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O BJE T I V O
Resolver proble mas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades ym étodos adecuados para
cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.
C O N T E NI D O :
1.1 ALGEBRA DE MATRICES
1.2 CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS
1.3 MATRIZ TRANSPUESTA
1.4 MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA
1.5 TRAZA DE UNA MATRIZ
1.6 POTENCIA DE UNA MATRIZ
1.7 CUESTIONARIO
1. 1 A L G E B R A D E M A T RI C ES
En esta sección se introduce terminología básica, se define unamatriz, matriz identidad ymatriz escalar. S e define
y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, ade más, enunciare mos las propiedades más
importantes.
Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras
mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para
designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma a ij
. No
existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener.
D E F INI C I O N 1. 1. 1
Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n
filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la
i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij , siendo este elemento,
un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = ( a ij
Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es
su orden o forma y lo expresamos como
11 12 1
21 22 2
1 2
m
m
n n n m
a a a
a a a
a a a
A
En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto
K , es una aplicación a : A x B o K que asocia a cada par ( i, j) el número a ij
. Los
elementos horizontales a i 1
, a i 2
, ..., a im
representan las filas de la matriz y los
elementos verticales a 1 j , a 2 j , ..., a nj representan las columnas. Así, la letra i representa
la fila y la j representa la columna.
Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz
tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por
A = ( a i 1
a i 2
... a im
Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por
1
2
j
j
nj
a
a
a
A.
En particular, un elemento a ij puede considerarse como una matriz de una fila y una
columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en
correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan
sus elementos.
A continuación se dan algunos tipos de matrices:
A ;
B ;
C ; D 1 2 9 ,
siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3.
D E F INI C I O N 1. 1. 2
Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal
principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y
se denota como I = (G ij
), donde
1, si
0, si
ij
i j
i j
G
z ¯
, G se denomina delta de
Kronecker.
Matrices de este tipo se dan a continuación:
2
I ;
3
I ;
4
I ; etc.
D E F INI C I O N 1. 1. 3
Una matriz cuadrada que tiene el número D K diferente de cero, como
elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se
denomina matriz escalar y se denota como E = DI.
Este tipo de matrices tienen la siguiente forma:
2
a
a
a
E ;
3
a b
a b a b
a b
E ; etc.
La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas
puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que
aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son
también las más útiles.
una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por
c ij = a ij
D E F INI C I O N 1. 1. 5
Dadas A = ( a ij
), B = ( b ij
) y C = ( c ij
), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = ( a ij
) + ( b ij
) = ( a ij
) = ( c ij
), i, j N
a la matriz C se le denomina adición de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los
correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la
siguiente manera:
C = A + B
11 1 2 1 11 12 1
21 2 2 2 21 22 2
1 2 1 2
m m
m m
n n n m n n n m
b b b a a a
b b b a a a
a a a b b b
11 11 1 2 1 2 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
m m
m m
n n n n n m n m
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar
solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas
que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos.
EJ E M P L O 1. 1. 3
Dadas las matrices
i
i
S en
S
S
A y
Tan i
Cos i Tan
§ S ·
¨ S ¸
S S
B
Determine A + B.
SO L U C I O N
Tan i
i
i
S en Cos i Tan
§ S ·
S ¨ S ¸
S S S
A B
Tan i i
i
i i i
i
S en Cos i Tan
S
S S S
S S S
T E O R E M A 1. 1. 1
Sean las matrices A = ( a ij ), O = ( o ij ) de igual orden, entonces
A + O = O + A = A.
D E M OST R A C I O N
Sean A, O matrices de igual orden, entonces
A + O = ( a ij ) + ( o ij
= ( a ij
= ( o ij
= ( a ij
= A.
T E O R E M A 1. 1. 2
Si A = ( a ij ) y B = ( b ij ) son matrices de igual orden, entonces la adición de
matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A.
D E M OST R A C I O N
Sean las matrices A, B de igual orden, entonces:
A + B = ( a ij ) + ( b ij
= ( a ij
= ( b ij
= ( b ij
) + ( a ij
= B + A.
T E O R E M A 1. 1. 3
Si A = ( a ij
), B = ( b ij
), C = ( c ij
) son matrices de igual orden, entonces la adición
de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C.
D E M OST R A C I O N
Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces:
A + (B + C) = ( a ij
) + ( b ij
) + ( c ij
= ( a ij ) + ( b ij
= ( a ij
= ( a ij
= (( a ij
) + ( b ij
)) + ( c ij
= (A + B) + C.
% CALCULAR LA SUMA DE MATRICES
clc;;clear;;
fprintf('\n SUMA DE MATRICES \n')
fil=input('Ingrese el numero de filas de las Matrices A y B: ');;
col=input('Ingrese el numero de columnas de las Matrices A y B: ');;
%Ingreso de elementos
fprintf('Matriz A:\n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');;
end
end
fprintf('Matriz B:\n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(f,c)=input(' :');;
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n')
B
k A = k( a ij
= ( ka ij
= ( a ij
k)
= ( a ij ) k
= A k.
EJ E M P L O 1. 1. 5
Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres
y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro 3 5 6
Azul 2 3 4
Rojo 5 1 3
La producción en la planta B está dada por
Hombres Mujeres Niños
Negro 2 3 3
Azul 4 2 5
Rojo 1 3 2
a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de
sacos en ambas plantas.
b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre
la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco.
SO L U C I O N
a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan
las plantas A y B:
b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices
A B.
EJ E M P L O 1. 1. 6
El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las
cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la
directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar
las nuevas tarifas.
SO L U C I O N
Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir;
1.12 P 1.12 75 62 35 55 84 69, 44 39, 2 61,6.
EJ E M P L O 1. 1. 7
Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La
producción en miles en su planta A está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 20 32 25
Modelo 2 15 15 29
Modelo 3 12 27 30
La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1 35 42 19
Modelo 2 25 35 25
Modelo 3 12 18 21
a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas.
b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una
vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la
producción en la planta C.
c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
SO L U C I O N
a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas
matrices
b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es
decir
c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las
matrices A, B y C, es decir:
A B C
EJ E M P L O 1. 1. 8
Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en
los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su
producto de una planta a una bodega está dado por la matriz
Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV
Bodega P 13 12 17 12
Bodega Q 19 17 13 15
Bodega R 8 9 11 13
Bodega S 19 21 9 15
a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por
unidad, ¿cuál es la nueva matriz?
b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos.
SO L U C I O N
a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos
b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir
11 11 1 2 1 2 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
m m
m m
n n n n n m n m
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
D E F INI C I O N 1. 1. 7
Una matriz B = ( b ij
) que, dada una matriz A = ( a ij
) cumple la ecuación
matricial
( o ij
) = ( a ij
) + ( b ij
), para todo i, j N
recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A.
La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como
esperará el lector: A ± B es la matriz cuyos elementos son a ij ± b ij
. Se observa
también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas,
como
A ± B = A + (-B).
Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos.
D E F INI C I O N 1. 1. 8
Dadas A = ( a ij
), B = ( b ij
) y C = ( c ij
), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = A - B = ( a ij
) - ( b ij
) = ( a ij
± b ij
) = ( c ij
), i, j N
a la matriz C se le denomina resta de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término
los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la
siguiente manera:
C = A - B
11 1 2 1 11 1 2 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
m m
m m
n n n m n n n m
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
11 11 1 2 1 2 1 1
21 21 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
m m
m m
n n n n n m n m
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las
matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí
que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B.
E J E M P L O 1. 1. 9
Dadas las matrices
A y
B.
Determine la matriz M tal que A - 2 M = 3B.
SO L U C I O N
Como A ± 2 M = 3B, entonces:
2 M = A ± 3 B
M A B
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos:
M
EJ E M P L O 1. 1. 10
Dadas las matrices
S en Cos
Cos S en
S S
S S
A ,
Tan S en
S en Tan
S S
S S
B.
Determine A - B.
SO L U C I O N
S en Cos Tan S en
Cos S en S en Tan
S S S S
S S S S
A B
2
1 2
2
2
2 1
2
§ ·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
EJ E M P L O 1. 1. 11
Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas
máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario:
Coca - Cola Fanta Sprite
Maquina I 65 32 84
Maquina II 92 65 36
Maquina III 45 72 93
Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada
máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es
Coca - Cola Fanta Sprite
Maquina I 53 25 70
Maquina II 80 60 30
Maquina III 35 65 85
donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende
cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día.
SO L U C I O N
La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera:
Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de
Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente:
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m m n
B B B
B B B
B
B B B
supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B
son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las
matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo
ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto
11 11 12 12 1 1
21 21 22 22 2 2
1 1 2 2
n n
n n
m m m m m n m n
A B A B A B
A B A B A B
A B
A B A B A B
% CALCULAR LA RESTA DE MATRICES
clc;;clear;;
fprintf('\n RESTA DE MATRICES \n')
fil=input('Ingrese el numero de filas De las Matrices A y B: ');;
col=input('Ingrese el numero de columnas De las Matrices A y B: ');;
%Ingreso de elementos
fprintf('Matriz A:\n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c)
A(f,c)=input(' :');;
end
end
fprintf('Matriz B:\n')
for f=1:fil
for c=1:col
fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c)
B(f,c)=input(' :');;
end
end
fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n')
A
end
fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n')
B
end
fprintf('LA MATRIZ DIFERENCIA C ES:\n')
C=A B
End
Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un
escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse
la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz
como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una
guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada
de multiplicar dos matrices.
D E F INI C I O N 1. 1. 10
Dadas A = ( a ij
) y B = ( b ij
), matrices en las cuales el número de columnas de
A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz
C = ( c ij
) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de
B, denotada
ij ik kj
k
c a b
C , para todo i, j .
De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos
matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera
matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición
necesaria y suficiente para que el producto A B esté definido, es que el número de
columnas de A sea igual al número de filas de B.
Para formar los elementos de la primera fila de la matriz A B se han multiplicado
ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada
columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo
análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de
cada una de las restantes filas de A B. La notación formal se expresa como
C = A B y sus elementos se determinan de la siguiente manera:
11 1 2 1 11 1 2 1
21 2 2 2 21 2 2 2
1 2 1 2
p m
p m
n n n p p p p m
a a a b b b
a a a b b b
a a a b b b
C A B
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
k k k k k k m
k k k
k k k k k k m
k k k
n k k n k k n k k m
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los
factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es
conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el
producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el
orden contrario, no lo tenga.
E J E M P L O 1. 1. 13
Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = DA + EI, donde D y E son escalares,
entonces A B = B A.
SO L U C I O N
Calculamos el producto matricial A B, previamente reemplazando la identidad de B y
obtenemos el resultado requerido:
A B = A(DA + EI) = DA
2
- EA I = (DA + EI)A = B A.
E J E M P L O 1. 1. 14
Si
A y
B.
Hallar matrices C y D de orden 2, tales que A C = B y D A = B.
SO L U C I O N
Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos
son desconocidos y los establecemos como sigue:
a b
c d
a c b d
a c b d
e f
g h
e f e f
g h g h
De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
E J E M P L O 1. 1. 17
Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones?
a.- (A + B)
2
= A
2
+ 2A B + B
2
; b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A
2
- B
2
SO L U C I O N
a.- (A + B)
2
= (A + B)(A + B) = A A + A B + B A + B B si A B = B A
= A
2
+ 2A B + B
2
b.- (A + B)(A - B) = A A - A B + B A - B B si A B = B A
= A
2
- B
2
(A - B)(A + B) = A A + A B - B A - BB si A B = B A
= A
2
2
.
EJ E M P L O 1. 1. 18
Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas;
demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que:
(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A C + A D + B C + B D.
Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones?
SO L U C I O N
Realizamos el producto
(A + B)(C + D) = A C + A D + B C + BD
= (A C + A D) + (B C + B D)
= A(C + D) + B(C + D)
Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p.
E J E M P L O 1. 1. 19
Si A, B, C son tres matrices tales que A C = C A y B C = C B, pruébese que:
(A B ± B A)C = C(A B ± B A).
SO L U C I O N
Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el
producto, entonces:
(A B ± B A)C = A B C ± B A C = A C B ± B C A = C A B ± C B A = C(A B ± B A).
EJ E M P L O 1. 1. 20
Dadas las matrices
A ,
B ,
C.
Muestre que A C = B C, sin embargo, A z B.
SO L U C I O N
Primero realizamos el producto A C y luego B C:
A C ;
B C.
De esta manera queda demostrado que A C = B C sin que A = B.
E J E M P L O 1. 1. 21
Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - DI y B - DI conmutan para un cierto
escalar unidad.
SO L U C I O N
Realizamos los productos correspondientes a (A - DI)(B - DI) y (B - DI)(A - DI):
(A - DI)(B - DI) = (B - DI)(A - DI)
A B - DA I - DIB + D
2
II = B A - DB I - DI A + D
2
II
A B - DA - DB + D
2
I
2
= B A - DB - DA + D
2
I
2
A B = B A.
EJ E M P L O 1. 1. 22
Sea
a b
c d
A una matriz de 2 x 2 con ad ± bc z 0. Encuentre una matriz B tal
que A B = B A = I.
SO L U C I O N
Realizamos los productos A B = I y B A = I, luego resolvemos los sistemas de
ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos:
a b x y
c d z u
A B
ax bz
cx dz
ay bu
cy du
d c
x z
ad bc ad bc
b a
y u
ad bc ad bc
x y a b
z u c d
B A
ax cy
bx dy
az cu
bz du
d c
x z
ad bc ad bc
b a
y u
ad bc ad bc
Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente:
d b
ad bc ad bc
c a
ad bc ad bc
B.
E J E M P L O 1. 1. 23
Demuestre que si A B = O y B z O, no existe ninguna matriz C tal que C A = I.
SO L U C I O N
Si A = O por ser B z O, la no existencia de la matriz C para que C A = I, es obvia. Si
A z O y B z O, entonces A z O, C A z C O, C A z O para que C A = I
necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos
obtener C A = I.
E J E M P L O 1. 1. 24
Sea A una matriz de n x n. Suponga que A B = B para toda matriz B de n x n.
Pruebe que A = I.
SO L U C I O N
Tenemos que:
A B = B A B ± B = O (A ± I)B = O.
Por hipótesis B z O, entonces A ± I = O, de donde A = I.
E J E M P L O 1. 1. 25
Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que
A B = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de
n x m, tales que A B es la matriz identidad de m x m. Demuestre que B A no es la
matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m z n, entonces A B y B A no
pueden ser ambas matrices identidad.
SO L U C I O N
Sea
A y
a b
c d
e f
B , entonces:
respectivamente, y por cada unidad de Q 3
son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que
la empresa produce 28 unidades de Q 1 , 18 unidades de Q 2 y 39 unidades de Q 3 a la
semana.
a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b.- Si los costos por unidad para P 1
, P
2
y P 3
son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuá-
les son los costos de las materias primas por unidad de Q 1
, Q
2 y Q 3
c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la produc-
ción de Q 1
, Q
2 y Q 3
SO L U C I O N
a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A
de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto
y luego realizamos el producto A B
A B.
b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la
siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de
costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir
B C.
c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada
a la semana en la producción de los tres productos
P
1
+ P
2
+ P
3
EJ E M P L O 1. 1. 29
Demostrar que la igualdad A B ± B A = I es imposible.
SO L U C I O N
Sea
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
A ,
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n n n
b b b
b b b
b b b
B ,
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
nk k nk k nk kn
k k k
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
A B ,
1 1 1 2 1
1 1 1
2 1 2 2 2
1 1 1
1 2
1 1 1
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
k k k k k kn
k k k
n n n
nk k nk k nk kn
k k k
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a
B A.
Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz A B es igual a
1 1
n n
ik ki
i k
a b
, que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la
matriz B A. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz
A B ± B A es igual a cero, y la igualdad A B ± B A = I es imposible.
T E O R E M A 1. 1. 7
Sean A = ( a ij ), B = ( b ij ) y C = ( c ij ), matrices compatibles para el producto,
entonces (A B)C = A(B C).
D E M OST R A C I O N
Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = B C, entonces para todo i,
j natural
1
m
ij ik kj
k
d b c
Sea E = A D, entonces para todo i, j natural
1 1 1 1 1
m m m m m
ij ir rj ir rk kj ir rk kj
r r k r k
e a d a b c a b c
Por otra parte, sea F = A B, entonces para todo i, j natural
1
m
ij ik kj
k
f a b
Sea G = F C, entonces para todo i, j natural
1 1 1 1 1
m m m m m
ij ir rj ik kr rj ik kr rj
r r k r k
g f c a b c a b c
Obtenemos E = G y, por tanto (A B)C = A(B C).
De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden
determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos
hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de
un número mayor de matrices.
T E O R E M A 1. 1. 8
Sean A = ( a ij ), B = ( b ij ) y C = ( c ij ), matrices compatibles para el producto y
suma respectivamente, entonces
A(B + C) = A B + A C.
D E M OST R A C I O N
Sea D = B + C, entonces ( d ij ) = ( b ij
- c ij ). Si E = A D, entonces
1
m
ij i k k j
k
e a d
1
m
i k k j i k k j
r
a b a c
1 1
m m
i k k j i k k j
r r
a b a c
= AB +A C.
T E O R E M A 1. 1. 9
Sean A = ( a ij
), B = ( b ij
) y C = ( c ij
), matrices compatibles para la suma y el
producto respectivamente, entonces
(B + C)A = B A + C A.
D E M OST R A C I O N
Sea D = B + C, entonces ( d ij
) = ( b ij
). Si E = D A, entonces
