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algebra villena espacios vectoriales, Apuntes de Álgebra Lineal

Ejercicios resueltos de algebra lineal por villena

Tipo: Apuntes

2019/2020

Subido el 25/07/2022

michael-palma-6
michael-palma-6 🇪🇨

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bg1
Moisés Villena Muñoz Vectores en n
IRIRIR ,,, 32
1
1
1.1 DEFINICIÓN
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
1.3 IGUALDAD
1.4 OPERACIONES
Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de
2
I
R. Pero el interés ahora es ser más generales.
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1.1 DEFINICIÓN

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

1.3 IGUALDAD

1.4 OPERACIONES

Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2

IR. Pero el interés ahora es ser más generales.

1.1 DEFINICIÓN

Un vector de ^ n es un conjunto ordenado de n números

reales, los cuales son llamados componentes. Lo denotaremos

de la siguiente manera:

v (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn )

Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( x y ,^ ), será un

vector de ^2.

Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada ( x y z ,^ , ), será

un vector de ^3.

Considerar a los vectores de como pares ordenados o a los

vectores de como ternas ordenadas, nos permite obtener sus propiedades

algebraicas, pero existen otras que resultan cuando se define una

representación del vector en el plano cartesiano o en el sistema tridimensional.

^2 ^3

1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Un vector de se lo representa en el Plano Cartesiano como un

segmento de recta dirigido. Suponga que se tienen los puntos y

. Si trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia

tenemos una representación del vector

\ 2 P 1 ( x 1 , y 1 ) P 2 (^) ( x 2 , y 2 ) P 1 P 2

v = P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 )

→ ⎯⎯→

x

y

P 1 ( x 1 , y 1 )

P 2 ( x 2 , y 2 )

v P P 1 2

→= JJJJG

1.2.2 DIRECCIÓN

La dirección de v =(^ x , y está definida por la medida

→ )

del ángulo de inclinación de la línea de acción del segmento

de recta; es decir, por el ángulo θ. Observe que:

arctan

y x

θ =

Si el ángulo es medido en sentido antihorario se dirá que tiene

dirección positiva , caso contrario se lo considera negativo.

θ

Para v^ =(^ x 2 − x 1 ,^ y 2 − y 1 )

sería 2 1

arctan

y y x x

θ

1.2.3 SENTIDO

El sentido de v^ =(^ x , y lo define la flecha dibujada

→ )

sobre el segmento de recta.

Para v^ =^ P 2 P 1 =(^ x 1 − x 2 ,^ y 1 − y 2 )

→ ⎯⎯→

tenemos:

x

y

P 1 (^) ( x 1 (^) , y 1 )

P 2 (^) ( x 2 (^) , y 2 )

v P P 2 1

→= JJJJG

La representación Geométrica para un vector de sería análoga a

. Suponga que se tienen los puntos

^3 \ 2 P 1^ (^ x 1 ,^ y 1 , z 1 )y P 2 (^ x 2 ,^ y 2 , z 2 ). Si

trazamos un segmento de recta dirigido desde hacia tenemos una

representación del vector

P 1 P 2

v = P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 1 − z 2 )

→ ⎯⎯→

x

y

z

v

P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 )

P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )

Su representación con punto de partida el origen sería:.

x

y

z

v

P ( x , y , z )

La magnitud o norma de v^ =(^ x , y , z se define como:

→ )

v → = x^2 + y^2 + z^2

Ejercicio. Demostrar que cos 2 α+cos^2 β+cos^2 γ = 1

Para más dimensiones no disponemos de interpretación geométrica.

Pero podemos hacer generalizaciones.

Si v (^) ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn , entonces la norma del

→ = … (^) )

vector v se define como:

2 2 2

v x 1 x 2 x 3 xn

= + + + … +^2

1.3 IGUALDAD

Sean v (^) 1 ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ) y

→ = … v (^) 2 ( y 1 (^) , y 2 (^) , y 3 , , yn )

v 1 v

→ →

vectores de \ n. Entonces = 2 , si y sólo si:

( x 1 = y 1 ) ∧( x 2 = y 2 ) ∧( x 3 = y 3 ) ∧…∧( xn = yn )

1.4 OPERACIONES

1.4.1 SUMA Y RESTA

Sean y dos vectores de tales que

v 1

v 2

\ n

v 1 (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn )

= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )

y =^ " ,

Entonces:

1. La suma de con , denotada como , se

→ → v 1 + v 2

v 1

v 2

define como:

v 1 (^) v 2 (^) ( x 1 (^) y 1 (^) , x 2 (^) y 2 , , xn yn )

  • = + + " +

v 1 v

2. La resta de con , denotada como

v 1

v 2 −^2 , se

define como:

v 1 (^) v 2 (^) ( x 1 (^) y 1 (^) , x 2 (^) y 2 , , xn yn )

− = − − " −

Ejemplo

Sean V^ → 1 = ( −5, 2,1 ) y V^ → 2 = (3, 0, − 2 ) , dos vectores de ^3 , hallar V^ → 1 (^) + V → 2 y V^ → 1 (^) − V → 2 S Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: OLUCIÓN: V^ → 1 (^) + V → 2 = (^) ( − 5 + 3, 2 + 0, 1 + −( 2) (^) )=( − 2 , 2 ,− 1 ) V^ → 1 (^) − V → 2 = (^) ( − 5 − 3, 2 − 0, 1 − −( 2) (^) ) = (^) ( −8, 2,3)

1.4.1.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Sea la representación que se muestra a continuación para los vectores

v 1 (^) =( x 1 , y 1 ) y

v 2 (^) = ( x 2 , y 2 )

Considerando una representación equivalente de v de tal forma que

esté ubicado a continuación de

→ →^2

v 1

El vector de la diagonal menor del paralelogramo que sustentan lo

vectores y es el vector diferencia.

v 1

v 2

PREGUNTA: ¿Cómo se representaría

→ → v 1 (^) − v 2 ?.

Para ^3 , el asunto es análogo

x

y

z

v → 1 (^) = ( x 1 , y 1 , z 1 )

v → (^) 2 =( x 2 , y 2 , z 2 )

→ → v 1 + v^2

1.4.1.2 PROPIEDADES

Sean , y vectores de , entonces:

v 1

v 3

v 2

\ n

1. la suma es conmutativa

→ → → → v 1 + v 2 = v 2 + v 1

2. la suma es asociativa

→ → → → → → ⎟+ ⎠

⎜ ⎞ ⎝

⎟=⎛^ + ⎠

⎜ ⎞ ⎝

  • ⎛^ + v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 3
  1. ∃^ →^0 ∈^ ^ n ,^ ∀^ → v ∈^ ^ n tal que → v^ +^ →^0 =→ v. Donde (^0) (0,0, ,0 es llamado Vector Neutro

→ = " (^) )

  1. , v^ n tal que

⎛ →⎞ ∃ −⎜ ⎟∈ ⎝ ⎠

v n \

∀ ∈ \

→ → → ⎟= ⎠

⎜ ⎞ ⎝

v + ⎛ − v 0

Donde ⎟es llamado V ector Inverso Aditivo de

⎛ − → v → v

1.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR

Sea α ∈ \ y sea v (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn un vector de.

→ = " (^) ) \ n

Entonces:

α v α ( x 1 (^) , x 2 (^) , , xn (^) ) (α x 1 (^) , α x 2 , ,α xn

→ = " = " (^) )

Ejemplo 1

Sea^ → v = (^) ( −5, 2,1 (^) ) un vector de IR^3 , hallar 3 → v

SOLUCIÓN :

3 v^ →= 3 ( −5, 2,1 ) = (−15, 6,3 )

Ejemplo 2

Sean v^ → 1 y v^ → 2 dos vectores de IR^3 tales que: v^ → 1 = (^) ( 3, 0, − (^2) ) y v^ → 2 = −( 5, 2,1). Hallar el vector v^ →^ = 2 v → 1 (^) − 3 v → 2 SOLUCIÓN :

( ) ( ( )

v v v v v

→ → → → →

)

1.4.2.1 ENFOQUE GEOMÉTRICO

Si α^ ∈ R y v^ → ∈ \ 2 o → v ∈ ^3 , entonces:

  1. Si α > 1 , el vector

→ α v representa un vector de mayor

magnitud que

v

  1. Si 0 <^ α^ <^1 el vector

→ α v representa un vector de

menor magnitud que

v

  1. Si α <− 1 el vector

→ α v representa un vector de mayor

magnitud y de sentido contrario que

v

u^ v

v

→^ →

Ejemplo

Hallar un vector unitario u^ → para el vector^ → v =(1, 2,3) SOLUCIÓN : Aplicando la fórmula u v v

→^ → = (^) → tenemos:

(1, 2,3) 14 (^1) (1, 2,3) 14 (^1) , 2 , 3 14 14 14

u u u

→ → →

= ⎛⎜^ ⎞⎟

comprobando

u u u

→ → →

1.4.2.4 VECTORES PARALELOS

Sean y dos vectores de. Entonces y

v 1

v 2

v 1

v 2

^ n

son paralelos si y sólo si el uno es múltiplo escalar del otro;

es decir:

→ →

v 1 = kv 2

Observe lo siguiente.

Si v 1^ ( x 1^ ,^ x 2^ ,^ ,^ xn ) y

= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )

= " (^) ; y si son

paralelos entonces

( ) ( ( ) (

, , , , , , , , , , , ,

n n

n n

v k v x x x k (^) )

)

y y y x x x ky ky ky

=

=

" " " "

Por igualdad de vectores

x 1 = kx 2 ∧ y 1 = ky 2 ∧ "∧ xn = kyn

o también

1 2 1 2

n n

x x x k

y y y

Se concluye que, cuando los vectores son paralelos , existe

proporcionalidad entre sus componentes.

Ejemplo

El vector v → 1 (^) =( 3 ,− 2 ) es paralelo al vector v → 2 (^) =( 6 ,− 4 )porque (^) v → 2 = 2 v → 1 o también porque 36 =−−^42 = 2

Por otro lado. Note que cualquier vector de^ R^^2 , , puede ser

expresado en términos de los vectores y

v = ( x , y

→ )

)

= ( 1 , 0 )

i =( 0 , 1 )

j

( ) ( ) ( ) → →

= +

= = +

xi y j

v x , y x 1 , 0 y 0 , 1

Es decir, tenemos otra representación algebraica del vector.

Ejemplo

El vectorv =( (^2) , − 3 puede ser expresado de la formav = 2 i − 3 j

Un vector de R^3 , , puede ser expresado en término de los

vectores , y

v = ( x , y , z

→ )

) k

= ( 1 , 0 , 0 )

i (^) =( 0 , 1 , 0 )

j =( 0 , 0 , 1 )

k

( ) ( ) ( ) ( ) → → → →

= + +

= = + +

v xi y j z k

v x , y , z x 1 , 0 , 0 y 0 , 1 , 0 z 0 , 0 , 1

Ejemplo

El vector^ → v = (2, −5,3 también se lo puede denotar de la forma v^ → = 2 i − 5 j + 3

α+ β=

α+ β= 3 2 1

α =^3 13 Resolviendo el sistema, obtenemos: yβ =^2

Por tanto ( 1 , 1 ) 133 ( 1 , 3 ) 132 ( 5 , 2 )

1 2 = +

v = α v → +β v

Ejercicios propuestos 1.

1. Sean u^ →^ = (1, −2,3 , ) → v^ = ( −3, 2,5 , ) w →= (2, −4,1 ). Calcular:

a) u^ →^ −→ v c) u^ →^ − w →^ −→ v b) 3 v^ →^ + 5 w → d) 2 u^ →^ − 4 v →^ + 7 w

  1. Dados los vectores → v (^) 1 = −3, 4, − 2 → v (^) 2 = 3, 4, − 6 v → 3 = 4, −1,5. Halle un vector tal que

v^ → 4

v^ → 1 + → v^2 + → v^3 + v → 4 = ( −1, 4,5)

a) − 5 , − 3 ,− 8 b) − 5 , 3 ,− 8 c)− 5 , − 3 , 8 d) 5 , − 3 ,− 8 e)− 5 , − 3 ,− 6

3. Sean los vectores de R^3 , → v 1 = ( 2, −3,4 ), v^ → 2 = ( 2,3, − 1 ), ,.

Entonces un vector tal que

→ v 3 = ( 4,8, 2) → v 4 =( 1,0,0)

v v → 1 − 2 v → (^2) − v → 3 + v → (^) = v → 4

, es:

a) v^ →= (7,17, − 4 b) v = ( c)^ → v =( 6,8,9)

d) v^ →= ( −7,17, 4 e) v^ → = ( 7, −17, − 4 )

4. Sean los vectores → v 1 = ( 1,3,0) ,^ → v 2 = ( 2,3,1)^ → v 4 = (4, −1, − 7 ), determine los valores de y

para que la combinación sea verdadera:

a bv 3 = a v → 1 (^) + b v → 2 a) a = 203. b = 7 d) a = −^14 3. b =^133 b) a = 18. b =− 7 e) Elija esta opción si a y b no existe c) a = 20 3. b =− 7

  1. Dados los vectores , entonces para que se cumpla que

v (^1) = ( 1 , − 2 , 2 ) ; v → (^2) = ( 2 , − 2 , 0 ) ; v →→ (^3) = ( 0 , 1 , 7 ) ; v →= (− 2 , 5 , 3) k (^) 1 v^ →^1 + k (^) 2 → v^2 + k (^) 3 → v 3 = v ; el valor de debe ser:^1

k + k + k a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2

1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)

Sean v 1^ ( x 1^ ,^ x 2^ ,^ ,^ xn ) y

= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )

= "

vectores de. El producto punto de v 1 y , denotado como

v 2

n^ →

\

v 1 v

→ →

  • 2 , se define como:

1 2 (^1 2 3 )^ ( 1 2 3

1 2 1 1 2 2 3 3

, , , , n , , , , n

n n

v v x x x x y y y y

v v x y x y x y x y

→ →

→ →

  • = •
  • = + + + +

)

Note que el resultado del producto punto es un número real.

Ejemplo 1

Si v 1 ( 3,1) y entonces

→ = v 2 ( 1, 4

→ = − (^) ) v 1 (^) v 2 ( )( (^3 1) ) (^) ( )( (^1 4) ) 3 4

Ejemplo 2

Hallar v^ → 1 (^) • v → 2 para v^ → 1 = (^) ( 3, 0, − (^2) ) y v^ → 2 = −( 5, 2,1) SOLUCIÓN :

1 2 1 2 1 2 1 2

v v v v v v v v

→ → → → → → → →

Ejemplo 3

Sean v^ → 1 y v^ → 2 dos vectores de \ n tales que: v^ → 1 = (^) ( −2,1,3, − (^1) ) y v 1 (^) v 2 (^ →^ • → v 2 3, 0, 1, 2 →= − (^) ). Hallar SOLUCIÓN: 1 2 1 2

v v v v

→ → → →

− = + − θ

→ → → → → → 2 1 2 cos

2 2

2 1

2 v 2 v 1 v v v v

Aplicando propiedades y simplificando:

− • =− θ

  • − • − • + • = • + • − θ

⎟= • + • − θ ⎠ ⎜ ⎞ ⎝ ⎟•⎛^ − ⎠ ⎜ ⎞ ⎝

⎛ (^) −

→ → → →

→ → → → → → → → → → → → → →

→ → → → → → → → → →

2 2 cos

2 cos

2 cos

1 2 1 2

2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2

2 1 2 1 1 1 2 2 1 2

v v v v

v v v v v v v v v v v v v v

v v v v v v v v v v

Finalmente, resulta que:

1 2 1 2 cos^ θ

→ → → →

v • v = v v

La utilidad de la última expresión la observamos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Hallar el ángulo θ que forman los vectoresv 1 (^) = ( 1 , 3 ) y v → 2 =(− 3 ,− 1 ) SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )^2

cos^1 ,^33 ,^1 1 2

θ = • = •− − → →

→ →

v v

v v

Por tanto:

2 56 arccos 3 = π ⎟⎟⎠

θ= ⎛ −

Ejercicio Propuesto 1.

1. Dados los vectores: v^ → 1 = (1, 2, − 1 ) y → v 2 = (2,1,0)el resultado de la operación:

⎛⎜⎝ 3 → v 1^ − 2 v → (^) 2 ⎞⎟⎠ (^) • ⎛⎜⎝ v → (^) 2 − 2 → v 1 ⎞⎟⎠ es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -

  1. Sean los vectores de , , y. Entonces el valor de

R^3 → v 1 = ( −1, 2,1 ) v^ → 2 = ( −1, −2,1 )^ → v 3 = (0, −1,0 )

2 2 ⎛⎜⎝^ → v 1^ • v → (^) 2 ⎞⎟⎠^ v → (^) 2 − 2 ⎡⎢⎣^ ⎛⎜ (^) ⎝ v → (^) 1 + v → (^) 2 ⎞⎟⎠•→ v 3 ⎤⎥⎦

a) ( 0 , − 24 , 0 ) b)-24 c) ( 24 , 0 , 0 ) d)12 e)

3. Sean v^ → 1 , v^ → 2 vectores de R^2 , tales que: v^ → 1 = ( 5, 2)y v^ → 2 = (7, − 2 ). Entonces un vector tal

que: y

v 3 v^ → (^) 1 • v → 3 = 38 → v^3 • v → 2 = 34 es:

a) → v 3 = ( 4,6) b) v^ → 3 = (6,9) c) )

→ v 3 = (6, 4

d) → v 3 = (6,0 e) v^ → 3 =( 4,9)

  1. Sean , y vectores de tales que: , y . Entonces al efectuar la operación

→ v 1 v → 2 → v 3 IR 3 → v 1 = ( 3, −2,1 ) v → 2 = ( −5,1,0)

→ v 3 = (0.4,

2 2 3 v^ → (^) 1 − 4 ⎛⎜⎝^ v → (^) 1 • v →^2 ⎞⎟⎠^ − 6 ⎛⎜⎝^ v →^2 • v →^3 ⎞⎟⎠ − 2 → v 3 se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)

1.4.3.3 VECTORES ORTOGONALES

Sean y v 2 dos vectores de. Entonces y son

v 2

→ →

v 1

v 1

\ n

v 1 v 2 0

→ →

ortogonales si y sólo si • =

Ejemplo

Los vectores v^ → 1 = (1, 2, −1) y v^ → 2 = −( 3, 2,1) son ortogonales, porque v 1 (^) v 2 (1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0

El hecho de que significa que el ángulo entre ellos tiene

medida de , es decir

1 •^2 =^0

→ →

v v

90 D θ =^ π. ¿Porqué?

En este caso se dice que y son vectores perpendiculares.

v 1

v 2