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Ejercicios resueltos de algebra lineal por villena
Tipo: Apuntes
1 / 171
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Los pares ordenados, que ya se han tratado, son los que llamaremos vectores de 2
Un vector de ^ n es un conjunto ordenado de n números
v (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn )
→
Si el vector tiene dos componentes, un par ordenado ( x y ,^ ), será un
vector de ^2.
Si el vector tiene tres componentes, un terna ordenada ( x y z ,^ , ), será
un vector de ^3.
^2 ^3
\ 2 P 1 ( x 1 , y 1 ) P 2 (^) ( x 2 , y 2 ) P 1 P 2
v = P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 )
→ ⎯⎯→
x
y
La dirección de v =(^ x , y está definida por la medida
→ )
arctan
y x
θ =
θ
Para v^ =(^ x 2 − x 1 ,^ y 2 − y 1 )
→
arctan
y y x x
θ
−
El sentido de v^ =(^ x , y lo define la flecha dibujada
→ )
Para v^ =^ P 2 P 1 =(^ x 1 − x 2 ,^ y 1 − y 2 )
→ ⎯⎯→
P 1 (^) ( x 1 (^) , y 1 )
P 2 (^) ( x 2 (^) , y 2 )
^3 \ 2 P 1^ (^ x 1 ,^ y 1 , z 1 )y P 2 (^ x 2 ,^ y 2 , z 2 ). Si
P 1 P 2
v = P 1 P 2 = ( x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 1 − z 2 )
→ ⎯⎯→
x
y
z
→ v
x
y
z
→ v
La magnitud o norma de v^ =(^ x , y , z se define como:
→ )
Ejercicio. Demostrar que cos 2 α+cos^2 β+cos^2 γ = 1
Si v (^) ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn , entonces la norma del
→ = … (^) )
→
2 2 2
→
Sean v (^) 1 ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 , , xn ) y
→ = … v (^) 2 ( y 1 (^) , y 2 (^) , y 3 , , yn )
→
→ →
( x 1 = y 1 ) ∧( x 2 = y 2 ) ∧( x 3 = y 3 ) ∧…∧( xn = yn )
1.4.1 SUMA Y RESTA
→ v 1
→
\ n
v 1 (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn )
= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )
y =^ " ,
→ → v 1 + v 2
→
→
v 1 (^) v 2 (^) ( x 1 (^) y 1 (^) , x 2 (^) y 2 , , xn yn )
v 1 v
→
→ v 2 −^2 , se
v 1 (^) v 2 (^) ( x 1 (^) y 1 (^) , x 2 (^) y 2 , , xn yn )
− = − − " −
Sean V^ → 1 = ( −5, 2,1 ) y V^ → 2 = (3, 0, − 2 ) , dos vectores de ^3 , hallar V^ → 1 (^) + V → 2 y V^ → 1 (^) − V → 2 S Sumando algebraicamente las respectivas componentes tenemos: OLUCIÓN: V^ → 1 (^) + V → 2 = (^) ( − 5 + 3, 2 + 0, 1 + −( 2) (^) )=( − 2 , 2 ,− 1 ) V^ → 1 (^) − V → 2 = (^) ( − 5 − 3, 2 − 0, 1 − −( 2) (^) ) = (^) ( −8, 2,3)
v 1 (^) =( x 1 , y 1 ) y
→ v 2 (^) = ( x 2 , y 2 )
→
→ →^2
→
→
→ → v 1 (^) − v 2 ?.
x
y
z
v → 1 (^) = ( x 1 , y 1 , z 1 )
v → (^) 2 =( x 2 , y 2 , z 2 )
→ → v 1 + v^2
→ v 1
→ v 3
→
\ n
→ → → → v 1 + v 2 = v 2 + v 1
→ → → → → → ⎟+ ⎠
⎜ ⎞ ⎝
⎟=⎛^ + ⎠
⎜ ⎞ ⎝
→ = " (^) )
⎛ →⎞ ∃ −⎜ ⎟∈ ⎝ ⎠
v n \
∀ ∈ \
→ → → ⎟= ⎠
⎜ ⎞ ⎝
v + ⎛ − v 0
1.4.2 MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
Sea α ∈ \ y sea v (^) ( x 1 (^) , x 2 , , xn un vector de.
→ = " (^) ) \ n
α v α ( x 1 (^) , x 2 (^) , , xn (^) ) (α x 1 (^) , α x 2 , ,α xn
→ = " = " (^) )
Sea^ → v = (^) ( −5, 2,1 (^) ) un vector de IR^3 , hallar 3 → v
3 v^ →= 3 ( −5, 2,1 ) = (−15, 6,3 )
Sean v^ → 1 y v^ → 2 dos vectores de IR^3 tales que: v^ → 1 = (^) ( 3, 0, − (^2) ) y v^ → 2 = −( 5, 2,1). Hallar el vector v^ →^ = 2 v → 1 (^) − 3 v → 2 SOLUCIÓN :
( ) ( ( )
v v v v v
→ → → → →
)
Si α^ ∈ R y v^ → ∈ \ 2 o → v ∈ ^3 , entonces:
→ α v representa un vector de mayor
→
→ α v representa un vector de
→
→ α v representa un vector de mayor
→
→^ →
Hallar un vector unitario u^ → para el vector^ → v =(1, 2,3) SOLUCIÓN : Aplicando la fórmula u v v
→^ → = (^) → tenemos:
(1, 2,3) 14 (^1) (1, 2,3) 14 (^1) , 2 , 3 14 14 14
u u u
→ → →
comprobando
u u u
→ → →
→
→
→
→
^ n
→ →
Si v 1^ ( x 1^ ,^ x 2^ ,^ ,^ xn ) y
= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )
= " (^) ; y si son
( ) ( ( ) (
, , , , , , , , , , , ,
v k v x x x k (^) )
)
y y y x x x ky ky ky
=
" " " "
1 2 1 2
n n
El vector v → 1 (^) =( 3 ,− 2 ) es paralelo al vector v → 2 (^) =( 6 ,− 4 )porque (^) v → 2 = 2 v → 1 o también porque 36 =−−^42 = 2
Por otro lado. Note que cualquier vector de^ R^^2 , , puede ser
v = ( x , y
→ )
)
= ( 1 , 0 )
→ i =( 0 , 1 )
→ j
( ) ( ) ( ) → →
→
= +
= = +
xi y j
v x , y x 1 , 0 y 0 , 1
El vector → v =( (^2) , − 3 puede ser expresado de la forma → v = 2 i − 3 j
Un vector de R^3 , , puede ser expresado en término de los
v = ( x , y , z
→ )
) k
= ( 1 , 0 , 0 )
→ i (^) =( 0 , 1 , 0 )
→ j =( 0 , 0 , 1 )
→
( ) ( ) ( ) ( ) → → → →
→
= + +
= = + +
v xi y j z k
v x , y , z x 1 , 0 , 0 y 0 , 1 , 0 z 0 , 0 , 1
El vector^ → v = (2, −5,3 también se lo puede denotar de la forma v^ → = 2 i − 5 j + 3
α+ β=
α+ β= 3 2 1
α =^3 13 Resolviendo el sistema, obtenemos: yβ =^2
Por tanto ( 1 , 1 ) 133 ( 1 , 3 ) 132 ( 5 , 2 )
1 2 = +
→ v = α v → +β v →
a) u^ →^ −→ v c) u^ →^ − w →^ −→ v b) 3 v^ →^ + 5 w → d) 2 u^ →^ − 4 v →^ + 7 w →
v^ → 4
a) − 5 , − 3 ,− 8 b) − 5 , 3 ,− 8 c)− 5 , − 3 , 8 d) 5 , − 3 ,− 8 e)− 5 , − 3 ,− 6
Entonces un vector tal que
→ v v → 1 − 2 v → (^2) − v → 3 + v → (^) = v → 4
, es:
para que la combinación sea verdadera:
a b → v 3 = a v → 1 (^) + b v → 2 a) a = 203. b = 7 d) a = −^14 3. b =^133 b) a = 18. b =− 7 e) Elija esta opción si a y b no existe c) a = 20 3. b =− 7
→ v (^1) = ( 1 , − 2 , 2 ) ; v → (^2) = ( 2 , − 2 , 0 ) ; v →→ (^3) = ( 0 , 1 , 7 ) ; v →= (− 2 , 5 , 3) k (^) 1 v^ →^1 + k (^) 2 → v^2 + k (^) 3 → v 3 = v ; el valor de debe ser:^1
k + k + k a) -2 b) -5 c) -1 d) 5 e) 2
1.4.3 PRODUCTO PUNTO (PRODUCTO ESCALAR)
Sean v 1^ ( x 1^ ,^ x 2^ ,^ ,^ xn ) y
= " v 2 (^) ( y 1 (^) , y 2 , , yn )
= "
→
n^ →
→ →
1 2 (^1 2 3 )^ ( 1 2 3
1 2 1 1 2 2 3 3
n n
→ →
→ →
)
Si v 1 ( 3,1) y entonces
→ = v 2 ( 1, 4
→ = − (^) ) v 1 (^) v 2 ( )( (^3 1) ) (^) ( )( (^1 4) ) 3 4
Hallar v^ → 1 (^) • v → 2 para v^ → 1 = (^) ( 3, 0, − (^2) ) y v^ → 2 = −( 5, 2,1) SOLUCIÓN :
1 2 1 2 1 2 1 2
v v v v v v v v
→ → → → → → → →
Sean v^ → 1 y v^ → 2 dos vectores de \ n tales que: v^ → 1 = (^) ( −2,1,3, − (^1) ) y v 1 (^) v 2 (^ →^ • → v 2 3, 0, 1, 2 →= − (^) ). Hallar SOLUCIÓN: 1 2 1 2
v v v v
→ → → →
− = + − θ
→ → → → → → 2 1 2 cos
2 2
2 1
2 v 2 v 1 v v v v
− • =− θ
⎟= • + • − θ ⎠ ⎜ ⎞ ⎝ ⎟•⎛^ − ⎠ ⎜ ⎞ ⎝
⎛ (^) −
→ → → →
→ → → → → → → → → → → → → →
→ → → → → → → → → →
2 2 cos
2 cos
2 cos
1 2 1 2
2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2
2 1 2 1 1 1 2 2 1 2
v v v v
v v v v v v v v v v v v v v
v v v v v v v v v v
1 2 1 2 cos^ θ
→ → → →
Hallar el ángulo θ que forman los vectores → v 1 (^) = ( 1 , 3 ) y v → 2 =(− 3 ,− 1 ) SOLUCIÓN: Aplicando la propiedad tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )^2
cos^1 ,^33 ,^1 1 2
θ = • = •− − → →
→ →
v v
v v
Por tanto:
2 56 arccos 3 = π ⎟⎟⎠
θ= ⎛ −
⎛⎜⎝ 3 → v 1^ − 2 v → (^) 2 ⎞⎟⎠ (^) • ⎛⎜⎝ v → (^) 2 − 2 → v 1 ⎞⎟⎠ es: a) 13 b) -39 c) -68 d) 39 e) -
2 2 ⎛⎜⎝^ → v 1^ • v → (^) 2 ⎞⎟⎠^ v → (^) 2 − 2 ⎡⎢⎣^ ⎛⎜ (^) ⎝ v → (^) 1 + v → (^) 2 ⎞⎟⎠•→ v 3 ⎤⎥⎦
que: y
→ v 3 v^ → (^) 1 • v → 3 = 38 → v^3 • v → 2 = 34 es:
2 2 3 v^ → (^) 1 − 4 ⎛⎜⎝^ v → (^) 1 • v →^2 ⎞⎟⎠^ − 6 ⎛⎜⎝^ v →^2 • v →^3 ⎞⎟⎠ − 2 → v 3 se obtiene como resultado: a)54 b)110 c)84 d)184 e)
→
→ →
→
→ →
Los vectores v^ → 1 = (1, 2, −1) y v^ → 2 = −( 3, 2,1) son ortogonales, porque v 1 (^) v 2 (1)( 3) (2)(2) ( 1)(1) 0
→ →
→ v 1
→ v 2
