cadenas de markoc y su definicion, Apuntes de Investigación de Operaciones

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CADENAS

DE MARKOV

CONCEPTO

Una cadena de Markov es una forma de analizar el movimiento actual

de una variable a fin de pronosticar el movimiento futuro de la misma.

Conocido el estado del proceso en un momento dado, su comportamiento futuro no depende del pasado. Dicho de otro modo, “ dado el presente, el futuro es independiente del pasado”

PROCESO ESTOCÁSTICO : Es un conjunto de variables al azar

indexados que varían con el tiempo

Una cadena de Markov es un proceso estocástico incluye las siguientes características:

**_1. Existe un número limitado o finito de estados posibles

2. La probabilidad de que los estados cambien permanece igual a lo largo del_** **_tiempo
3. Se puede predecir cualquier estado futuro a partir del estado anterior y de la_** **_matriz de probabilidades de transición
4. El tamaño y constitución del sistema no cambian durante el análisis_**

EJEMPLO : Línea Telefónica

Sea una línea telefónica de estados:

Ocupado = 1

Desocupado = 0.

Si en el instante t está ocupada, en el

instante (t+1) estará ocupada con

probabilidad 0,7 y desocupada con

probabilidad 0,3.

Si en el instante t está desocupada,

en el (t+1) estará ocupada con

probabilidad 0,1 y desocupada con

probabilidad 0,9.

0 1 0, 0, 0, 0, Estado t+ Desocupado Ocupado Estado t Desocupado 0,9^ 0, Ocupado 0,3^ 0,

CASO: TIENDAS DE CADENA… Cierta ciudad intermedia cuenta con tres grandes almacenes de cadena. Alrededor de 100. personas visitan estas tiendas durante un mes determinado. De ellas 40.000 van de compras al almacén TRIUNFO. 30.000 personas compran en la tienda La 41 y 30.000 personas compran en la tienda FRESCA. TIENDA Probabilidad de que una persona se encuentre en cada Tienda Estado 1 TRIUNFO 0, Estado 2 LA 41 0, Estado 3 FRESCA 0, MATRIZ DE PROBABILIDAD DE TRANSICIÓN Pij : Probabilidad condicional de encontrarse en el estado j, en el futuro, si se encuentra actualmente en estado i P 12 : Probabilidad de llegar al esto 2 (en el futuro), dado que se encuentra en el estado 1 durante el periodo anterior. Son empíricas Adaptado de Métodos Cuantitativos para los Negocios. Render, Stair, Hanna. 9ª edición

PRONOSTICO DE PARTICIPACIÓN EN EL MERCADO PARA EL PERIODO 1 Las probabilidades del periodo 1 pueden obtenerse mediante 0,8 0,1 0, 0,4 0,3 0,3 * 0,1 0,7 0,2 = 0,41 0,31 0, 0,2 0,2 0, Los resultados muestran que las tiendas TRIUNFO y LA 41, aumentarán su participación en el mercado, mientras que FRESCA la disminuye (0,3 pasa a 0,28) EN GENERAL : Las probabilidades en el estado i se obtienen mediante el producto de la matriz de probabilidades en el estado (i-1) por la Matriz de Transición: P 1 = P 0 * P

CASO: FUNCIONAMIENTO DE MÁQUINA Alexander, propietario de Maquindustria tiene un registro sobre el funcionamiento de su máquina fresadora y ha encontrado que en los últimos dos años, en el 80% del tiempo, la máquina funcionó muy bien durante el mes actual si había funcionado bien durante el mes anterior. Lo anterior significa que solo el 20% del tiempo la maquina NO funcionó bien durante el mes determinado cuando funcionaba bien en el mes anterior. Además observó que el 90% del tiempo la máquina permaneció ajustada de forma incorrecta durante un mes determinado si no estaba bien ajustada el mes anterior. Solo el 10% del tiempo operó de forma correcta en un mes determinado cuando NO operó correctamente durante el mes anterior. Lo anterior muestra que la maquina puede corregirse a sí misma cuando no ha funcionado bien en el pasado, situación que se presenta el 10% de las veces.

CONDICIONES DE ESTABILIDAD PERIODO FUNCIONE (ESTADO 1) NO FUNCIONA (ESTADO

1 1 0 2 0,8 0, 3 0,66 0, 4 0,562 0, 5 0,4934 0, 6 0,4454 0, 7 0,4118 0, 8 0,3882 0, 9 0,3718 0, 10 0,3602 0, 11 0,3522 0, 12 0,3465 0, 13 0,3426 0, 14 0,3398 0, 15 0,3379 0, 16 0,3365 0,

PERIODO FUNCIONE (ESTADO 1) NO FUNCIONA (ESTADO 2) 1 1 0 2 0,8 0, 3 0,66 0, 4 0,562 0, 5 0,4934 0, 6 0,4454 0, 7 0,4118 0, 8 0,3882 0, 9 0,3718 0, 10 0,3602 0, 11 0,3522 0, 12 0,3465 0, 13 0,3426 0, 14 0,3398 0, 15 0,3379 0, 16 0,3365 0, ¿Qué puede esperarse a largo plazo? ¿Existe un equilibrio? ¿Cuál es el valor del equilibrio?

Alirio, director del Instituto Técnico de Occidente (ITO) se encuentra preocupado por el número decreciente de inscripciones. Este instituto ofrece “Capacitación técnica en programación y soporte de computadores”. En el sector se encuentran dos instituciones que representan competencia fuerte: la Corporación Técnica en Sistemas (CTS) y El Centro de Sistemas del Sur (CSS). Para comprender cuál de estas instituciones será la líder en el área, Alirio decidió llevar a cabo una encuesta. En ella analizó el número de estudiantes que se cambiarán de institución durante la duración de su carrera técnica. En promedio, ITO fue capaz de retener el 65% de los estudiantes inscritos originalmente. Sin embargo, 20% que al principio se inscribieron en ITO se fueron para CTS y 15% para CSS. CTS tuvo una tasa de retención más alta: 90% de sus estudiantes se quedaron en ella hasta terminar su capacitación. Alirio estima que, alrededor de la mitad de los estudiantes que abandonaron CTS, entraron a ITO y la otra mitad al CSS. CSS pudo retener 80% de sus estudiantes después de que se inscribieron. Por otra parte, 10% de los estudiantes inscritos originalmente se cambiaron a CTS y 10% a ITO. Actualmente ITO tiene el 40% del mercado, CTS que es la más nueva y tiene el 35% del mercado. La participación del mercado restante corresponde a estudiantes que asisten a CSS. A Alirio le gustaría determinar la participación del mercado de ITO en el próximo año. ¿Cuáles son las participaciones de mercado en equilibrio para estas tres instituciones? A P L I C A C I Ó N

PARTICIPACION INICIAL ITO CTS CSS 0,4 0,35 0, MATRIZ DE TRANSICION ITO CTS CSS ITO 0,65 0,20 0, CTS 0,05 0,90 0, CSS 0,10 0,10 0, S O L U C I Ó N PARTICIPACIÓN EN EL MECADO DE ITO EL PROXIMO AÑO 0,65 0,20 0, 0,4 0,35 0,25 * 0,05 0,90 0,05 = 0,303 0,420 0, 0,10 0,10 0, Participación en el mercado de ITO: 30.3% Participación en el mercado de CTS: 42% Participación en el mercado de CSS: 27.8% Actualmente ITO tiene el 40% del mercado, CTS que es la más nueva y tiene el 35% del mercado. La participación del mercado restante corresponde a estudiantes que asisten a CSS En promedio, ITO fue capaz de retener el 65% de los estudiantes inscritos originalmente. Sin embargo, 20% que al principio se inscribieron en ITO se fueron para CTS y 15% para CSS. CTS tuvo una tasa de retención más alta: 90% de sus estudiantes se quedaron en ella hasta terminar su capacitación. Alirio estima que, alrededor de la mitad de los estudiantes que abandonaron CTS, entraron a ITO y la otra mitad al CSS. CSS pudo retener 80% de sus estudiantes después de que se inscribieron. Por otra parte, 10% de los estudiantes inscritos originalmente se cambiaron a CTS y 10% a ITO.

EJERCICIO EN CLASE

En un pueblo, al 90% de los días soleados le siguen días soleados, y al 80% de los días nublados le siguen días nublados. Con esta información modelar el clima del pueblo como una cadena de Markov. SOLEADO NUBLADO SOLEADO (^) 0,9 0, NUBLADO (^) 0,2 0,

La cervecería más importante del mundo (Guiness) ha contratado a un analista de investigación de operaciones para evaluar su posición en el mercado. Están preocupados en especial por su mayor competidor (Heineken). El analista piensa que esta situación puede modelar como una cadena de Markov incluyendo tres estados, los estados G y H representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado O representa todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista ha construido la siguiente matriz de transición de los datos históricos.

EJERCICIO EN CLASE

¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes? G H O G 0,8 0,15 0, H 0,2 0,6 0, O 0,3 0,2 0,

Se describen los estados de una máquina como una cadena de Markov, donde los estados posibles pueden ser: A) La máquina está funcionando. B) La máquina está recibiendo reparación. C) La máquina está parada esperando recibir reparación. De acuerdo a la siguiente matriz de transición. EJEMPLO : Uso de Máquina 1-Encontrar la probabilidad de que estando en el estado B) llegue al estado A) en el segundo período. 2- Encontrar la probabilidad de que estando en el estado A) llegue al estado C) al tercer período. 3- Encontrar la probabilidad de que estando en el estado C) llegue al estado B) al cuarto período

ESTADO ACTUAL

A B C

A 0,7 0,5 0,

B 0,1 0,5 0,

C 0,2 0,0 0,

1-Encontrar la probabilidad de que estando en el estado B) llegue al estado A) en el segundo período. A B C A 0,7 0,1 0, B 0,5 0,5 0, C 0,0 0,6 0, 0,7 A 0, 0,5 A B C 0,5 0,5 A 0, B B B C 0, A C B C Paso 1 (^) Paso 2 0, MEDIANTE PROCESO DE MARKOV A B C Paso 2 A 0,7 0,1 0, 0,5 0,5 0 * B 0,5 0,5 0 = 0,6 0,3 0, C 0 0,6 0, La probabilidad es del 60% 0, 0,