la fórmula:
Ahora se multiplica el factor integrante a cada lado de la ecuación y se resuelve.
Esto es
Resolvemos
Reemplazar v=y
Despejamos y
EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA
A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas.
Problema:
Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque.
a. 28 minutos 30 segundos b. 35 minutos 50 segundos c. 30 minutos 20 segundos d. 41 minutos 40 segundos
PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA
RAZÓN O EXPLICACIÓN
Sacamos la información del texto.
Se utiliza la Ley de Torricelli. Con una formula alterna de la misma ley. Utilizamos la fórmula de Pitágoras. Basados en la figura del triángulo. Sustituimos en la ecuación.
Cambiamos por , dividimos entre y simplificamos
Ahora tenemos la forma , siendo
y e integramos ambos lados de la ecuación. Integramos la constante
Integramos el otro lado de la ecuación, primero expandimos y aplicamos regla de la suma. Integramos cada parte.
Solucionamos respectivamente.
Solución planteada:
Sea
La ecuación corresponde a:
Transponiendo términos se tiene;
Aplicando propiedades algebraicas tenemos:
Resolviendo las integrales se obtiene:
Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que
Por lo tanto ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t
Cuando ; se tiene:
; por ende,
Solución planteada:
Sea
La ecuación corresponde a:
Donde k es constante de proporcionalidad.
Transponiendo términos se tiene;
Aplicando propiedades algebraicas tenemos:
Resolviendo las integrales se obtiene:
Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que
Cuando se resuelve la integral el signo de la constante debe ser positiva porque no está precedida por ningún signo negativo por tanto en la ecuación queda positiva
Ahora bien, cuando Se tiene
; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%.Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así:
Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:
Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:
Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación.
Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es:
Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación.
Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a:
Por lo tanto ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t
Cuando ; se tiene:
; por ende,
Se sabe que inicialmente hay una cantidad de 50 mg y se reduce en 2 horas se redujo en 10%,entonces:
Ahora bien, cuando Se tiene ; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así:
Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:
Por lo que el valor de la constante c, corresponde a:
CONCLUSIONES
El desarrollo de la actividad nos permite afianzar nuestro conocimiento matemático con la realización de los ejercicios planteados por cada integrante del grupo, los procedimientos hechos y la comparación de los mismos generan entender las soluciones planteadas.
Las ecuaciones diferenciales nos permiten en la ingeniería avanzar en el desarrollo tecnológico pero también están presentes en nuestros demás entornos, su aplicación en temas mecánicos, eléctricos, ambientales entre otros.
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA
García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 2-66). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action? docID=
Alonso, A., Álvarez, J. Calzada, J. (2008). Ecuaciones diferenciales ordinarias: ejercicios y problemas resueltos. Delta Publicaciones. (pp. 5-82). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co: 2077/id/
Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 1-53). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/ unadsp/detail.action?docID=
Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones Elizcom. (pp. 9-95). Recuperado de: http:// bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/
Amaya, J. (2015). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de primer orden. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/
OVA - Unidad I - Ecuaciones diferenciales de primer orden-Introducción a las ecuaciones diferenciales
