Propiedades de los Números Reales: Un Resumen Completo para Estudiantes, Resúmenes de Matemáticas

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Universidad Abierta para Adultos

UAPA

PARTICIPANTE

Roxanna L. Coste Rosario

MATRICULA

ASIGNATURA

Matemática básica

TEMA

UNIDAD I

Facilitador

Griselda Peña

Conjuntos numéricos

Los números naturales poseen una serie de propiedades:

1. Los números naturales están contenidos en un conjunto de forma ordenada, con lo cual, estos números tienen una relación en cuanto al valor de cada cifra se refiere, de tal forma que, siendo a el número primero más pequeño y b, otro de mayor valor se cumple que: a≤b. Esta relación se cumple solamente si existe otro número natural c tal que: a+c=b.
2. El conjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo, de lo cual se deduce que no es un conjunto vacío, y, por tanto, está totalmente ordenado, puesto que siempre existe un número natural que cumple la relación de a≤b. En conclusión:

a) Para cualquier elemento a de un conjunto A existe otro elemento b en A tal que a<b

b) Cualquier subconjunto no vacío de A posee un elemento mínimo.

Luego encontramos otras propiedades referidas a la adición y multiplicación:

a) Operación interna: La suma de dos números naturales es siempre otro número natural b) Existencia del elemento neutro: Un numero natural tal que al ser sumado o multiplicado a otro número natural da ese mismo número. c) Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. a + b= b+ a

a x b=b x a

d) Propiedad asociativa: (3 +5) +2 =8 +2 = 10

• Más por menos igual a menos. Por ejemplo: (+2) x (-2) = (-4)
• Menos por más igual a menos. Por ejemplo: (-2) x (+2) = (-4)
• Menos por menos igual a más. Por ejemplo: (-2) x (-2) = (+4)

División. Funciona igual que la multiplicación. Por ejemplo:

• (+10) / (-2) = (-5)
• (-10) / 2 = (-5)
• (-10) / (-2) = 5.
• 10 / 2 = 5.

Números racionales

• Existen para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas propiedades de los números racionales, estos son:
• Entre las propiedades de la suma y resta están:
• Propiedad interna .- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara. - ab + cd = ef
• Propiedad asociativa .- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: - ( ab + cd )− ef = ab +( cd − ef )
• Propiedad conmutativa .- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: - ab + cd = cd + ab
• Elemento neutro .- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. - ab +0= ab
• Inverso aditivo o elemento opuesto .- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. - ab − ab =
• Por otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte de la multiplicación y la división, y estas son:

• Propiedad interna .- en razón de que al multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional. - ab × cd = ef
• Esta además aplica con la división
  • ab ÷ cd = ef
• Propiedad asociativa .- donde al agrupar diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto. - ( ab × cd )× ef = ab ×( cd × ef )
• Propiedad conmutativa .- aquí se aplica la famosa frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números racionales también funciona. - ab × cd = cd × ab
• Propiedad distributiva. - al combinar sumas y multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo: - ab ×( cd + ef )= ab × cd + ab × ef
• Elemento neutro. - en la multiplicación y la división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno, cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo número. - ab ×1= ab - ab ÷1= ab números irracionales
• - Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
• - Propiedad asociativa : donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
• - Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ ϕ = 1.
• - La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.
• Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π.
• • El conjunto de los números irracionales no verifica clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional.

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0.

a + ( -a) = -a + a = 0 , ∀ a ∈ R

Ejemplos:

10 + (-10) = 0

2/7 + ( -2/7) = 0

87.36 + (–87.36) = 0

–4.13 + 4.13 = 0

2.2- Propiedades de los reales en la resta o sustracción

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes reglas de los signos:

a) Si el minuendo y el sustraendo son positivos , y el minuendo es mayor que el sustraendo , se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 17.

b) Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo , se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Ejemplo:

11.2 – 28.7 = –17.

c) Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo , se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Ejemplo:

–28.1 – 11.2 = –39.

d) Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Ejemplo:

28.7 – 11.2 = 28.7 + (–11.2) = 17.

e) Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Ejemplo:

28.7 – (–11.2) = 28.7 + 11.2 = 39.

f) La resta no tiene todas las propiedades de la suma:

La resta no es una operación conmutativa:

Ejemplo:

52.4 – 31.2 = 21.2, y ese resultado es distinto de 31.2 – 52.4 = –21.

2.3- Propiedades de la multiplicación

La multiplicación tiene las siguientes propiedades:

a) Propiedad interna: El producto de los números reales, es un número real.

∀ a, b ∈ R→ a • b ∈ R

Ejemplos:

4 • 9 = 36 ∈ R

3/4 • 5/7 = 15/28 ∈ R

b) Propiedad asociativa: Esta propiedad dice que cuando se multiplican tres reales dados o más, el resultado es el mismo independientemente de como se agrupen y se multipliquen.

Si a, b, c, ∈ R → (a • b) • c = a • (b • c)

Ejemplos:

2 • (3 • 4) = 24 → (2 • 3) • 4 = 24

c) Propiedad conmutativa: De acuerdo con esta propiedad, cuando dos números reales se multiplican en diferentes órdenes, el resultado es siempre el mismo.

Si a, b ∈ R → a • b = b • a

Ejemplos:

3 • (-8) = (-8) • 3

(-2 / 3) • (1/4) = (1/4) • (-2 / 3)

d) Elemento neutro multiplicativo:

π • 3/5 + π • 0.3 = π • (3/5 + 0,3)

2.4- Propiedades de la división

• La división no es conmutativa, pues al cambiar el orden de sus términos el resultado también cambia. Ejemplos: 10 : 2 = 5 pero 2: 10 = 0, 40:8 = 5 pero 8:40 = 0,
• La división No es asociativa: (8 ÷ 4) ÷ 2 = 1 pero 8 ÷ (4 ÷ 2) = 4
• Cero dividido entre cualquier númeo da cero 0: 4 = 0
• No se puede dividir por cero 8:0= no existe
• Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.
• El cuociente no varía si se multiplica o se divide tanto el dividendo como el divisor por el mismo número. (amplificación o simplificación)
• La adición y la multiplicación de números reales satisfacen las propiedades de conmutatividad y asociatividad; cada operación tiene un elemento neutro y cada número real tiene su elemento inverso , tanto aditivo como multiplicativo (excepto el 0, que no tiene inverso multiplicativo).
• Es un conjunto denso , esto es, entre dos números reales siempre hay otro número real.

Los números racionales , cuando se escriben como números decimales, son finitos, infinitos periódicos o infinitos semiperiódicos. Sin embargo, los números irracionales son siempre números decimales infinitos pero no periódicos. Considerando su representación en la recta numérica, los números reales ocupan la recta numérica por completo, ya que los números irracionales completan todos los espacios dejados por los racionales en la recta numérica.