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EJERCICIOS:!REGLA!DE!LA!CADENA!
EJERCICIOS:!DERIVADA!IMPLICITA!
!
!
!
SECCIÓN 2.4 La regla de la cadena 137
En los ejercicios 43 y 44, calcular la pendiente de la recta tangente
a la función seno en el origen. Comparar este valor con el número
de ciclos completos en el intervalo [0, 2
]. ¿Cuál es la conclusión
respecto a la pendiente de una función sen ax en el origen?
43. a) b)
44. a) b)
En los ejercicios 45 a 66, encontrar la derivada de la función.
45. 46.
47. 48.
49. 50.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
61. 62.
63. 64.
65. y sen(tan 2x) 66.
En los ejercicios 67 a 74, evaluar la derivada de la función en el
punto indicado. Utilizar una herramienta de graficación para
verificar los resultados.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
g
t
5 cos
2
ty 4 sec
2
x
g
v
cos v
csc v
f
x
cot x
sen x
g
sec
1
2
tan
1
2
h
x
sen 2x cos 2x
ycos
12x
2
ysen
x
2
h
x
sec x
2
g
x
5 tan 3x
ysen
xy cos 4x
En los ejercicios 1 a 6, completar la tabla.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
En los ejercicios 7 a 36, encontrar la derivada de la función.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
En los ejercicios 37 a 42, utilizar un sistema algebraico por compu-
tadora para encontrar la derivada de la función. Utilizar el mismo
mecanismo para representar gráficamente la función y su deri-
vada en el mismo plano cartesiano. Describir el comportamiento
de la función que corresponde a cualquier cero de la gráfica de
la derivada.
37. 38.
39. 40.
41. 42.
y
sen 5x
2
y
csc
3
x
y
3 tan
x
2
y
x
3
7
y
1
x1
y
5x8
4
yf
u
ug
x
yf
g
x
yx
2
tan 1
x
y
cos
x1
x
g
x
x1
x1y
x1
x
y
2x
x1
y
x1
x
2
1
x
2
2
1
2
2
y
y sen x
x
2
2
1
2
2
y
y sen 2x
x
2
2
1
2
y
y sen 3x
x
2
1
2
1
22
32
y
y sen x
2
2, 2
y1
x
cos x
0, 25
y26 sec
3
4x
2, 3
f
x
x1
2x3
0, 2
f
t
3t2
t1
4, 1
16
f
x
1
x
2
3x
2
2, 1
2
f
x
5
x
3
2
2, 2
y
5
3x
3
4x
3, 5
s
t
t
2
6t2
Punto Función
Ejercicios
2.4
g
x
3x
2
2
2x3
3
f
v
12v
1v
3
h
t
t
2
t
3
2
2
g
x
x5
x
2
2
2
yx
x
4
4
y
x
x
2
1
y
1
2
x
2
16 x
2
y
x
1x
2
f
x
x
3x9
3
f
x
x
2
x2
4
g
t
1
t
2
2
y
1
x2
y 5
t3
3
f
t
1
t3
2
s
t
1
t
2
3t1
y
1
x2
f
x
3
4
29x
y
2
4
9x
2
g
x
x
2
2x1
y
3
6x
2
1
g
x
94x
f
t
5t
f
t
9t2
23
g
x
3
49x
4
y2
6x
2
5
y
4x1
3
f
x
2
2
x
f
x
x
2
3
5
x
2
g
t
t11
g
x
2
x
2
1
4
3
1
f
tan
2
5
ysen
3
x
3
sen xy
x
1
4
sen
2x
2
y3x5 cos
x
2
f
t
3 sec
2
t1
h
t
2 cot
2
t2
f
1
4
sen
2
2
gy
g
cos
2
8
ycos
sin
tan
x
sen
CAS
146 CAPÍTULO 2 Derivación
En los ejercicios 1 a 16, encontrar dydx por medio de la deriva-
ción implícita.
1. x2 y2 9 2. x2 y2 25
3. x12 y12 16 4. x3 y3 64
5. x3 xy y2 7 6. x2y y2x 2
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
En los ejercicios 17 a 20, a) encontrar dos funciones explícitas
despejando y en términos de x, b) construir la gráfica de la ecua-
ción y clasificar las partes dadas por las respectivas funciones
explícitas, c) derivar las funciones explícitas y d) encontrar dydx
y demostrar que el resultado es equivalente al del apartado c).
17. x2 y2 64 18. x2 y2 4x 6y 9 0
19. 16x2 25y2 400 20. 16y2 x2 16
En los ejercicios 21 a 28, encontrar dydx por medio de la deriva-
ción implícita y calcular la derivada en el punto indicado.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Curvas famosas En los ejercicios 29 a 32, calcular la pendiente
de la recta tangente a la gráfica en el punto propuesto.
29. Bruja de Agnesi: 30. Cisoide:
(x2 4)y 8 (4 x)y2 x3
Punto: (2, 1) Punto: (2, 2)
31. Bifolio: 32. Folio de Descartes:
(x2 y2)2 4x2y x3 y3 6xy 0
Punto: (1, 1) Punto:
Curvas famosas En los ejercicios 33 a 40, encontrar la ecuación
de la recta tangente a la gráfica en el punto dado.
33. Parábola 34. Circunferencia
35. Hipérbola rotada 36. Elipse rotada
37. Cruciforme 38. Astroide
ysen xy
sen xx
1tan y
sen x2 cos 2y1
x
3
3x
2
y2xy
2
12
x
3
y
3
yx
2,
3
x cos y1,
0, 0
tan
xy
x,
2, 3
x
3
y
3
6xy 1,
8, 1
x
23
y
23
5,
1, 1
xy
3
x
3
y
3
,
7, 0
y
2
x
2
49
x
2
49 ,
1, 1
x
2
y
3
0,
6, 1
xy 6,
x
1
1
3
2
1
12
y
x
23
1
2
1
2
y
x
1
1
2
2
1
1
2
2
y
x
1
1
2
23
3
4
4
2
2
y
y
x
xy = 1
(1, 1)
3123
1
2
3
y
x
323
3
2
2
3
(
3, 1
)
7x
2
6 3xy + 13y
2
16 = 0
y
x
(
4, 2 3
)
246462
4
4
6
x2y2 9x2 4y2 = 0
y
x
(8, 1)
12
12
12
x
2/3
+ y
2/3
= 5
4
3, 8
3
Ejercicios
2.5
y
x
2446
4
2
4
6
8
10
(x 2)2 + (y 3)2 = 37
(4, 4)
y
x
(6, 1)
(y 3)2 = 4(x 5)
2 4 6 8 14
2
4
6
2
4
6
8
10
xsec 1
y
cot yxy
sen
xcos
y
2
2
4 cos x sen y1
xy x1y
2