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2.7 LAS TREINTA Y DOS CLASES CRISTALINAS (^) 69
f iGURA 2.52 Crista les con simetría 2/mi El estereo- grama muestra un plano especular en ángulo recto con cada uno de los ejes bin arios de rotación y cuatro ejes ternarios de roroinversión. El círcul o primitivo sólido indica un plano especular horizontal; la s caras de la parte inferior del cristal es tán directamente deba jo de las correspondientes a la parte superior.
'2.7 lA S TREINTA Y DOS CLASES CRI STA LIN AS
\
En el texto qu e sigue, las 32 clases cristalinas, que se enume- raron en la tabla 2.4, se describen dentro de Jos sistemas c ri s- talinos en los qu e se agrupan. Los sistemas cristalinos serán tratados en orden de simetría creciente. Sin embargo, dentro de cada sis~ma, la s c la ses se abordarán en el orden de sime- tría decreciente. La simetría de cada clase viene dada con la notación de Hermann-Mauguin, pero también se muestra por medio de estereogramas que representan las proyeccio- nes de todas las caras de Las formas generales. Éstas son las formas que dan el nombre a la clase. En los estereogramas es necesario señalar caras del he mi sfe ri o norte y su r con el fin de mostrar la s im etría completa de la clase. Esto se ll eva a cabo superponiendo las proyeccion es estereográficas de ambos hemi sferios representando lo s polos del hemisferio norte por puntos llenos y lo s del hemisferio sur por círculos. Así, si dos polos coinciden uno enci ma de l otro en la esfera,
Ft CU RA 2.53 Cris tal en simetr ía 43m. El estereo- grama presen ta tres ejes c uat ernarios de inversió n rota- tona. se1s planos de s1metría y cuatro ejes ternarios de rotación. El círc ul o primit1vo de trazos indi ca la falt a de plano horizontal de simetría y la s caras de la parte sup erior del cristal no están enc ima de las de la parte mferior
(il)
estarán representados por un punto rodeado por un círculo. Una cara vertica l se representa por un punto sob re el círculo primitivo. pu es to que au nqu e su polo apareciera en ambas proyecciones , s uperior e inferior, só lo representaría una cara. La Fi g. 2.52a es un dibujo de un cris tal con un plan o de s imetría horizo ntal. El estereograma de este cristal, Fig. 2.52b, tiene , por tanto , como repre se ntación punt os rod ea dos por 3 círcu los para indicar las caras correspon dient es de arri - ba y de abajo de l c ri s taL La Fi g. 2.53a, es un dibujo de un cristal que carece de plano de simetría horizontal. Su este- reograma , Fi g. 2.53b, tiene doce puntos que corresponden a lo s polo s de la s caras del hemi s ferio norte y doce círculos in- dependi entes que corresponden a los polos de las caras del hemisferio sur. El núm ero de minerales (y compuestos crista lin os s inté- ti cos) incluid os dentro de cada uno de los seis sis tema s cris- talin os es mu y variable. En la Cristalografía de Blos s ( 197 1, pág. 28) se hace la relación de 3837 compuestos cristalinos
1/tl
70
Ejes de rotación
Monario Binario Ternar io Cuaternario Senario
j 2 3 4 6
CRtS TALOCRAFÍA: FORMA EX TERNA
Símbolo escrito
Ninguno
,•
Símbo lo gr~fi co
r-------------------------~'------ --------------------------------- ~---- --------------------------- ----~ Ej es de roto inversión
Monario Binario Temario Cua ter nario Sena río
Ce ntro de sim e tr ía
Plano s de sim etría
Direccion es c ri stalográ fi cas
T 2 3 ;¡· 6
m (horizon tal paralelo al plan o de la página)
m (venical, perpendicular al plano de la página)
m ause nt e en am bas posiciones horiwntal y vert ica l
a, h. e
(equivalente a un ce ntro de si metría o i. inver.;ión)* (equivalente a un espejo m) A
ninguno (véase nola al pi e)*
o
línea cominúa a lo largo del cfrcu lo primitivo
,m^ /
m ' (^1) ~Ambas lfnea s / t continuas
1 '- ~ ....
/
--- lín ea~ discontinuas a. h. e designada s con la letra apropiada Si m in c lu ye una direcc i ~11 cris tal ográfi ca. ,~e u ~n un o lín ea con tinua -co n a, b ó'
- Un Ct'lllm dt .rimrttía tt i11dim t'M:diJitndo srí/olo lttrct i de inversión, equivalenle a T. Si un centro de sometria tiene lugar en el cen tro de la esrerJ de proyección. su prese n- cia no puede indo c~,..,e ~propiadamente por un símbolo en un e. tereog rnma. pe«• puede d e t ec t~ r<e a pa11irde la di strihución de JlOins de c:tr:" eq uivnlentes (véase tombién Fig. 2.2 1).
y de su distri bu ción ente la s 32 clases de crista l es. Para estos co mp uesto s la distribuci ón es la siguient e:
Tri clíni co Monoclínico Ortorrómbico Tetrago nal
2% 21
12
Hexago nal l so métri co
19 26
Dentro de estos sist emas el ma yor número de especies min era les se conce ntra en la clase de cristal es de máx ima si- metría de cada sis tema cristalin o. L as cl ases de m áx im a si- metr ía de cada si ;; tern a t: ri sta 1 ino se denominan clases
. ,
72 CRISTALOGRAFÍA: FORMA EXTERNA
.·, .~;·.. - ..·-:····· ·-.~;------. ~---- - .-;.. .... - ... ~--- - .... ~. - -·:
- • • ~-4. ,. •• • • 1 : • • .. .. ... .. Clase del cristal
t.T
2.m.2Jm
222,mm 2Jm2Jm2Jm
4,4, 4/m 422, 4mm. 42m, 41m2/m 21m
6, 6. 6/m
- 6mm 6 m2. 61m21m2/m
:l. J. 32
Jm. 321m
- 2/nrl 432.43m. 41m/J21m
Sistema
Tri clíni co
Mon oclínico
Ortorrómbico
Tetragonal
Hexagonal *
lsométrico
Simetrfa caracterrstica
Sólo simetría monaria (inversión o identidad) Sólo un eje de rotación binaria y/o un plano de simetría Tres direcciones mutuamente per- pendiculares alrededor de los cua- les hay simetría binaria (2 ó m) Un eje cua ternario
Un eje senario
Un eje ternari o
Cuatro ejes ternarios inclinados cada uno 54°44' respecto a los ejes cris- talográfico~ (véase Figs. 2.16 y 2.101)
Notación de Hermann-Mauguln
Por su baja simetría no hay restricciones cristulo· gráficas. El eje binario se toma como eje b y el p. de s. (plano a-e) es vertical (segu ndo montaje). Los símbolos se refieren a los elementos de si me · tría en el orden a. b. e: los ejes binarios coinci- den co n lo s ejes cristalográficos. Los ejes cua ternarios se refieren al eje e; el segundo símbo lo (si lo hay) se refiere a las direcciones étxiales (a 1 y a 2 ); el tercer símbo lo (si lo hay) a la s direcciones 45° con respecto a ll¡ y 02. El primer número se refiere al eje,.: el segundu y tercer símbolos (si los ha y) se refieren respecti· vamente a los elementos de simetría paralel os y perpendiculares a los ejes cristalográficos a 1 • n (^2) y a~.
El primer número se refiere a los tre s ejes cri stalo- gráfi cos a 1 • a 2 y a 3 : el seg und o número se refiere a las cuatro direcciones diagonales de s imetría ternaria (en1re los vértices de un cubo): el tercer número o símbol o (si lo hay) se refiere a seis direcciones entre las aristas de un cubo (véase Fig. 2. 101)
- La orien1xión iK."Cplada de In~ elemenlo' de simc:lría en dOl- clase.• crislalinas del si~1ema hexagonal no es direc1a. E.~a$ ~on 6m2 y 3m. La localización de lo~ ej~ senario o 1crciario e.• simple. Sin embargo. la localil.Oición del siguieme elemen1o de simetría no e.• obvia. En 6m2 el tercer ~ímbolo (eje' de rb1aci6n binaria) coincide con la.~ JlC'llCndi - cu larc ' a ''1· a2 y 11_1. ias m coinciden con C•la' mi sma.' direccione.•. En 3m la..• m ~e locali~n en direccione-' pcrpendicularc~ a (^11) 1. 02 y 11~. - a
e
iJ -e FI CURA 2.54 Ejes de un cristallriclínico.
al orientar un cristal triclínico para determinar la posición de lo s ejes cr istalo gráfi cos, son: ( 1) La razón más desarrollada se toma como la vertical. El eje de esta zona se co nvi erte de esta man era en el eje r. (2) El ( 0011 debe inclinarse hac ia de- lant e y a la derech a. <3) En la zona venical se deben selec-
cionar dos formas: una co mo { 1001 , la otra como 1 O 1 O). Las
direcciones de los ejes a y b se de terminan, respec ti vamente.
por l;~ s in1 er~cccio n cs de 1 O 1 O} y ( 100 J. con { 00 J }. El ejt! b
debe se r má s largo que el eje a. Al dar el informe cristal ográ - fico de un nuevo mineral tri c lfnico, o de uno que no haya si do hallado en la literatura peninente, la convención que debe seguirse es c<a<b. La s longitudes rela ti vas de los tre s ejes y los ángu los entre e ll os únicamente puede establecerse
por técnicas de difracción de rayos X. Los ángulos entre los
extremos positivos de b yc, e y a, y a y b, son designados res-
pec tivam e nte, como a. f3 y y( véase Fi g. 2.54).
1
Sim e tría-í. La simetría consiste en un eje monari o de in- versión rotatoria. que es equivalente a un centro de s im etría o inve rsión(¡). La Fig. 2.55 ilustra un pinacoidc triclínico (o paraleloedro) y su estereograma. La clase se denomina pina· coidal y su forma general es 1 hklj. Forma s. Todas las f<Jrmas so n pinacvides y se compo - nen así de dos C<l r< • ~ ~c lllcjanLcs y paral e la s. Una vez ~e
2.7 LAs TREI NTA Y DOS CLASES CR ISTALINAS 73
FI GURA 2.55 Pinacoide triclínico (o paraleloed ro) y este- reograma.
ha orientado el c ri stal, los índice s Mill er de una cara cris- talina establecen su posición.
- { 100}, {O lO) y ( 00 1 }. Pin acoides. Cada uno de estos pinacoides corta un eje cristalográfico y es paralelo a los otros do s. El pinacoide frontal o pinacoide a ( 100} co rt a aJ eje a y es paralelo a Jos otros dos; el pinacoide lateral o pinacoide b {O 1 O} corta al eje b; el basal o pinaco ide e {001} corta al eje c.
- {Ok/}, (hOI), y ( hkO). Pina coides. La forma {Okl} es
paralela a a y puede ser po sitiva (Ok/). o negativa {Okl};
la forma (hOL} es paralela a b, {hO!j positiva y (hOI} ne-
gativa; la { hkO} es paralela a e, { hkO) positiva y l hkO 1
negativa.
- { hkl} Pina coides. {hklj po sitivo derec ho , {hklj posi ti - vo izquierdo, (iiklj negativo derecho, {hklj neg ativo iz- quierdo. Cada una de estas for mas de dos caras puede existir ind ependientemente de las ot ras. Pueden estar presentes varias combinaciones de lo s pina - co ides anteriores, como se ilustra en la Fi g. 2.56.
FICURA 2.56 Pi nacoides triclínicos (o paraleloed ros). {a) Frontal (1001, lateral (0101 y basal 10011. (b) 10111 positivo, (Oll) negativo. (el 11 011 positivo, 11 Oll nega- ti vo (d) f 1101 positivo, 11 lO/ negativo. (e) CuJtro for- ma s diferentes.
(.¡)
.,..,--~ / /^ o T ' '- / 1
1 ... 1 ', 1
..... i- '..... 1
1 1 ....... ..... b 1
' 1 ..... 1 \ 1 1 '. aA • / ' (^) ......._ --,_,//
Entre los minerales que cristalizan en la cla se pin acoida l
í encontramos:
ambligonita calcantita microc lina pectolita plagioclasas (fe ld es pato s)
polihalita rodonita tu rquesa ulexjta wollastonita De los mineral es arriba mencio nados solamente la mi- croclina, rodoni ta y calcantita se encuentran de ordinario en cristales bien formados (Fig. 2.57).
1
Simetr ía. Só lo ex iste un eje de rotación monario , lo que equi va le a no poseer si metría. La Fig. 2.58 mu estra un pe- dión (o monoedro) triclínico y su estereograrna. Esta clase se llama pedial, debido a su forma { hkl}. Forma s. La forma general { hkL ), así como toda s las de- más formas, son pediones (o monoedros) y por tanto cada cara es tá sola.
!bl (C)
(CI)
2.7 LAS TREINTA Y DOS CLASES CRISTAUNAS 75
2/m (^) / -- ""' / o o "
1 \
1 \
1 \
e ~ 1 -- -- - --- T \ 1
\ 11
. (^) ...... • a • (^) / / '- --/ (a)
(b)
FIG URA 2.60 (a) Eleme ntos de si me tría para 2/m. (b) .Prisma monoclínico lhk/1 y su este reograma.
Aunque la direcc ión del eje b viene fij ada por la s im e tría.
la s que s irven para los ej es a y e so n cuestión de elección y
depen den del hábito c ri stalino y de la exfol iació n. Si los cri- tales mues tran un desarrollo alargado (hábito pri s máti co) pa- ralelo a una dirección en el plano a-e, tal dirección se usa a menudo como eje c. Por otro lado, si hay un plano o planos de pendiente acentuada, co mo los planos e o r en la Fig. 2.62, el ej e a puede tomarse paralelo a éstos. Es muy posible qu e pu eda haber dos o más orie ntaciones igualmente buena s, pero en la desc rip c ión de un nu evo mineral es convencional
orientar los cristales de mod o que e< a.
La exfo li ación es también un fac tor importante para orientar un cristal monoclíni co. Si existe una buena exfolia- ción pina co id al paral e la al eje b, como en la o rt oclasa, se la toma us ualmente como la ex foli ación bás ica. Si hay dos di- recciones de exfoliación equivalentes, co mo en los anfiboles y piroxenas, se la s considera normalm e nte como exfolia- ciones verticales pri smáticas.
2/m
Sim e lría - i, 1 A 2 , 1m. El eje de rotación binaria se elige co mo eje b y los ejes a y e se encuentran en el pl a no especu- lar, qu e es pe rpe ndi c ul ar al eje b (Fig. 2.6 0 a). El estereogra- ma de la Fig. 2.60b mue s tra la simetría de un pri sma { hkll ó
form a genera l. Como el eje a se in c lin a ha cia abajo y hac ia
el frcm e, no está situado en el plano ecuatorial y el ex tremo
po s iti vo corta la esfera de proyección en el hemi sferio sur (pa ra un a ex posición más amplia véase "Proyecc ión de un cris tal mon oc líni co" pág. 61 ). Esta clase se denomina pris- mática, porque la forma general {hkfl es un prisma. Formas. No ex isten más que dos tipos de forma s en la clase pri s máti ca del sistema monoclínico: pina eo ides (paraleloedros) y prismas.
- Pinacoides. (Véase Fig. 2.61) Pinacoide a ó frontal
{ 100 L pinacoide b ó lateral {O 1 O} y pinacoide e ó basal
{001 j. Existen también pinacoides {h0/1 y {hO/} ; esto s dos pinacoides son ind epe ndi e ntes entre sí y la pre sencia de uno de e llo s no imp li ca la presencia del otro (véase Fig s. 2.61 y 2.62).
- Prismas. En el sis te ma mon ocl íni co el prisma de cuatro caras es la forma gene ral { hkl) ; las form as especiales
{ Ok/1 y { hkO 1 son también pri s mas. El pri s ma { Okl) corta
lo s ejes by e y es paralelo al eje a. La forma general pue- de presen tarse como dos pri s ma s independientes {hkfl y {hkl). Los pri smas se ilu stran en las Figs. 2.6 1 y 2.62. La única form a monoc línica fija es el pina coi de late-
ral {O 1 O 1. Las otra s formas pueden variar con la e le cc ión
de los ejes a y c. Por ejemplo, el pinacoide fr o ntal { 100} , el basa l { 00 1 /,y los pinac oi de s { h0/1 pu eden co nvertirse un o en o tro por uu a rota ción a lrededor del eje b. De la mis ma manera. lO!: t re~ pri s n1 as pueden ca mbi arse de uu a pos ic1ón a orra.
76
Pinacoides (o pMaleloedro s) Fronta i iiOOL lateraiiOlOI ybasaiiOOll.
Combi'1,ación de pinacoides 11011 ,11011 y 10101.
CRISTALOGRAFÍA: FORMA EXTERNA
Pinacoides (o para leloedros) 11011 o llOll combinados con prisma 11101 y pina<.:oide basal [001 J.
Combinación de prisma 1111} o lllll y pris ma 11 1 O}, y pinacoide basal 100 1 J.
Combinación de prisma 101 11 y pinacoide 11 00}.
,. ¡ t
ÍOI
fi GURA 2.61 Fo rm as comúnmente desarrolladas y combinaciones de forma en 2/m.
Muchos minerales cristalizan en el sistema monoclí- nico, clase prismática; algunos de los más comunes son:
azurita bórax caol init a clinoanfibol (grupo) cl in opiroxeno (grupo) clorita datolita ep i dota es pot.lu mena
heulandita malaquita mica (g rupo) oropime nte ortos a rejalgar ta lco ti ta oita yeso
m
Simetría-1m. Sólo existe un plano especular vertical (0 1 0) que incluy e los ejes c ri sta lográfi cos a y c. La forma ge-
neral (lzk/1 en esta clase es el domo (diedro). La Fig. 2.
muestra esta forma y su estereograma. Esta clase se denomi- na domótica. Formas. El domo es un a forma integ rada por dos caras si métri cas co n respecto a un plano principal, mientras que el esfenoid e es lo mi smo co n respecto a un eje bin a- rio (Fig. 2.64). Existen dos posibles orientaciones ind e-
pe nd ienle s del domo 1 flkl) y 1 Tikll. La forma 1 O 1 O 1 es un
- ,.^ ' ' 78 CRISTALOGRAFÍA: FORMA EXTERNA
/-----, / • o "" /
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\ 1 1
\ 1 1 \ 1 / ' (^) ......._ (^) ..._.,- a o ___.,• (^) .//
FsCURA 2.64 Esfenoide monoc líni co (o diedro) lhkll y su estereo· grama.
Formas. Con la ausencia del plano de simetría a -e, el eje bes polar y se presentan formas diferentes en sus ex- tremos. El pinacoide {O 1 O} de la clase 2/m se transforma en dos ped iones, (010} y {OTO). De manera aná loga, los prismas (Okl}, { hkO} y ( hkl} en 2/m degeneran en un par de esfenoides enantiomorfos. Un esfenoide es una forma de dos caras simétricas co n respecto de un eje binario b, mientras que un domo son dos caras simétricas con res- pecto de un plano. La forma general, el esfenoide, es enan tiomórfi co con los índices de Mill er { hkl) y { hkl). Lo s minerales de la clase esfenoida! son raros , pero los principales entre ellos son los mi e mbro s del grupo isoestructural de la halotriquita, de los cuales el más co - rriente es la pickeringita, MgA1 2 (S0 4 ) 4 ·22H 2 0. Véase Tabla 2.1 O para una relación de formas en el sis tema monoclíni co.
2.7.3 Sis tema ortorrómbico
Ej es cris talog ráficos. La s formas de las clases cristalinas en el :-i slcma onorrómbico se re fieren a tre s ejes c ri sta lo gráli- co~ tle distinta longitud , que forman ángulos recios entre sí lvc;t-.c l ~ i g. 2.ó5n). La " lon g iLUd cs relativ as de los ejes, o las
relaciones axiales, deben determinarse para cada mineral ortorrómbico. Para orientar un cristal onorrómbico, la con-
venc ión es s itua r el cristal de modo que e < a <b. En el pasa-
do, si n embargo, esta regla no se obse rvó necesariamente, y es costumbre aceptar la orientación dada en la lit eratura per- tin e nte. Se encuen tra , por lo tanto, que cualquiera de los tres ejes pueden haberse escog id o como el c. El más largo de los otros dos se toma e nt onces como b, y el más corto, como a. La decisión sobre cuál de los tres ejes debía seleccio narse como eje vertica l se basaba , principalmente, en el hábito cris talin o del mineral. Si sus c ri sta les mos traban us ualm ente un alargamiento en una direcc ión, esta dirección se escogía normalmente como eje e (véase c ri stales de topacio en la Fig. 2.66). Si, por otro lado. el cristal mostraba una pinacoide prominente y, por consiguiente, era tabular, este pinacoide
se tomaba us ualmente como {001}, con e normal a él (véase
cristales de barita y celest ita en Fig. 2.66). La exfoliación también servía de ayuda para orientar los cristales ortorrórnbicos. Si , corno en el topacio, el cristal te- nía exfoliación pinacoida l, se tornaba como {00 1 }. Si, como en la barita, había dos direcciones equivalentes de exfo li a- ción, se establecían verticalmente y s us aris tas de interse c-
ción determinaban c. Después de que la orientación haya
s ido determinada, se toma como unidad la longitud del eje escogido como b, y las longitudes relativas de a y e se expre- san en términos de esta unidad. La Fig. 2.65a representa los ejes cristalográlicos del sistema onorrómbico. En la nota c ión Herrnann-Mau g uin para el sistema onorrórnbico, lo s símbo los se refieren a los elementos de si- metría en el orden a, b, c. Por ejemplo, en la clase mm2, lo s ejes a y b están en planos de simetría verticales y e es un eje de simetría binaria.
2/m2/m 2/m
Sime tría-i, 3A 2 , 3m. Los tres ejes cristalográficos so n ejes de simetría binaria y hay un plano de s imetría perpendi - cu lar a cada uno de ellos (Fig. 2 .65 b). La forma general, bipirámide rómbi ca ( hkll , y su esrereograma se mues tran en la Fig. 2.65c. Esta clase se denomina rómbica-bipiramidal. Formas. Exis ten tres tipos de formas en la clase rómbica bipiramidal : pinacoides, pri s mas y bipirámid cs. l. Pinacoidc (paraleloedro). El pinacoide, formado por do s caras parale las , puede presentarse en tres diferentes
orie nta ciones c ri stalográficas. Estas son: { 100 l. pina -
coide a o frontal , qu e co rta el eje a y es paralelo al by e; fOIOI pinacoid e b o late ral. qu e cor ta el eje h y es para
lelo a a y e: y 10011. pina coidc e o ba s al que corta el CJC
('y es par:tl e ln a a y h (v6ts e Ft ¡.!. 2 .M ).
2.7 lAS TREI N TA Y DOS CLASES CRISTALINAS 79
2/m2/m 2/m
+e
-b -a +b
+a
-e (al
lbl
b (^) m
a
te) (á¡
fi GURA 2.65 (a) Ejes del cristal ortorrómbico. (b) Ejes de rot.ación y planos de simetría en 2/m2/m2/m. (e) Si pirámide rómbica !hkn y su estereograma. (d) Un cristal de hi perestena (un miembro de la serie de ortopiro xen os) mostrando la bipirámide rómbica, o.
- Prismas r6mbicos. Lo s pri smas rómbi cos co nstan de cuatro ca ras que son paralelas a un eje y co rtan a los otros dos. En el prisma { Okl) las caras son parale las a a~ pero cortan a b y e; en el pri sma (h0/1 la s caras son paralelas
a b, pero co rtan a a y e; y en el pri s ma ( hkO 1, las caras
son paral e las a e, pero cortan a a y b. En la Fig. 2.66 se dan ejemplos de prismas {01 1 1. { 1011 y ( 110}. Com o todos los prismas cortan a do s ejes y so n paralelos a lter- cero, un pri s ma pued e tran s form arse en ot ro med ian te un a diferente elecc ión de ejes.
- Rómbico bípíramidal lh k/1. Una bipirámide rómbica tiene ocho caras tri angu lare s, cada una de las c uales corta a los tres ejes c ri s tal ográficos. En la Fi g. 2.66 se mu estra
una ilustración de la bipir ámide unitaria ( 111 J.
Combinaciones. Prá ctica me nte todos los cristales onorrómbicos se componen de dos o más forma s. En la Fig. 2.66 se indican combi naciones características de las diversa~ forma s. Hay mu c hos min e ral es represe ntantes de es ta clase. Entre los más co mun es cst:ín los sig ui e ntes:
1.7 lAs TREI NTA Y DOS CLASES CRIS TALINAS (^81)
mm
/ /^ ---. 1 1
1 1 \ \ - '
' • "'-
\
e \ b 1 1 1
- (^) / / ....... _ (^) /
- H^ cmimorfll~ (a)
1 o (b)
FIGURA 2.67 (a) Pirámide rómbica lllk /1 y su es tereograma. (b) Un cristal hemimorfita mostrando una pirámide rómbica {llk/1 (extremo inferior, v)
Sólo un os poco min erales c ri sta li zan en esta cla se; los re- prese nt antes más co rri entes son la he mim orfi ta, Zn 4 Si20 7(0H h · H20 (Fig. 2.67) y la be rtran dit a, Be 4 Si 20 7 (0Hh.
222
Simetría- 3A (^) 2• Tien e tres ejes de s im etr ía bin aria qu e co in- c id en c on los ej es c ri stalog rá fi cos. No ex isten pl a no s ni ce n- tro de s im etría. La Fi g. 2.68 mu estra la fo r ma general ( hkl 1 , bi es fenoide ró mbi co (tetraedro ró mbi co) y el estereograma del bi esfeno ide derec ho. Esta clase se den omina biesfenoidal rómbica. Formas. El biesfeno ide rómbico (retraedro rómbico) se compone de cuatro c aras, dos en el hemi sferio s upe -
ri or y dos en el infe ri or separadas 90 °. Se parece al bi es-
222
lzqwerclo
fenoide tetragonal, pe ro cada ca ra es un tr iá ngu lo escaleno, mie ntras que en el biesfenoid e tetragonal cada cara es un triáng ul o isósceles. Ex isten dos biesfeno id es. El derec ho {hkll y el izqui erdo {hk/) son fo rm as enan- tiomorfas (Fig. 2.68). Los pinacoides y los pri smas pu e- den es tar presentes en esta clase. Aunqu e existen var ios min erales qu e cri sta li za n en es ta clase, todos e ll os son rela ti va me nte raros. El más co- rr ie nt e es la epso mit a MgS 0 4 · 7H. En la Tab la 2. 1 Opu ede verse un a relac ión de las for- mas en el sistema ortorrómbi co.
Re laciones axia les ortorrómbicas Pa ra ex presar las long itud es re lati vas de los ejes en el siste- ma ort orró mbi co, se e mpl ean dos relac iones a : b y b : e, en
/ -^ -+-^ - " // • 1 o " 1 1 \
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\ 1
\ 1 1 ' , o 1 • // '-- t -,t ./'
fi GU RA 2.68 Formas e nanti o rnorfa ~ del biesfe n oide ró mbi co (o tetraedw rómhico) lll k/1. i7quirrcio y dc>rrr ho, y c·~lt're ogr ,lf11 , 1 de 1 ,1 (() rm ,l de l(' e ha.
- 1 (^82) CRISTALOGRAF{A: FORMA EXTERNA
fiGURA 2.69 Ilustraciones de medidas angul ares en un cálculo de relación axial utilizando la cara (132) en el si stema ortorrómbico.
/ ;¡
donde la lon gitud de b se toma como unidad. Se expresan como a : b : e= - : 1 : -, y pueden calcularse utilizando los ángu los q> y p. Como ejemplo, consideremos la cara de una forma gene- ral ABC, Fig. 2.69. Supongamos que se trata de la cara ( 132) del aragonito con q> =28°11 ', p =50°48'. OP es la cara nor- mal y OD es normal a AB. Por consiguiente, el ángulo BOD es q> y el ángulo COP es p. Reduciendo los índices ( 132) a intersecc ion es, encontramos que AO = 6a, OC= 3e y 08 = 2b =2, puesto que b = l. A partir de aquí, podemos hallar a (véase Fig. 2.69) mediante la expres ión
cotg q> = 6a - 2b o^
_ b cotg q> a - 3
b = a^ =^1 x^ cotg^28 o^ 11' 3
a = 0,
En el lriángulo COD (Fig. 2. 69c}, tg p = 3c/OD. En el triángulo BOD, cos 1/J = OD/2. Despejando OD qu eda,
3c OD = - tg (^) p = 2 cos q> o e^ =^2 tg^ p^ cos^ q> 3
Sustituye nd o por los valores q> y p de la ca ra ( 132) ,
e = 2 tg 50 ° 48~ cos 28° 11' = o. nos
2b
e
A
b
e
" ~''"'"
o o
(C)
Utilizando lo s índices de Miller h. k y 1 en vez de la s in- tersecciones, lo s valores de a y e relativos a b se obtienen empleando la s fórmulas: a= hlk cotg q> y e= llk tg p cos ~· Los cálculos crista lo gráficos impli can, en g~neral, las si- guientes variables: ( 1) relaciones axiales, (2) índices, y (3) ángulos 1/J y p. Cuando se conocen dos de estas variables, la tercera puede ser calculada uti li zando las fórmulas anter io- res. Los ángulos q> y p pueden obtenerse a partir de los ángu- los interfaciales. Por ejemplo (Fig. 2.70a), el ángulo entre b (0 1 0) y otra cara, como m en la zona [00 1], es el ángulo q> de
m. Olras caras, como p y o, situadas en la mi sma zona hor i-
zontal con m, tamb ién tienen b 1\ m como ángulo q>. Cuando
e (001) está presente (Fig. 2.70a) lo s ángulos p defy o son,
respectivamente, e 1\fy el\ o. Cuando (0 1 O) y (001) no están
presentes (Figura 2.70b), los ángulos q> y p deben ser calcu-
lados a partir de los ángulos interfaciales. Por ejemplo, 1/Jm = 90°- _(m 1_ m')/2; y pf = (j 1\f)/2.
2.7.4 Sistema tetragonal
Ejes cris talográfi cos. Las formas de l sistema tetragona l se refieren a lo s tres ejes c ri sta lográficos que forman ángulos rec tos entre sí. Los dos ejes horizontales, a, son igual es en longi tu d y por consiguienre int ercambiable s, pero el eje ve r-
tical, e, es de diferente tamaño. La Fi g. 2. 7 1 a rep rese nta los
ejes c ri s tal ográficos del min eral te tra go nal zi rcón, donde e
Pr isma {1 101 y pinaco ide { 00 11.
11111
e
m (^) " m "
Vcsuvian•la
CRJSTALOCRMIA : FORMA fXTfRNA
Prismas tetragonales
11 1
1 il 1 il
1 1 --:--; 1, ..r 1 :.: : 1 10011 0 10 (^11 )
Prisma {010 1 y pin acoide 100 11.
Bipirámides tetragonales
{
Cristales tetra go nales
ii"o
Formas: e 10111. u 10211. e 10011. aiOIOI, m 11101. x 12111. En es1a iluslración los rndices de Miller para las forma s es1án basados en el co- nocimiento de la orientación de la celda un itaria. Si las formas se de· nominan en base a la morfología. e seria 11111. il lll 01 y u 12211.
fi GU RA 2.73 rorm ,l S comúnmente d csa no lladi!s y combinaciones de lormils en 4/m2/m2/rn.
001 ..::. • 1
i 1 '·1 ' ,.. :: (^1) : (^). (^1 ). : !~-+ (^) :,,.1,4-11---11:J 1 ' • •
:21o 210 120-1 20
(^11 ) : '._ .... : 1 11 ¡ 1 -1'-.L - Pr ismo 11201 y pin acoi de {00 11.
11311
2.7 LAS TR EINTA Y DOS CLASES CRISTALINAS 85
42m
(a)
/ 1
__ _1 __
/ • l o" 1
1
1 o
e_ __ -P-
I • 1
-1---- \ o
\
(b)
(e)
1 / o 1 • /
1 a,
FIGURA 2. 74 (a) Ejes y pl anos de simetría para 42m. (b) El escale- noedro tetragonal (o escalenoedro rómbico) lhkl} y su estereograma. (e) Bi esfe no id es tetragonales lhM y lhhfl (también llamado tetraedro tetrago nal ) y una co mb inación de los dos tipos.
diferentes re laciones con lo s ejes hori zontales. Una for- ma corriente, representada en la Fig. 2.73 ti ene los índi - ces { 1 201.
- Bipirámides tetragona les { hhfl y {Okl}. La bipirámide { hhl} tiene ocho ca ras triáng ul os isósceles, cada una de las cuales corta a los tres ejes cristalográficos, a igua l di s- tancia en los dos ejes hori zo ntales. Ex isten varias bipirámides de prim er o rd en, según s ea la inclinación de sus c ara s con res pe c to a c. La bipi rámide un itaria { 111 1
4mm
J¡
fi GURA 2.75 Pirámide bitetragona l{hkfl y su estereog ra ma.
(Fig. 2.73) que co rt a a todos los ejes a di s tan cia unidad , es la más frec ue nte. Índ ices de otras bipirámides de pri -
mer o rden so n { 22 1 }, { 33 1 }, { 11 2}. { 113 J, etc., y en ge -
neral, (hhl}. La bipirámide (Okl) se compone de och o caras tri ángulos isósceles, cada una de las cua les corta a un eje horizontal y al eje vertical y es paralela al segu ndo eje ho rizontaJ. Exi sten var ias bipirámides con diferentes intersecciones en el eje vertical. La más frecue nte es la bipirá mid e unidad {O 11 } (Fi g. 2 .73 ). Otras bipirámides tienen ín dices de Mill er {021}, {03 1 }. {012} , {0 1 3}, y, en general { Okl}. S. Bipirám ide bite tragonal { hkl). Compuesta de 16 caras triang ul ares, cada un a de las cuales corta a los tres ejes cristalográficos, cortando a los dos ho ri zo nta les a di s tan - cias diferentes entre sí. Hay var ios ti pos de bip írá mide bitetragonal, dependiendo éstos de la diferente intersec- ción con los ejes cristalográficos. Una de las más corrien - tes es la bipirámide { 131 }, que pu ede verse il ustrada en la Fig. 2.73. Mu chos min e ral es corrientes c ristalizan en la clase 4/m 2/m21m. Lo s princ ip ales representantes son el rutilo (Ti0 2 ), anatasa (Ti0 2 ), cas iterita (S n0 2 ), apofilita (KCa 4 Si 8 0 20 (0 H, F) · 8H 2 0 , zirconio (ZrSi0 4 ) y vesu - vianita (Ca 10 Mg 2 AI 4 (S i0 4 )s(S i 2 07h(OH) 4 ). Combinaciones tetragonales. En la Fig. 2.73 tene- mos combinaciones características encontradas en crista- les de di fe rentes min e rale s tetragonales.
42m
Sim etría- A 4 , 2A 2 , 2 m. El eje e es un eje de rotoinversión
cuate rn aria y los dos ejes a son ejes de rotación binaria. A
45 ° con los ejes a existen dos planos de simetría verticales qu e se cortan en el eje ve rti cal ( Fi g. 2.74a). La Fig. 2.74b
2.7 LAs TR EINTA Y DOS CLASES CRISTALINAS 87
4/m
Fergusonila
FIGURA 2.77 Bipirá mid e tetragonal lhkl) y su estereogram a. En sí misma, esta forma posee una alta sime tría. En el cristal de fergusonita la prese ncia de esta forma (z) reve la la simetría real , 4/m.
4 1 ,.,--T--...... / /^. '-'
1 1
(^1) 1 o
1 1 -~-- -+ - - ---: ~ \ o 1 1 \ 1 \ 1 / ' (^) '- 1 • (^) / / '--..L-/,a,
FIGURA 2.78 Biesfeno ide tetragonal (o tetraedro tetragonal) lhkn y su estereograma.
{ hkl} (Fig. 2.76) e izquierda { hkl). Las de más form as que pu eden presentarse son las mi smas que en 4/m2Jm2/m. La fosgenita Pb 2 C0 3 CI 2 es el único mineral represen- tati vo de esta clase.
4/m
Si met r ía- i, 1 A 4 , 1m. Hay un eje de simetría cuaternario, con un plano de simetría perpendicular a él. La Fi g. 2. ilustra una bipirámide tet r agona l y su estereograma. Esta clas e se denomina bipiramidal tetragonal, seg ún la forma ge neral { hkl}.
Forma s. La bipirámide te trago nal ( hkl} es un a forma de oc ho ca ra s qu e posee cuatro ca ra s superiores situadas
directamente enc im a de cuatro caras infe ri ores. Esta for - ma pura parece tener una sime tría superior y tiene que es- tar combinada con otras forma s para revelar la ausencia de plan os de simetría verticales. Pueden es tar present es
el pinacoide basal ( 00 1} y los pri s mas te tra go nale s
{ hkO}. El prisma tetra go nal 1 hkO} es equivalente a cua-
tro caras altern as del pr isma di tetragonal y se presenta en aq ue ll as clases que no tienen pl anos de s ime tría vertica - les o ejes de simetría horizontales binarios. Los minerales representativos de esta clase son: sche - e lita (CaW0 4 ), powellite (CaMo0 4 ), la fergusonita (Y Nb0 4 ) y mi embros de la se rie esca polita (Na 4 AI 3 Si 90 24 CI a Ca 4 A1 6 Si 60 24 C0 3 ). La Fig. 2.77 ilu s- tra un cristal fergu so nita en el c ual la bipirámide tetrago- nal z revela la s im etría real de esta clase.
Simetría -1A 4 • El eje ve rti cal es un eje c uatern ar io de in - versión rotatoria. No hay otra s imetría. La Fig. 2.78 muestra un biesfenoide tetragonal y su este re ograma. La clase se de- nomina biesfenoidal letra go nal. Forma s. El biesfenoide tetragonal (tetraedro tetrago- nal) ( hkl} es una forma cerrada comp uesta de c uatro tri á ngul os isósce les. En ausencia de oLras ca ras modifi - cantes , la forma parece te ner dos planos de simet ría ver- ticales, que dan lugar a la s im etría 42m. La verdadera simetría só lo se mue s tra en combinación con otras for - mas. El pinacoide y los pri s mas te tragon al es pu eden estar prese ntes. Otro; bi sfeno id es te tr ago na les son: { hhl} y
1 Okl}.
88 C RISTA LOG RAFÍA : FORMA EXTERNA
Wulfenira
f iGURA 2.79 Pirámide tetragonal lhkll y su estereograma. Los cristales de wulfenita muestran esta forma (n) con- gruente con la clase 4.
X>f:lJ.;· .•::.:~t ' .; i-!:,
Clase Número de caras Nombre de la fo rma 4 4 4/m 422 4mm 4 2m 4/m2/m2/m Forma única^ pa^ ra
(^1) Pedi ón (^) + + 2 Pinacoide (^) + + + + + 4 Prisma tetragonal (^) + (^) + + + + + + 4 Pirámid e tetragonal (^) + + 4 Biesfenoide tetragonal (^) + + 8 Prisma ditetragona l (^) + + (^) + + 8 Bipirámide tetragonal (^) + + + + 8 Trapezoedro tetrago nal (^) + 422 8 Escalenoedro te trago nal (^) + 42m 8 Pirámid e di tetragonal (^) + 4mm 16 Bipirámid e ditetragonal (^) + 41m2/m21m
- De Buergcr. M. J. 19 56. Elcmeul<trl' Cryswfln/lmpily. Joh n Wiley and Sonds. N.Y. 528 págs.
El único min e ral representante de esta cla se es el mi - neral raro cahnita Ca 2 B(As0 4 )(0Hk
4
Sim etría- 1A 4 • El eje vertical es de simetría cuaternaria. No ex isten pl anos ni centro de simetría. La form a general ( hkl}, una pirámide tetragonal y su estereograma se mues- tran en la Fig. 2.79. Esta clase se denomina tetragonal pira- midal, según la forma gene ral { hkl}.
Formas. La pirámide tetragonal es una forma de cua- tro ca ras. La fo rm a s up erior {hkl} es dife ren te de la inre-
rior ( hkl} y cada una de e ll as tiene su variante derecha e izqui e rda. Ex isten así dos pares enantiomorfos de pirá- mides tetra go nales. Otras pirámides tetra go nal es son { hhl} y ( Okl}. El pedión y prisma tetragona l también pueden presentarse aquí. Como en otras clases, la verdadera simetría no se muestra morfol óg icamente, a menos que la forma ge ue- ral se presente en combinación co n otras forma s. La Fi g. 2.79 represen ta un cristal de wulfenita, PbMo0 4. No se conocen otros minerales que crista li cen en esta clase. Véase en la Tabla 2. 11 una relación de forma s del sis- tema tetragonal.
.'
