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Métodos de Integración: Exhaustion, Riemann, Fundamental y Numérica, Resúmenes de Cálculo

comparacion metodos areas bajo la curva

Tipo: Resúmenes

2020/2021

Subido el 06/12/2021

santiago-caceres-12
santiago-caceres-12 🇨🇴

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METODO DE EXHAUSION SUMA DE RIEMANN
Según el método de exhaución, para aproximar el área
encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2,
tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho
recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es
evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto
menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos
primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma
de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto,
pero se van aproximando más a su valor según vayamos
tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las
aproximaciones de los dibujos.
Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto,
es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es
mayor que el área que encierra la función, pero a medida que
vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra
aproximación será más exacta.
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en
un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área
por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área
del recinto que se está calculando.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a,
b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
donde cj es el supremo de f(x) en el
intervalo [xj-1, xj].
La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
donde dj es el ínfimo de f(x) en el
intervalo [xj-1, xj].
Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen
de la partición particular escogida, mientras que las integrales
superior e inferior son independientes de las particiones
elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada
de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el
supremo sobre cualquier partición.
David Santiago Caceres Alfonso
1193104
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METODO DE EXHAUSION SUMA DE RIEMANN

Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos. Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta. Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando. Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces: La suma superior de f respecto de la partición P se define así: donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj]. La suma inferior de f respecto de la partición P se define así: donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj]. Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición. David Santiago Caceres Alfonso 1193104

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO DARBOUX

el teorema afirma que la derivación y la integración (definida) son operaciones mutuamente inversas. Cuando se define la pendiente de la recta tangente, se utiliza el cociente ∆y/∆x (pendiente de la recta secante). Análogamente, al definir el área de una región bajo una curva, se usa el producto ∆y.∆x (área de un rectángulo). Así pues, en su primer paso derivación e integración son operaciones inversas. El teorema fundamental del Cálculo establece que el proceso de límite usado para definir ambas operaciones preserva esa relación inicial de inversas. Si f(x) es continua en el intervalo cerrado a,b y F es una primitiva de f en a,b , entonces: El teorema del valor medio para integrales: Se ha comprobado que el área de una región bajo una curva es mayor que el área de un rectángulo inscrito y mayor que la de uno circunscrito. El teorema del valor medio para integrales afirma que existe, “entre” el inscrito y el circunscrito, un rectángulo cuya área es precisamente la misma que la de la región. Si f es continua en el intervalo cerrado a,b, existe un número c en a,b tal que: Definición del valor medio de una función en un intervalo: Si f es integrable en el intervalo cerrado a,b , el valor medio de f en a,b es: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Si una función es continua en el intervalo [a, b] y k es un número comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en (a, b) tal que f(c) = k. También podemos definir la propiedad de Darboux de este otro modo: Si una función es continua en el intervalo [a, b] la función alcanza en este intervalo todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Ejemplo: Probar que la función f(x) = x(sen x + 1) toma el valor

La función es continua en toda ℛ por ser el producto de dos funciones continuas. Tomamos el intervalo y estudiamos el valor de las imágenes de los extremos: Por tanto existe un c ∈ tal que f(c) = 2. SIMPSON TRAPECIO