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Ing. Industrial
c
t
`
c
t
``
c
n
Q = c
n
DINÁMICA DE FLUIDOS
DEFINICIÓN DE CAUDAL
Caudal Q es el volumen de fluido por unidad de tiempo que pasa a través de una sección
transversal a la corriente:
.
3
3
seg
m
T
L
Q
Si la velocidad c tiene cualquier dirección descomponiendo c en sus tres componentes,
dos paralelos a la superficie en cuestión y el tercero normal a la misma, solo la
componente normal c n
produce caudal.
Para un elemento infinitesimal:
Q c dA
dQ c dA
n
n
Si c
es la velocidad media normal a la sección A tenemos:
Q c A
Así por ejemplo una tubería circular de diámetro D :
2
D
Q
c
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Ecuación de continuidad para un hilo de corriente en régimen permanente
Ing. Industrial
No entre ni sale fluido lateralmente porque la velocidad es tangencial al hilo de
corriente;
El hilo de corriente es estacionario;
No se crea ni se destruye masa ni hay aumento o disminución de la densidad del
mismo;
c dA c dA c dA C
1 1 1 2 2 2 3 3 3
Siendo c las componentes normales a las secciones consideradas. Como
v
tenemos:
ECUACION DE CONTINUIDAD PARA FLUIDO COMPRESIBLE E INCOMPRESIBLE Y
UN HILO DE CORRIENTE
C
v
c dA
v
c dA
v
c dA
3
3 3
2
2 2
1
1 1
Podemos definir el caudal másico G ,
[ ]
[ ]
seg
Kg
T
M
G
Y en un filamento de corriente:
v
c dA
dG dQ c dA
Por lo que podemos escribir la ecuación de continuidad de la siguiente forma:
C
v
c dA
dG
ECUACION DE CONTINUIDAD PARA FLUIDO INCOMPRESIBLE Y UN HILO DE
CORRIENTE
dQ cdA C
Solo en un fluido incompresible el caudal volumétrico que atraviesa una sección
transversal cualquiera de un filamento de corriente es constante; pero en todo fluido tanto
compresible como incompresible el caudal másico es constante.
Ecuación de continuidad del fluido incompresible para un tubo de corriente en
régimen permanente
Si consideramos.
Q dQ cdAC
Ing. Industrial
3
2
1
v f x yz t
v f x yz t
v f x yz t
z
y
x
En un instante t determinado estas ecuaciones nos dan la velocidad del fluido, mientras
que en un punto determinado ( x, y, z ) las mismas ecuaciones nos dan la variación de la
velocidad con el tiempo.
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
dv
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
dv
dz
z
v
dy
y
v
dx
x
v
dt
t
v
dv
z z z z
z
y y y y
y
x x x x
x
Dividiendo ambos miembros por dt :
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dv
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dv
z
v
v
y
v
v
x
v
v
t
v
dt
dv
z
z
z
y
z
x
x z
y
z
y
y
y
x
y y
x
z
x
y
x
x
x x
Ya que:
x y z
v
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
Estas ecuaciones nos dan las componentes de la aceleración en cada punto y cada
instante de tiempo. Si el movimiento es permanente la velocidad no varía con el tiempo:
t
v
t
v
t
v
z
y
x
Por lo tanto las ecuaciones de la aceleración serán:
Ing. Industrial
dy dz
dx
x
p
p
dy dz
dx
x
p
p
dx
dx
x
z
y
O
d
z
dx
d
y
A(x,y,z)
dW = dx dy dz g
Trayectoria de una
partícula
Fig.
z
v
v
y
v
v
x
v
v
dt
dv
z
v
v
y
v
v
x
v
v
dt
dv
z
v
v
y
v
v
x
v
v
dt
dv
z
z
z
y
z
x
x
y
z
y
y
y
x
y
x
z
x
y
x
x
x
Ecuaciones de Euler
Consideremos el punto A(x, y, z) en el centro del paralelepípedo rectangular de lados dx,
dy, dz. Se supone régimen permanente y la única fuerza exterior que actúa es la
gravedad ( dW ), también actúa la presión del resto del fluido.
Sea p = f (x, y, z) la presión en el punto A. La presión en lacara vertical izquierda será:
dx
x
p
p dp p
Y en la cara derecha:
Ing. Industrial
z
p
g
z
v
v
y
v
v
x
v
v
y
p
z
v
v
y
v
v
x
v
v
x
p
z
v
v
y
v
v
x
v
v
z
z
z
y
z
x
y
z
y
y
y
x
x
z
x
y
x
x
ECUACION DE BERNOULLI PARA EL FLUIDO IDEAL: 1º DEDUCCION POR
INTEGRACION DE LAS ECUACIONES DE EULER SEGÚN UNA LINEA DE
CORRIENTE.
Tomando las ecuaciones de Euler sintetizadas y multiplicando por dx a la 1º, por dy a la
2º y por dz a la 3º:
dx
x
p
dx
dt
dv
x
dy
y
p
dy
dt
dv
y
dz
z
p
dz g
dt
dv
z
Sumando miembro a miembro:
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dz g dz
dt
dv
dy
dt
dv
dx
dt
dv
z
y x
Como:
x y z
v
dt
dz
v
dt
dy
v
dt
dx
El primer miembro de la ecuación se transforma:
2
2
1
2 2 2
2
1
v dx vdy v dz dv v v dv
x y z x y z
Al suponer que el régimen es permanente, p no es función de t y su diferencial total será:
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dp
Con lo que nos queda:
2
dv
g dz
dp
Ing. Industrial
Integrando esta ultimas ecuación entre dos puntos cualesquiera 1 y 2 situados en la
misma línea de corriente y = C por se incomprensible:
2
2
2
2
2
1
1
1
v
g z
v p
g z
p
Que nos dice que
2
v
g z
p
es constante a lo largo de la misma línea de corriente.
C
v
g z
p
2
C
g
v
z
g
p
2
CLASIFICACION DE LAS ENERGIAS DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE.
La energía puede tener formas muy diversas que según el primer principio de la
termodinámica, pueden transformarse unas en otras.
La mecánica de los fluidos se ocupa solo de tres formas de ella; energía potencial,
energía de presión y energía cinética, y su transformación entre ellas con el trabajo
mecánico.
Dimensiones de la energía:
2
2
2
2
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
seg
Kg m
J N m
T
M L
E F L
Se utiliza la energía específica usualmente:
[ ]..
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
2
2
Kg
J
seg
m
T
L
M
E
m
E
e
Energía Potencial
Es igual al trabajo que puede ejercer la fuerza de gravedad cuando su altura desciende
desde z 1
a z
2
. Las alturas se refieren al igual que en hidrostática con respecto a un plano
de referencia z = 0. Siendo la fuerza de gravedad igual al peso del fluido.
W g V
E gV z
z
g z
V
gV z
e
z
Energía de presión
Ing. Industrial
ECUACION DE BERNOULLI PARA UN HILO DE CORRIENTE
2
2
2
2
2
1
1
1
v
z g
v p
z g
p
Sin embargo puede ocurrir que 2 puntos estén en dos líneas de corrientes distintas por lo
que:
2
3
3
3
2
1
1
1
v
z g
p v
z g
p
Para un tubo de corriente en régimen permanente
Para que la ecuación de Bernoulli se cumpla entre dos puntos cualesquiera de, no
situados en una misma línea de corriente (puntos 1 y 3 de la figura anterior) de un tubo
imaginario, además de ser el fluido ideal, el fluido debe ser irrotacional, se cumple entre
dos puntos cualesquiera:
ECUACION DE BERNOULLI PARA UN TUBO DE CORRIENTE
2
2
2
2
2
1
1
1
v
z g
v p
z g
p
En este caso v 1
y v
2
son las velocidades medias en las secciones 1 y 2. Se puede
observar que la ecuación fundamental de la hidrostática es un caso particular de la
ecuación de Bernoulli con el fluido en reposo 0
2
2
1
v
ECUACION DE BERNOULLI EXPRESADA EN ALTURAS EQUIVALENTES.
Dividiendo la energía específica por la aceleración de la gravedad tenemos:
L
L T
L T
g
e
2
2 2
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ]
[ ]
Llamaremos a
1
2
3
Fig.
Ing. Industrial
H
g
e
Altura equivalente.
Altura potencial:
z
g
e
z
Altura de presión:
g
p
g
e
p
Altura de velocidad:
g
v
g
e
v
2
ECUACION DE BERNOULLI PARA UN TUBO DE CORRIENTE 2º FORMA
g
v
z
g
p
g
v
z
g
p
2
2
2
2
2
1
1
1
O bien.
C
g
v
z
g
p
2
Ecuación muy usada en mecánica de fluidos ya que un salto en altura representa algo
físicamente observable.
Asimismo se denomina:
Altura total , H a la constante C de la ecuación de Bernoulli:
g
v
z
g
p
H
2
La altura total es la suma de las alturas de presión, potencial y cinética y es constante en
un fluido ideal.
Altura piezométrica:
z
g
p
h
ECUACIONES DIFERENCIALES DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO REAL, O
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
Si el fluido es real y por lo tanto viscoso, una deducción más laboriosa que las ecuaciones
de Euler, nos conduciría a una serie de ecuaciones diferenciales del movimiento del fluido
llamada de Navier – Stokes. Su expresión es la siguiente.
Ing. Industrial
g
v
z
g
p
H
g
v
z
g
p
r
2
2
2
2
12
2
1
1
1
Donde H r1- 2
altura perdida entre el punto 1 y 2 , ( g H r1- 2
= y r1- 2
).
ECUACION DE BERNOULLI GENERALIZADA
Si la corriente atraviesa una o varias maquinas que le suministran energía (bombas),
experimentara un incremento de energía que, expresada en forma de altura, la
llamaremos H b
. Así mismo si la corriente atraviesa una o varias maquinas a las que
cede energía (turbinas) experimenta un decremento de energía que, expresado en
alturas, la llamaremos - H t
.
ECUACION DE BERNOULLI GENERALIZADA
g
v
z
g
p
H H H
g
v
z
g
p
r b t
2
2
2
2
12
2
1
1
1
ECUACION DE BERNOULLI PARA UN GAS INCOMPRESIBLE
Si multiplicamos a ambos miembros por g tenemos:
2
2
12 2 2
2
1
1 1
v
gH p g z
v
p g z
r
Los términos de esta expresión tienen dimensiones de presión. En un gas la variación de
presión potencial suele ser despreciable, g(z 1
- z 2
) 0 y llamando gH r1- 2
= p r1- 2
a la
presión perdida entre 1 y 2 tendremos:
ECUACION DE BERNOULLI PARA GASES
2
2
12 2
2
1
1
v
p p
v
p
r
Donde:
p 1
, p
2
= presiones estáticas en los puntos 1 y 2 ;
v 1
2
/2, v 2
2
/2= presiones dinámicas en los puntos 1 y 2 ;
p r1- 2
= presión perdida por rozamiento en los puntos 1 y 2 ;
p 1
2
/2 = p t
presión total en el punto 1.
Esta ecuación es valida para líquidos en movimiento horizontal, z 1
= z 2
.
Si multiplicamos la ecuación:
g
v
z
g
p
H
g
v
z
g
p
r
2
2
2
2
12
2
1
1
1
Ing. Industrial
Por G (caudal másico) = Q , y por g los términos de la ecuación resultante representaran
potencias en W. Será la potencia W en el punto 2.
g
v
z
g
p
Q g
2
2
2
2
Lo mismo ocurre con la ecuación:
2
2
12 2
2
1
1
v
p p
v
p
r
Al multiplicarla por el caudal Q, los términos de la ecuación representaran potencias en W
que tiene la corriente de gas en el punto 2.
TEOREMA DEL IMPULSO EN MECANICA DE FLUIDOS
El teorema del impulso o de la cantidad de movimiento junto con la ecuación de
continuidad y el teorema de Bernoulli, son las tres ecuaciones básicas en la resolución de
problemas de Mecánica de Fluidos.
Sea una partícula de masa m sometida a una fuerza F durante un intervalo de tiempo t 2
-
t 1
. Según la 2º ley de Newton:
dt
d v
F m
Multiplicando a ambos miembros por dt e integrando:
2
1
2
1
v
v
t
t
Fdt md v
Y siendo m constante:
2 1
2
1
Fdt mv v
t
t
Donde:
2
1
t
t
F dt= impulso de la fuerza F que en general variara con el tiempo en el
intervalo t
2
- t
1
;
m v= cantidad de movimiento de la partícula.
Esta ecuación es el teorema del impulso aplicado a una partícula de fluido. El teorema del
impulso en mecánica de fluidos se obtiene.
Ing. Industrial
dt
d v
F m
Que es equivalente a las tres expresiones cartesianas.
dt
dv
F m
x
x
dt
dv
F m
y
y
dt
dv
F m
z
z
Deduciremos solo la ecuación en x ya que las otras son análogas:
x
x x
x
dQdv
dt
dv
dQ dt
dt
dv
dF m
Donde:
dF x
= resultante según el eje x de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula.
m = masa de la partícula m = d (donde d volumen de la partícula) =
= dQ dt , porque por definición dQ = d / dt (donde dQ = caudal volumétrico que
circula por el filamento).
Por lo que:
x x
dF dQdv
Integrando a lo largo de todo el filamento desde la sección 1 a la 2 y suponiendo como
siempre que el fluido es incompresible y de régimen permanente:
2 1
2
1
2
1
x x x x
dF dQ dv dQv v
Donde
x
dF = resultante según el eje x de todas las fuerzas que actúan sobre todas las
partículas del filamento.
Integrando nuevamente sobre todos los filamentos de corriente comprendidos entre las
secciones 1 y 2 :
TEOREMA DEL IMPULSO O DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
F v dQv dQ
x x 2 x 1
Ing. Industrial
Donde F x
= resultante de todas las fuerzas exteriores a la masa aislada dibujadas en la
figura anterior.
En muchos problemas se simplifica esta expresión ya que las secciones 1 y 2 son de
régimen uniforme por lo que v x
y v
x
son constantes por lo que el segundo miembro de la
ecuación anterior se puede integrar obteniéndose finalmente para los tres ejes
coordenados:
2 1
2 1
2 1
z z z
y y y
x x x
F Qv v
F Qv v
F Qv v
O vectorialmente:
F Q v
Donde:
x y z
F F F F = resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el
fluido (limitado por el tubo de corriente y dos secciones de control
convenientemente escogidas). También incluye las fuerzas de
viscosidad que las paredes del tubo ejercen sobre el fluido aislado.
x y z
v v v v = velocidad media de la corriente.
La ecuación de la cantidad de movimiento al contrario a la ecuación de Bernoulli es
aplicable también al fluido real.
APLICACIONES
Fuerza sobre un alabe y potencia de una turbina de acción
En el rodete de una turbina de acción los alabes, que tienen forma de cuchara, se fijan a
la periferia de la misma. E agua al incidir sobre uno de los alabes con un velocidad inicial
es desviada variando así su cantidad de movimiento.
Si el rodete esta fijo esta fuerza multiplicada por el radio del rodete es la
contribución de dicho alabe al par de arranque.
Si el rodete gira, el alabe tendrá una velocidad u , la misma fuerza multiplicada por
u será la contribución de dicho alabe a la potencia del rodete:
P Fu watt
Podemos tener tres casos:
Ing. Industrial
La velocidad relativa del agua con respecto al alabe a la entrada será w 1 c 1 - u.
Despreciando el rozamiento la velocidad a la salida
2
w será igual a
1
w en modulo, pero
formara un ángulo con u.
Teniendo en cuenta que:
w w c u sen
w c u w c u
y y
x x
; ( ) cos
1 2 1
1 1 2 1
Y considerando que el caudal que llega al rodete no es el caudal Q del chorro ya que el
alabe se mueve con velocidad u entonces el caudal será:
1
2
c u
d
Donde:
d = diámetro del chorro.
Tendremos:
c u sen
d
F
c u
d
F
y
x
2
1
2
2
1
2
1 cos
Un rodete :
Al aplicar la ecuación anterior a un rodete que consta de una serie de alabes dotados de
la misma velocidad u se aprovecha el caudal total Q del chorro que sale del inyector.
F Qc u sen
F Qc u
y
x
2
1
2
1
1 cos
Como el alabe no se desplaza en la dirección y la fuerza F y
no realiza trabajo. La potencia
teórica es:
P Q c u 1 cos u
2
1
Propulsión a chorro
El turborreactor de la figura se desplaza hacia la derecha con velocidad v.
Ing. Industrial
El turborreactor acelera el aire creando un chorro en dirección contraria al vuelo, cuya
velocidad relativa con respecto al avión es w. Esta aceleración requiere una fuerza que el
turborreactor ejerce sobre el fluido. Si tomamos al avión en reposo, el aire entra ahora al
difusor con una velocidad relativa w 1
= - v y sale por la tobera con velocidad relativa w
2
=
w. Llamando G = Q al caudal másico del aire que circula por el avión y E al empuje
tendremos:
x x 2 x 1
F Qv v
E G w v
E Gw w
2 1
Donde:
w = velocidad del chorro con relación al turborreactor;
v = velocidad del turborreactor.
Tobera de
salida
Entrada de
combustible
Difusor de
entrada
Rodete del
Rodete de compresor
turbina
w 2
= w W 1
= - v
v = Velocidad
del reactor
Fig.
