METODO DE EXHAUSION SUMA DE RIEMANN
Según el método de exhaución, para aproximar el área
encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2,
tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho
recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es
evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto
menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos
primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma
de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto,
pero se van aproximando más a su valor según vayamos
tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las
aproximaciones de los dibujos.
Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto,
es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es
mayor que el área que encierra la función, pero a medida que
vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra
aproximación será más exacta.
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en
un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área
por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área
del recinto que se está calculando.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a,
b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
donde cj es el supremo de f(x) en el
intervalo [xj-1, xj].
La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
donde dj es el ínfimo de f(x) en el
intervalo [xj-1, xj].
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen
de la partición particular escogida, mientras que las integrales
superior e inferior son independientes de las particiones
elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada
de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el
supremo sobre cualquier partición.
David Santiago Caceres Alfonso
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