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Cálculo Numérico: Área Polígonos, Teoría Errores y Solución Ecuaciones No Lineales, Esquemas y mapas conceptuales de Psicología

Este documento contiene tres ejercicios de Cálculo Numérico relacionados con el cálculo de áreas de polígonos, la teoría de errores y la solución de ecuaciones no lineales. El primer ejercicio explica cómo calcular el área de un polígono utilizando la Fórmula de Gauss y desarrolla un programa en Python. El segundo ejercicio trata sobre la aproximación de funciones usando polinomios de Taylor y realiza una gráfica comparativa de los resultados. El tercer ejercicio se dedica a encontrar la solución de la ecuación del movimiento de Kepler, una ecuación no lineal, mediante el método de Newton-Raphson y presenta los resultados obtenidos en una tabla. El documento incluye referencias bibliográficas a obras relacionadas con el tema.

Tipo: Esquemas y mapas conceptuales

2020/2021

Subido el 04/09/2021

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1. Descripción del ejercicio: A continuación, encontrará los argumentos para el desarrollo
del ejercicio
B: La Fórmula del área de Gauss, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un
polígono simple cuyos vértices están 6 descritos como pares de coordenadas en el plano. La
fórmula puede representarse mediante la expresión:
𝐴 = 1 2 |∑𝑥𝑖 (𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖−1 ) 𝑛 𝑖=1 | Donde 𝐴 es el área del polígono 𝑛 es el número de lados
del polígono (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ),𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 son las coordenadas de los vértices del polígono Y por
tratarse de un polígono cíclico 𝑥𝑛+1 = 𝑥1 y 𝑥𝑛 = 𝑥0, al igual que 𝑦𝑛+1 = 𝑦1 y 𝑦𝑛 = 𝑦0
Gráficamente los cálculos representan: Figura 3. Tomado de Wikipedia
Haga un programa en Python que
• Defina un módulo llamado entrada.py que contenga una función llamada entrada empleada
para el ingreso de los datos por teclado del número de lados del polígono 𝑛 y cada uno de los
valores del par ordenado (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 (en orden contrario a las manecillas del
reloj) y los vaya almacenando en dos listas, inicialmente vacías, una para los valores de las
coordenadas en 𝑥 y otra para los valores de las coordenadas en 𝑦. Debe tener en cuenta que
a ambas listas se les debe adicionar el primer elemento y debe devolver las listas con los pares
de coordenadas ingresados y adicionados el primer elemento de cada lista, por ser un polígono
cíclico.
• Defina un módulo llamado calculos.py que contenga una función llamada areaPoligono que
calcule el área del polígono 7 empleando la fórmula mostrada arriba. Debe determinar los
argumentos que la función recibirá para poder ser ejecutada adecuadamente y devolver como
resultado el área del polígono.
• Defina un módulo llamado salida.py que contenga una función llamada “pares” que muestre
por pantalla los pares ordenados de las coordenadas de los puntos del polígono, y otra función
llamada areaPoligono que muestre el valor del área calculada, con un mensaje adecuado y sin
ambigüedad.
• El archivo main.py deberá contener únicamente el llamado a cada una de las funciones
solicitadas arriba y una breve descripción de lo que hace el programa, definiendo cada uno de
los datos de entrada y salida empleando docstring.
Ejercicio 2: Teoría de Errores Para el desarrollo de este ejercicio, es necesario que revise en el
Entorno de Aprendizaje (Unidad 1 - Contenidos y referentes bibliográficos), las siguientes
referencias: • Canale, R. P. y P. Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.).
México D.F, Mexico: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 78–90). Una vez realizadas las lecturas,
desarrolle el ejercicio propuesto.
Descripción del ejercicio:
B: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2 , centrado en 𝑥 = 0
realice un programa en Python empleando el Jupyter Notebook que:
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  1. Descripción del ejercicio: A continuación, encontrará los argumentos para el desarrollo del ejercicio B: La Fórmula del área de Gauss, es un algoritmo matemático usado para calcular el área de un polígono simple cuyos vértices están 6 descritos como pares de coordenadas en el plano. La fórmula puede representarse mediante la expresión: 𝐴 = 1 2 |∑𝑥𝑖 (𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖−1 ) 𝑛 𝑖=1 | Donde 𝐴 es el área del polígono 𝑛 es el número de lados del polígono (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ),𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 son las coordenadas de los vértices del polígono Y por tratarse de un polígono cíclico 𝑥𝑛+1 = 𝑥1 y 𝑥𝑛 = 𝑥0, al igual que 𝑦𝑛+1 = 𝑦1 y 𝑦𝑛 = 𝑦 0 Gráficamente los cálculos representan: Figura 3. Tomado de Wikipedia Haga un programa en Python que
  • Defina un módulo llamado entrada.py que contenga una función llamada entrada empleada para el ingreso de los datos por teclado del número de lados del polígono 𝑛 y cada uno de los valores del par ordenado (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 (en orden contrario a las manecillas del reloj) y los vaya almacenando en dos listas, inicialmente vacías, una para los valores de las coordenadas en 𝑥 y otra para los valores de las coordenadas en 𝑦. Debe tener en cuenta que a ambas listas se les debe adicionar el primer elemento y debe devolver las listas con los pares de coordenadas ingresados y adicionados el primer elemento de cada lista, por ser un polígono cíclico.
  • Defina un módulo llamado calculos.py que contenga una función llamada areaPoligono que calcule el área del polígono 7 empleando la fórmula mostrada arriba. Debe determinar los argumentos que la función recibirá para poder ser ejecutada adecuadamente y devolver como resultado el área del polígono.
  • Defina un módulo llamado salida.py que contenga una función llamada “pares” que muestre por pantalla los pares ordenados de las coordenadas de los puntos del polígono, y otra función llamada areaPoligono que muestre el valor del área calculada, con un mensaje adecuado y sin ambigüedad.
  • El archivo main.py deberá contener únicamente el llamado a cada una de las funciones solicitadas arriba y una breve descripción de lo que hace el programa, definiendo cada uno de los datos de entrada y salida empleando docstring. Ejercicio 2: Teoría de Errores Para el desarrollo de este ejercicio, es necesario que revise en el Entorno de Aprendizaje (Unidad 1 - Contenidos y referentes bibliográficos), las siguientes referencias: • Canale, R. P. y P. Canale, R. (2007). Métodos numéricos para ingenieros (5a. ed.). México D.F, Mexico: McGraw-Hill Interamericana. (pp. 78–90). Una vez realizadas las lecturas, desarrolle el ejercicio propuesto. Descripción del ejercicio: B: 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 2 , centrado en 𝑥 = 0 realice un programa en Python empleando el Jupyter Notebook que:
  • Determine los polinomios de Taylor desde el grado cero (0) hasta el grado cinco (5) • Realice una gráfica comparativa con la evaluación de los polinomios solicitados en el numeral anterior y determine cuál es el error de truncamiento resultante en cada uno de los polinomios hallados. Haga una gráfica del comportamiento del error para cada polinomio.
  • Haga un análisis de resultados basándose en la teoría y en los resultados obtenidos. Debe incluir referencias a la bibliografía empleada usando las normas APA. Comentarios sin referencias no serán tenidos en cuenta. Ejercicio 3: Solución de ecuaciones no lineales B: Considere la ecuación del movimiento de Kepler 𝑀 = 𝐸 − 𝑒 × 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐸) relacionando la anomalía media 𝑀 con la anomalía excéntrica 𝐸 de una órbita elíptica con excentricidad 𝑒. Para encontrar 𝐸, necesitamos resolver la ecuación no lineal: 𝑓(𝐸) = 𝑀 + 𝑒 × 𝑠𝑒𝑛𝑜(𝐸) − 𝐸 = 0 Dada 𝑒 = 0.0167, la excentricidad de la tierra, y 𝑀 = 1, calcule el valor de E. haga una descripción teórica (las ecuaciones deberán estar escritas en LaTeX) incluyendo referencias bibliográficas empleadas siguiendo las normas APA, y elabore una tabla con los resultados obtenidos. Dicha tabla debe contener al menos la siguiente información por columna: El número de iteración, niter (empezando en la iteración cero), valor aproximado de la raíz en cada iteración 𝑥𝑖 , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, 𝑓(𝑥𝑖), y el error relativo, 𝐸𝑟𝑒𝑙(%). Los cálculos deben ser realizados por el programa en Python. Note que, si el método tiende a la convergencia, en cada iteración 𝑖 el valor de 𝑓(𝑥𝑖) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre revise cuidadosamente sus cálculos. Realice los cálculos empleando 6 cifras decimales. Escoja los valores iniciales de forma adecuada y que tengan sentido con el enunciado del ejercicio. Con los resultados de los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs 𝐸𝑟𝑒𝑙(%) que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones. Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método presenta un mejor desempeño para encontrar la solución. ¿Cuál es su conclusión? Forol las tics Seguridad informática Anaconda.com

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