calculo integral eje 4, Ejercicios de Cálculo

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Calculo Integral

Actividad evaluativa eje 4

Grupo # 42 Meyer Mora

Grupo # 42 Omar Daniel Duque Ortiz

Grupo # 43 Gustavo Novoa

Grupo # 41 Daniel Ordoñez

Bogotá DC.

Septiembre de 2019

Introducción

El propósito principal de este trabajo es mostrar un estudio de series, mediante

el planteamiento de situaciones problemáticas, y se busca construir

significados personales acerca de los objetos matemáticos, como las series

convergentes y divergentes, así como la series de Maclaurin y diferentes tipos

de integrales dobles y triples.

Ejemplo 3

Determine si la sere

n = 1

∞

n

(

n

2

2 n

2

+n

)

n

es convergente o divergente.

Solcuión:

lim

n → ∞

n

√

|

n

(

n

2

2 n

2

• n

)

n

|

lim

n → ∞

n

2

2 n

2

+n

lim

n → ∞

n

2

n

Por el criterio de la raiz, la serie

n = 1

∞

n

(

n

2

2 n

2

+n

)

n

converge

Determinemos si la sucesión de sumas parciales converge:

lim

n → ∞

S

n

lim

→ ∞

(

n+ 1

)

Por lo tanto, la serie

n = 1

∞

n(n+ 1 )

converge a 1

Ejemplo 4

Determine si la sucesión cuyo término enésimo es

a

n

n ³

3 n+ 7 n ³

converge o

diverge.

En este caso, bastaría con calcular el límite. Observe que tanto el numerador

como el denominador tienden a infinito cuando n tiende a infinito, pero si se

divide el numerador y el denominador entre

n ³ se pueden aplicar los teoremas

de límites y resulta:

lim

n → ∞

n ³

3 n+ 7 n ³

lim

n → ∞

n ²

lim

n → ∞

lim

n →∞

n ²

• lim

n→ ∞

Por lo tanto como el limite existe, la sucesión es convergente a.

Ejemplo 5

Determine si la sucesión cuyo término enésimo es

a

n

3 ln n

eᶰ

converge o diverge

Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando

n tiende a infinito, pero no se puede aplicar la regla de L’Hopital a una

sucesión.

Sea

f ( x )=

3 ln n

eᶰ

, con x >0 (a la función x si se le puede aplicar la regla).

lim

x→ ∞

3 ln n

e

x

lim

x →∞

x

e

x

lim

x→ ∞

xe

x

Como f ( n)=a

n

se tiene que el

lim

x→ ∞

3 ln n

e

x

y la sucesión es convergente y

converge a 0.

Series matemáticas divergentes

Ejemplo 1

Estudiar el carácter de la serie

a

n

de termino general

a

n=

n!

( a+ 1

) ¿

(a + 2 ) …(a+ n)

Solución:

Aplicamos el criterio del cociente:

lim

n!

( a+ 1 ) ¿

( a+ 2 ) … ( a+ n) ¿.

n! ( a+ 1 ) ¿ ( a+ 2 ) … (a+n)

( n− 1 ) ¡

n

a+n

El criterio no permite decidir sobre la convergencia de la serie por lo que

aplicamos el criterio de Raabe:

Dado que el limite es finito y positivo y la serie

n = 1

∞

√

n

diverge, por el criterio por

comparación en el limite

n = 1

∞

n

3

• 2 √n

√n

7

diverge

Ejemplo 3

Determine si la sucesión cuyo término es

a

n=

n

5

• 4

ln (n

2

• 2 )

converge o diverge.

Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando

n tiende a infinito.

Sea

f

x

n

5

ln( n

2

, x> 0

lim

x→+∞

x

5

ln( x

2

lim

x → ∞

5 x ⁴

2 x

x

2

= lim

x →∞

5 x ⁴ ( x¿¿ 2 + 2 )

2 x

lim

x →∞

5 x

6

• 10 x ⁴

2 x

lim

x→ ∞

30 x

5

• 40 x ³

Como

f ( n)=a

n para

n ≥ 0,

se tiene que

lim

n →∞

n

5

ln ( n

2

=+∞ por lo tanto la sucesión es

divergente.

Ejemplo 4

Determine si la serie

n = 1

∞

n

n

es convergente o divergente

Observamos que 0<

n

n

y 0<

(

)

n

n

n

n

n

(

)

n

La serie

n + 1

∞

(

)

n

por el

criterio de comparación resulta que la serie diverge

Ejemplo 5

Determine si la serie es convergente o divergente.

Acotando inferiormente, se tiene que

ln ( x ) < x ∀ x > 0

ln ( n )< n

n+ ln ( n) > 2 n

2 n

n+ ln ( n )

❑

∞

n

❑

∞

n+ ln (x )

Luego como

diverge, entonces por el criterio de comparación, la serie

también diverge.

2. Encuentre la serie de Maclaurin de la función cosx

Demostrar que

cosx= 1 −

x

2

x

4

n

x

2 n

( 2 n )!

k= 0

+∞

k

x

2 k

( 2 k )!

( ∀ x ∈ R)

La fórmula de maclaurin de orden 2n aplicada a la función cos x proporciona la

acotación.

n = 1

∞

n

n

por lo tanto, diverge.

Es una serie geométrica de razón

❑

∞

n+ ln ( x )

❑

∞

n

❑

∞

n+ ln ( x )

La recta x= 0 representa al eje vertical OY, la recta x= 1 es la vertical (línea

verde en la gráfica). La recta y= 0 es el eje horizontal OX, mientras que la recta

y= 3 / 2 es la de color violeta.

El recinto cerrado (S) sobre el que se realiza la integral, es el cuadrilátero

rectangular en azul celeste.

Al momento de realizar la integración debemos fijarnos que la variable

(primera)

x varía entre los puntos 0 y 1, mientras que la variable (segunda)

y

varía entre las líneas:

y=0, y = 3 / 2

La integración es:

s

❑

( 4 −x

2

− y

2

) dxdy =

0

1

dx

0

3

2

( 4 −x

2

− y

2

) dy

En primer lugar se realiza la integral interior, en este caso la que es respecto a

y (considerando las x como constantes), aplicando a la primitiva la regla de

Barrow. Tras esto nos quedara una función dependiente de x que se integra y

se aplica Barrow:

0

1

dx

0

3

2

4 −x

2

− y

2

dy =

0

1

dx

[

4 y −x

2

y−

y

3

]

0

1

0

1

(

x

2

)

dx

[

x−

x

3

]

0

1

Hallar:

s

❑

( 1 +x+ y ) dxdy

Limitado por las líneas: (s)

{

y=−x

y =x

2

y= 2

El dominio (S) está representado en la gráfica, para realizar la integral sobre

este dominio, le dividimos en dos partes

S

1

y

S

2

. Podemos ver:

S

1

❑

( 1 + x+ y ) dxdy +

S

2

❑

( 1 + x+ y ) dxdy

Siendo

S

1

el triángulo (naranja) y

S

2

el lóbulo verdoso.

Los límites de integración para estos dos dominios son:

Dominio

S

1

x Varía entre los puntos:

x=−2, x=0. (Puntos extremo izquierdo – extremo

derecho)

y Varía entre las líneas: y=−x , y=2. (Líneas inferior – superior)

Dominio

S

2

x Varía entre los puntos: x=0, y= √

2. (Puntos extremo izquierdo – derecho)

y Varía entre las líneas: y=x

2

, y=2. (Líneas inferior – superior)

Por lo tanto:

Para la integral sobre

S

1

− 2

0

dx

−x

2

( 1 + x + y ) dy=

− 2

0

dx

[

y+ yx+

y

2

]

− x

2

− 2

0

(

x

2

• 3 x + 4

)

dx=

Para la integral sobre

S

2

0

√ 2

dx

x

2

2

1 + x+ y

dy=

0

√ 2

dx

[

y +xy+

y

2

]

x

2

2

− 2

0

(

−x

4

−x

3

−x

2

• 2 x+ 4

)

dx= 1 +

44 √ 2

La suma de los dos resultados será la integral pedida.

S

❑

( 1 +x+ y ) dxdy =

√

Hallar:

Donde (V) es el recinto limitado por las siguientes superficies:

En esta última integral hemos llamado k a la expresión constante: 1 −x

Finalmente, el resultado obtenido en esta integral, ( 1 −x )

3

se juntan a la

integral de x:

( V )

❑

xyz dxdydz=

0

1

x ( 1 −x )

3

dx=

Conclusiones

En este trabajo se llega a la conclusión de que las series, son parte importante

del cálculo, ya que con ellas se pueden llegar a resultados precisos que con

operaciones aritméticas no se pueden llegar.

Hemos aprendido como podemos resolver ciertos problemas matemáticos con

el uso de las sucesiones y series, ya que en áreas como física, química,

biología, computación y otras ramas de ciencias es necesario realizar

operaciones con sucesiones y series.

Las aplicaciones de las integrales dobles están estrechamente relacionadas

con estas dos ciencias exactas que son la física y la geometría ya que se

pueden analizar figuras y cuerpos simultáneamente en los ejes “x” y “y”

Bibliografía.

 [Integrales Dobles y Triples]. (s.f). Fundamentos de Matemáticas.

Recuperado de

http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateII15/T_integrales23v/

integrales23v.htm

 Profe, J. [julioprofe]. (2012, Junio 14). Integrales Dobles – Ejercicio 1.

[Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?

v=eu3CNA47KX