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Capítulo 2 Geometría Analítica en ℝ M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
CAPITULO 2
GEOMETRÍA ANALÍTICA EN 𝑹
𝟑
Extendemos la ubicación de un punto indicando además de las coordenadas rectangulares (𝑥, 𝑦)
en el plano su ubicación en el espacio añadiendo una coordenada "𝑧" que viene a ser la distancia
perpendicular al plano coordenado, generando de este modo un sistema coordenado tridimensional
cuya posición se expresa por la terna (𝑥, 𝑦, 𝑧), definiendo este nuevo sistema, el sistema rectangular
en el plano es un caso particular del sistema tridimensional.
2.1 Coseno directores
x
y
z
A
Sea el vector 𝐴
1
2
3
sabemos que:
cos 𝛼 =
→ cos 𝛼 =
1
2
3
1
2
2
2
3
2
→ cos 𝛼 =
1
1
‖ cos 𝛼
cos 𝛽 =
→ cos 𝛽 =
1
2
3
1
2
2
2
3
2
→ cos 𝛽 =
2
2
‖ cos 𝛽
cos 𝛾 =
→ cos 𝛼 =
1
2
3
1
2
2
2
3
2
→ cos 𝛾 =
3
3
‖ cos 𝛾
1
2
3
‖ cos 𝛼 , ‖𝐴
‖ cos 𝛽 , ‖𝐴
‖ cos 𝛾)
Hallando el módulo de esta última expresión:
‖√cos
2
𝛼 + cos
2
𝛽 + cos
2
𝟐
𝟐
𝟐
Capítulo 2 Geometría Analítica en ℝ M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
2.2 Distancia entre 2 puntos
2 2 2 2
P x ( , y , z )
1 1 1 1
P x ( , y , z )
d
x
y
z
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
Demostración:
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2.3 División de un segmento en una razón dada
Si 𝑃
1
2
y 𝑃 son puntos de un segmento rectilíneo correspondientes a los extremos libres de los
vectores (𝑃 1
2
) respectivamente se dice que 𝑃
divide al segmento 𝑃
1
2
en una razón 𝑟 si se
cumple la proposición:
1
2
2 2 2 2
P x ( , y , z )
1 1 1 1
P x ( , y , z )
x
y
z
1
P
2
P
d
x
y
z
1
P
2
P
P
Capítulo 2 Geometría Analítica en ℝ M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
Sea 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera de la recta, en base al algebra vectorial se pueden hallar las
ecuaciones caracteristicas de la recta.
1) Ecuación vectorial de la recta
0
2) Ecuación paramétrica
0
0
0
1
2
3
0
1
0
2
0
3
0
1
0
2
0
3
3) Ecuación Cartesiana
Partiendo de la ecuación paramétrica, se sabe que:
0
1
𝑥−𝑥
0
𝑢 1
0
2
𝑦−𝑦
0
𝑢 2
𝑧−𝑧
0
𝑢 3
0
1
0
2
0
3
Nota 1: No es importante el tamaño ni el sentido del vector direccional, la característica que se
requiere de este vector es solo la dirección
Nota 2 : Una forma para ir de la ecuación cartesiana o simétrica a la ecuación paramétrica de la
recta es igualar está a un parámetro, y despejar las variables 𝑥, 𝑦, 𝑧 en función del parámetro.
0
1
0
1
0
2
0
2
0
3
0
3
x
y
z
0
P
L
P x y z ( , , )
0
P
P
P
tu
u
Capítulo 2 Geometría Analítica en ℝ M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
Ejemplo: Halle la ecuación cartesiana y paramétrica de la recta, que pasa por el punto 𝑃( 2 , 5 , − 3 )
y tiene como vector direccional al vector: 𝑢⃗⃗ = (− 14 , − 6 , 8 )
Solución: Se tiene los dos datos necesarios:
0
𝑢
∗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Como sabemos el atributo que necesitamos del vector direccional es su dirección, no su tamaño
ni sentido
Para ecuación paramétrica:
2.4.1 Posiciones Relativas entre rectas
i) Paralelas ii) Perpendiculares
1
L
2
L
1
u
2
u
1
L
2
L
1
u
2
u
1
2
1
2
1
2
1
2
Problema 21 Halle la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular a cada
una de las rectas.
1
2
x t
L y t t
z t
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Problema 22 Encontrar la distancia del punto 𝑃(− 1 , 2 , − 3 ) a la recta 𝑙: {
Solución:
Existen formas de representar a una recta:
Vectorial: Simetrica: Parametrica: Intersección Planos
0
𝒙−𝑥 0
𝑢
1
𝒚−𝑦 0
𝑢
2
𝒛−𝑧 0
𝑢
3
0
1
0
2
0
3
En el problema nos presentan a la recta como una intersección de dos planos, para calcular la
recta en sus formas convecionales puede procederse de dos maneras.
i) Primera Forma: Hallamos el direcional de la recta 𝑢⃗⃗ y un punto 𝑃 0
en ella.
Se tienen de datos a los dos planos que forman en su intersección a la recta, entonces se tienen
sus normales que son perpendiculares al vector direccional de la recta.
1
2
1
× 𝑁
2
l
1
Pl
2
Pl
1
N
2
N
u
0
P
l :
Capítulo 2 Geometría Analítica en ℝ M.Sc. Ing. Juan Carlos Quispe Apaza
Para calcular 𝑃 0
resolvemos el sistema de ecuaciones formada por los planos, que como puede
apreciarse tiene infinitas soluciones por tener más incógnitas que ecuaciones, para hallar una
solución en particular le damos un valor cualquiera a cualquiera de las variables, en este caso por
comodidad escogeremos el valor cero para la variable 𝑧, sin embargo puede elegirse otro valor y
otra variable.
→ sea 𝑧 = 0 {
resolviendo
0
0
ii) Segunda Forma: Parametrizamos una varaible cualquiera en el sistema de ecuaciones
formado por los planos
eligiendo como parámetro a la variable 𝑧 = 𝑡
→ Resolviendo
Retornando al problema, ya tenemos la recta con sus dos datos importantes el punto 𝑃 0
y su vector direccional 𝑢⃗⃗ =
l la distancia la punto 𝑃(− 1 , 2 , − 3 ) será:
P
0
P
l
d
u
‖𝑢⃗⃗ × (𝑃 − 𝑃
0
0
𝑢⃗⃗ × (𝑃 − 𝑃
0
| = (− 10 , 9 , 15 ) → ‖𝑢⃗⃗ × (𝑃 − 𝑃
0
2
2
2
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2.4.4 Distancia entre rectas que se cruzan (rectas alabeadas)
1
L
2
L
1
u
2
u
d
1
P
2
P
𝟐
𝟏
𝟏
× 𝒖
𝟐
𝟏
× 𝒖⃗⃗⃗
𝟐
Demostración:
1
L
2
L
d
1
P
2
P
1
u
2
u
1 2
u u
v
𝒖
𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝒖⃗⃗⃗
𝟐
𝒖
𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×𝒖⃗⃗⃗
𝟐
2
1
2
1
1
× 𝑢⃗⃗
2
1
× 𝑢⃗⃗
2
Para garantizar que el resultado sea positivo introducimos el valor absoluto
2
1
1
× 𝑢⃗⃗
2
1
× 𝑢⃗⃗
2
2.5 El Plano
x
y
z
0
P
0
P
u
tu
rv
v
P x y z ( , , )
Para hallar la ecuación del plano se requieren dos vectores direccionales
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i) Ecuación Vectorial:
0
ii) Ecuación Cartesiana:
0
P
P
N
Para la ecuación cartesiana gracias a los dos vectores direccionales del plano es posible hallar un
vector perpendicular a esta superficie que a partir de ahora se denominara normal, con esta
alternativa se necesitan de dos datos para calcular la ecuación del plano, un punto que pertenezca
a este plano y un vector normal a este, al igual que el vector direccional de la recta el atributo
más importante del vector normal es su dirección no importando así su tamaño ni su dirección.
0
0
0
0
Sea 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) un punto cualquiera del plano, se cumple:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
𝐷
Ejemplo:
Halle la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃( 2 , 4 , − 6 ) y cuyo vector normal es: 𝑁
Solución:
0
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∈ 𝑃𝑙 cumple su ecuación
(2) en (1) −
11
𝑎
1
𝑐
11
𝑎
3
𝑎
11
𝑎
30
𝑎
2.5.2 Posiciones Relativas entre planos
i) Paralelas ii) Perpendiculares
1
N
2
N
1
Pl
2
Pl
1
N
2
N
1
2
1
2
1
2
1
2
2.5.3 Posiciones Relativas entre rectas y planos
i) Paralelas ii) Perpendiculares
Pl
u
l
N
Pl
u
l
N
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2.5.4 Intersección Recta Plano
Ax By Cz D 0
0
P
0 1
0 2
0 3
x x u t
L y y u t
z z u t
Para intersectar una recta con un plano la recta debe estar en forma paramétrica, se debe
reemplazar las variables de la recta en la ecuación del plano y hallar el parámetro correspondiente
con al que se cumple la intersección.
0
1
0
2
0
3
Problema 26 Una esfera metálica es soltada en el punto 𝐴( 1 , 2 , 10 ) y cae verticalmente hasta el
plano 𝑃𝑙: 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 12 = 0 , luego resbala por él hasta chocar con el plano XY. Halle la distancia
total recorrida por la esfera.
Solución: Dibujamos al plano con ayuda de la ecuación reducida
x
y
z
6
12
12
A (1,2,10)
x
y
z
6
12
12
A
l
B
1
d
2
d
1
l
Calculando la recta "𝑙" que está en la dirección del eje Z, entonces tenemos que su vector
direccional será el versor 𝑁
= ( 0 , 0 , 1 ), la recta "𝑙" en forma cartesiana y paramétrica es:
Reemplazando (𝛼) en la ecuación del plano
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1 1 1 1
P x ( , y , z )
d
Ax By Cz D 0
0
P
N
𝑁
⃗⃗⃗
0
1
1
0
1
0
1
0
0
2
2
2
1
1
1
0
0
0
2
2
2
Como 𝑃
0
pertenece al plano satisface la ecuación de esta superficie, es decir:
0
0
0
0
0
0
= −𝐷 reemplazando en (𝛼)
1
1
1
2
2
2
Garantizamos el valor una distancia positiva introduciendo el valor absoluto en la expresión
1
1
1
2
2
2
Ejemplo: Halle la distancia del punto 𝑃
al plano: 𝑃𝑙: 𝑥 + 2 𝑦 − 2 𝑧 + 12 = 0
Solución:
2
2
2
2.5.6 Distancia entre planos paralelos
2
2
2
Los planos al ser paralelos deberán tener el mismo vector normal, siempre es posible mediante una
división lograr que los coeficientes de las variables de los planos coincidan.
d
Ax By Cz D 0
Ax By Cz E 0
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Demostración:
d
0 0 0 0
P ( x , y , z )
1 1 1 1
P x ( , y , z )
1
Pl : Ax By Cz E 0
0
Pl : Ax By Cz D 0
Empelando la fórmula de la distancia de un punto a una recta
1
1
1
2
2
2
Pero 𝑃 1
1
1
1
) satisface al ecuación del plano 𝑃𝑙
1
entonces 𝐴𝑥
1
1
1
Reemplazando en la última expresión
2
2
2
2
2
2
Problema 27 Hallar tres planos equidistantes que pasen por los puntos 𝑃( 1 , 4 , 0 ) , 𝑄( 2 , − 5 , 1 ) y
𝑅( 3 , 0 , − 2 ) respectivamente, sabiendo que a su vez son paralelos a la recta:
Solución:
P
Q
R
M
u
1
Pl
2
Pl
3
Pl
N
Se puede apreciar que el vector direccional de la resta es: 𝑢⃗⃗ = ( 1 , 1 , 1 )
𝑀 es el punto medio de los puntos 𝑃, 𝑅: 𝑀 =
𝑃+𝑄
2
( 1 , 4 , 0 )+( 3 , 0 ,− 2 )
2
M
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Problema 29 Sean 𝐴 y 𝐵( 0 , 6 , 8 ) las intersecciones de una recta "𝑙" con los planos XY e YZ
respectivamente. Sea además 𝐶 la proyección de 𝐵 sobre el eje 𝑌. Si el triangulo 𝐴𝐵𝐶 tiene un
área de 4 √
17 [𝑢
2
] y la proyección de 𝑙 sobre el plano 𝑋𝑌 es la recta 𝑙
1
halle al ecuación de la recta 𝑙.
Solución:
x
y
z
B
A
C
l
1
l
x
y
z
A
l
1
l
1
tu
B (0, 6, 8)
C (0, 6, 0)
v
S
u
De la recta 𝑙 1
tenemos su vector direccional 𝑢
1
= ( 1 , − 4 , 0 ), con el cual
podemos hallar un vector 𝑡𝑢 1
que se encuentra en la dirección de 𝑙
1
, calculamos el vector 𝑣⃗.
Calculando el área del triángulo ABC:
‖𝑣⃗ × 𝑡𝑢
1
|𝑡| ⋅ ‖𝑣⃗ × 𝑢
1
𝑣⃗ × 𝑢
1
| = ( 32 , 8 , 0 ) en ( 1 ) sabiendo que por dato 𝑆 = 4 √
17 [𝑢
2
]
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2
2
2
2
2
Calculando el punto 𝐴:
1
Para 𝑡 = 1 𝐴 = ( 0 , 6 , 0 ) + 1 ( 1 , − 4 , 0 ) → 𝐴 = ( 1 , 2 , 0 ) ahora hallamos un vector direccional
para 𝑙: 𝑢⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 =
= (− 1 , 4 , 8 ), en consecuencia, la recta buscada será:
Para 𝑡 = − 1 𝐴 = ( 0 , 6 , 0 ) − 1 ⋅ ( 1 , − 4 , 0 ) → 𝐴 = (− 1 , 10 , 0 ) ahora hallamos un vector
direccional para 𝑙: 𝑢⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 =
= ( 1 , − 4 , 8 ), en consecuencia, la recta
buscada será:
Problema 30 La normal de un plano tiene una longitud de 5, y dos de sus ángulos directores son
°
°
. Hallar la ecuación del plano si pasa por el punto cuya distancia al origen de
coordenadas es igual a la norma de su vector normal.
Solución: Sabemos que:
2
2
2
2
°
2
°
2
1
√ 2
2
1
2
2
2
𝛾 = 1 → cos
2
1
4
1
°
2
°
1
cos 45° , cos 60° , cos 60°
√
2
2
1
2
1
2
2
= (cos 45° , cos 60° , cos 120°) = (
√
2
2
1
2
1
2
Sabemos bien que 𝑁
1
2
al ser generados por los coseno directores tienen norma unitaria.
x
y
z
1
N
5
0
P
