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1. Aprender a identificar las variables que intervienen en un experimento de física. Así mismo relacionar las variables representadas mediante una función matemática. 2. Aprender a elaborar correctamente gráficas en papel milimetrado, a fin de facilitar la interpretación y cálculo de las constantes físicas de interés. 3. Linealizar el comportamiento de las gráficas para facilitar el estudio de las constantes físicas de interés, a partir de la obtención de la pendiente y término independiente producto de la linealización. Equipo requerido Cantidad Observaciones Papel milimetrado. 4 Escuadras. 2 Suministrados por el estudiante Calculadora 1 ANÁLISIS GRÁFICO En física es muy importante, además de predecir el error que tiene una medición, formular la ley que rige el fenómeno en estudio, o sea, que las experiencias realizadas permitan determinar la tendencia o relación entre las variables que influyen en el evento estudiado. Estas leyes físicas expresadas en forma matemática es lo que constituye una “relación funcional”. Uno de los objetivos del experimentador es tratar de expresar la relación entre las diferentes variables en su experimento en la forma de una ecuación matemática. Así, cuando una cantidad se relaciona con otra por medio de alguna ecuación, se dice que una de las cantidades es función de la otra. Si la variable observable “𝑦” está relacionada con la variable “𝑥”, se dice que 𝑦 es una función de 𝑥. Generalmente, esta relación se escribe, en notación abreviada, como 𝑦 = 𝑓(𝑥) la cual se lee: “𝑦 es una función de 𝑥”. Cuando los valores de 𝑦 dependen de los de 𝑥, la variable 𝑦 se denomina variable dependiente y 𝑥 es la variable independiente. No
LABORATORIO DE MECÁNICA
ANÁLISIS GRÁFICO
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y GEOLOGÍA UNIVERSIDAD DE PAMPLONA^ FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS Objetivos Esquema del laboratorio y Materiales Marco teórico
ANÁLISIS GRÁFICO
La tarea que nos ocupa ahora es analizar las diferentes formas que puede adoptar la función 𝑓(𝑥) obtenida a partir de una serie de datos experimentales. Una de las mejores maneras de llegar al tipo de dependencia funcional que existe entre dos variables, es dibujar una gráfica de las variables en un sistema cartesiano de coordenadas. Así los valores experimentales de la variable independiente se marcan en el eje horizontal ( abscisa ) y la variable dependiente se marca sobre el eje vertical ( ordenada ). Después de analizar si la tendencia de los puntos en el gráfico se ajusta a una línea recta o a una curva, se puede determinar la naturaleza de la función que relaciona las variables, especialmente si esta función tiene una forma sencilla. Uno de los requisitos más importantes del gráfico, es la elección de escalas para los dos ejes de coordenadas. Debe tenerse presente que el gráfico de datos de laboratorio carece de significado, si no se identifica cada eje con la cantidad medida y las unidades utilizadas para medir. A continuación, se presentan algunas sugerencias para la elaboración de gráficas:
- Poner un título al gráfico que sea conciso y claro. Ejemplo: distancia vs. tiempo (ó "𝑥 𝑣𝑠. 𝑡”). Para la realización del grafico use, papel milimetrado.
- Seleccionar una escala que facilite la representación y la lectura. Se deben elegir escalas que puedan subdividirse fácilmente. No es necesario representar ambas cantidades en la misma escala, ni que comience en cero.
- Representar todos los datos observados. Demarcar claramente los puntos experimentales con un punto dentro de un pequeño círculo, o dentro de un triángulo, o algún otro símbolo semejante.
- Unir el mayor número de puntos con una curva suave, de modo que aquellos que queden por fuera de la curva queden igualmente repartidos por encima y por debajo. Si el gráfico no es una recta, puede utilizarse para el trazado una plantilla especial llamada curvígrafo.
- Un gráfico quedará más claro y adquirirá una mejor presentación si se hace uso de carteles interiores al gráfico, con información complementaria relevante para entender en qué contexto se muestran los datos o sobre las condiciones experimentales particulares bajo las que se los han obtenido. En el análisis de un problema de física se puede partir de la teoría que predice una cierta ley física la cual se expresa con una ecuación cuya forma matemática nos guiará al analizar la forma del gráfico. La función matemática más simple es la línea recta y es por ello que tiene gran importancia en el análisis de datos experimentales. Por lo tanto, es útil linealizar la curva cuando ésta no sea una recta. Y determinando la pendiente y la intersección con el eje “𝑦”, se puede deducir valores numéricos de la pendiente y el termino independiente. A continuación, se muestran las funciones más comunes con la respectiva ecuación que la define y la manera de obtener la pendiente. (Para los casos potencial y exponencial, se muestra como linealizar para obtener la pendiente fácilmente).
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Al aplicar logaritmo a los términos que definen la función exponencial cumpliendo la ecuación presentada, se puede obtener una representación dada de la forma de una ecuación de la recta. Luego de convertir función exponencial a una forma de recta se puede obtener la pendiente aplicando la ecuación ( 0.2,1 ). Figura 1. Funciones: Lineal, potencial y exponencial. TRAZADO DE UNA RECTA QUE PASE ENTRE VARIOS PUNTOS Cuando se grafican puntos experimentales y por ejemplo se obtiene una línea recta como gráfico, ésta usualmente no pasará por todos los puntos graficados. Los métodos estadísticos demuestran que siempre que la dispersión de los puntos experimentales se deba a los errores casuales de medición, la mejor recta pasará por el centroide de los puntos experimentales que es el punto con las coordenadas (𝑥, 𝑦), donde “𝑥” es el valor medio de las coordenadas “𝑥 ” de todos los puntos, y “𝑦” el promedio de las coordenadas “𝑦”. Así, es posible dibujar otras rectas alternativas. La pendiente y la intersección pueden ser obtenidos de la mejor recta que se pueda dibujar, o sea, la recta que mejor se ajuste: con igual peso en lo posible, esto es, igual número de puntos por encima y por debajo de la recta. El centroide se calcula entonces como: 𝑥̅ =
Una vez definido el centroide, la recta de máxima pendiente se construye, como la recta que pasa por el centroide y por la mayoría de los puntos situados en la parte superior derecha del centroide y en la parte inferior izquierda de éste como se muestra en la figura 2. La recta de pendiente mínima debe pasar por el centroide y por la mayoría de puntos situados en la parte inferior derecha del centroide y en la parte superior izquierda de él. La ecuación de la recta óptima es la recta equidistante a ambas rectas y que pasa por el centroide. Así la recta óptima será:
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2 𝑦 = 𝑎ó𝑏𝑡𝑥 + 𝑏ó𝑏𝑡 , (0.2,3) donde 𝑎ó𝑏𝑡 es la pendiente óptima y 𝑏ó𝑏𝑡 es el punto de corte óptimo con el eje “𝑦”. Figura 2. Recta óptima. Este cuestionario debe desarrollarse antes de la realización de la práctica y debe entregarse en el pre informe según indicaciones del docente.
1. Investigar las propiedades de los logaritmos (muestre varios ejemplos). 2. Investigar el comportamiento de las funciones: exponencial, logarítmica y potencial. 3. Investigar el comportamiento físico de: fuerza vs. aceleración, voltaje vs. resistencia, voltaje vs. corriente, potencia vs. velocidad. 4. Investigar y mencionar al menos 4 expresiones matemáticas ( ecuaciones ) que definan un fenómeno físico y que a su vez satisfagan la ecuación de la recta. 1. Para un objeto con movimiento uniformemente acelerado se hicieron las siguientes mediciones. 𝒕(𝒔) 1 2 3 4 𝒗(𝒎/𝒔) 8 11 14 17 Tabla 1. Velocidad de un objeto con movimiento uniformemente acelerado. - Grafique sobre papel milimetrado los datos de la tabla 1. Cuestionario Análisis
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- La frecuencia de resonancia de un circuito L-C en paralelo está dada por 𝜔 = 1 √𝐿𝐶 . Donde 𝜔 y 𝐶 son variables conocidas. Determine el valor de 𝐿. 1. En el inciso 1, de la sección análisis, ¿La recta pasa por el origen de coordenadas? ¿Qué indica esto? ¿Cuál es la ley que rige el movimiento? 2. En el inciso 2 , de la sección análisis según el tipo de función, ¿puede obtener una línea recta? ¿cómo lo haría? Sustente su respuesta. Si su respuesta es sí, encuentre la pendiente de la recta. Sustituya los valores encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley que rige el movimiento. 3. La relación funcional entre las variables del inciso 3 del procedimiento es: lineal, potencial ó exponencial. ¿Por qué? Según el tipo de función, ¿se puede obtener una línea recta? ¿Cómo lo haría? Sustente su respuesta. Si su respuesta es sí, encuentre la pendiente de la recta. Sustituya los valores encontrados en la ecuación correspondiente y encuentre la ley que rige el fenómeno físico. 4. Realice la regresión lineal de la tabla 3 y encuentre la ecuación del porcentaje de polonio dependiente del tiempo. ¿Qué cantidad de polonio quedará después de un año? Las conclusiones se deben formular de los resultados obtenidos en la práctica. Puede consultar el tema en la siguiente bibliografía: Bertha Oda Noda, “Introducción al análisis grafico de datos experimentales”, Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias (UNAM, 2005), 212 páginas. Preguntas de control Conclusiones y observaciones Bibliografía
