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Explicar de manera precisa y clara qué es una función en matemáticas y cuáles son sus componentes fundamentales, como el dominio, el condominio y la relación entre las variables. Presentar y analizar diversos tipos de funciones, desde funciones lineales y cuadráticas hasta funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Tipo: Ejercicios
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Reflexión: para cada actividad de aprendizaje no te olvides de tus cinco (5) autos: AUTONOMÍA, AUTODISCIPLINA, AUTOAPRENDIZAJE, AUTOMOTIVACION, AUTOESTIMA. LA UNIVERSIDAD TE EXIGIRÁ: PENSAR – AMAR - ACTUAR TEMAS DE LA CUARTA UNIDAD.
Las funciones son una piedra angular de las matemáticas, una herramienta poderosa que nos permite entender y modelar relaciones entre variables en una amplia gama de situaciones. En este trabajo, exploraremos en detalle qué son las funciones, cómo se definen y representan, y cómo se aplican en diversos contextos matemáticos y científicos. Desde ecuaciones lineales simples hasta funciones trigonométricas complejas, las funciones desempeñan un papel esencial en la resolución de problemas y el análisis de datos. A lo largo de este estudio, descubriremos cómo las funciones se utilizan para describir fenómenos del mundo real, analizar tendencias y patrones, y resolver ecuaciones algebraicas. Además, exploraremos conceptos relacionados, como dominio, condominio, gráficos de funciones y aplicaciones prácticas en campos como la física, la economía y la ingeniería. Este trabajo busca proporcionar una comprensión sólida de las funciones matemáticas y su importancia en el mundo de las matemáticas y más allá. OBJETIVO GENERAL Explicar de manera precisa y clara qué es una función en matemáticas y cuáles son sus componentes fundamentales, como el dominio, el condominio y la relación entre las variables. Presentar y analizar diversos tipos de funciones, desde funciones lineales y cuadráticas hasta funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Presentar y analizar diversos tipos de funciones, desde funciones lineales y cuadráticas hasta funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Explicar cómo se combinan y componen funciones para crear nuevas funciones y resolver problemas más complejos. Demostrar cómo utilizar funciones para resolver ecuaciones matemáticas y aplicar este conocimiento en problemas prácticos. Destacar ejemplos de cómo las funciones se utilizan en situaciones cotidianas, como modelar el crecimiento poblacional, las tasas de interés, el movimiento de objetos y más. Destacar cómo las funciones son una herramienta esencial para la toma de decisiones basadas en datos y el análisis de tendencias.
1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: Para comprender el concepto de función primero tenemos que hablar sobre qué es una relación. Una relación está dada por la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas. La formulación de una expresión que uno dos o más objetos entre sí establece una relación. Teniendo claro el concepto de función podemos definir que toda función es una relación, pero no toda relación es una función. Entonces bien, una función es una relación establecida entre dos conjuntos (sean A y B los conjuntos) que asigna a cada valor del conjunto A (variable independiente) un único valor del segundo conjunto B (variable dependiente). “No pueden sobrar ni repetir elementos en el conjunto de salida”. EJEMPLOS: Explicación: Estos ejemplos se consideran como funciones porque todos los elementos del conjunto de salida (variable independiente) se asocian con al menos un elemento del conjunto de llegada (variable dependiente). Ningún elemento de la variable dependiente sobra o se repite.
Son elementos de una función que permiten describir y entender cómo una entrada se relaciona con una salida en un contexto matemático. Estos conceptos están relacionados entre sí y se utilizan para describir y comprender cómo funciona una función en su conjunto. DOMINIO: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que pueden ser utilizados como entrada o argumento en la función. En otras palabras, es el conjunto de valores para los cuales la función está definida. El dominio establece las restricciones sobre qué valores se pueden introducir en la función sin causar errores o indefiniciones. CODOMINIO: El codominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles que la función puede devolver como resultado o imagen. En otras palabras, es el conjunto de valores a los que la función puede mapear los elementos del dominio. El codominio es una especificación de los resultados posibles de la función. RANGO: El rango de una función, también conocido como recorrido, es el conjunto de todos los valores que la función realmente toma como resultado después de aplicarla a elementos del dominio. En otras palabras, es el conjunto de imágenes reales obtenidas al evaluar la función con los elementos del dominio. El rango se deriva de la función y es un subconjunto del codominio. Muestra los valores reales que la función efectivamente produce. EJEMPLOS: Entonces, en el ejemplo podemos ver que el conjunto de valores "X" (variable independiente) es el dominio , el conjunto de valores "Y" (variable dependiente) es el codominio y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos realmente por la función) son el rango. De esta forma tenemos que: Dominio: Es el conjunto de salida o partida de la función, también conocido como conjunto de preimágenes. Codominio: Es el conjunto de llegada de la función.
Rango o Recorrido: Es el conjunto formado por elementos del codominio, que son la imagen de los elementos del dominio.
4. En teoría de funciones, se utilizan tres términos importantes para describir ciertas propiedades de las funciones entre conjuntos. Estos términos son: inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. A continuación, explicamos cada uno de ellos: Función inyectiva: La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones «uno a uno». No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X. Función sobreyectiva: Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todos los elementos del conjunto final Y tienen al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su recorrido o rango. Por lo tanto, también será sobreyectiva:
Si esta persona va “bajando”, la función es decreciente. Vea el ejemplo de la derecha.
NOTA: Si una personita sube y baja en una misma función, esta no es creciente ni decreciente, pero puedes determinar valores de 𝑥 para los cuales es creciente y valores 𝑦 para los cuales es decreciente.
6. FUNCIÓN LINEAL Definición: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio son también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.
La forma matemática de una función lineal se expresa como:
Donde:
decreciente.
línea recta en un plano cartesiano. PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL: La pendiente de una función lineal está
de inclinación en la gráfica y es un valor que permanecerá constante sin importar
tenga la función sobre el eje horizontal. La pendiente de una función lineal está determinada por el cociente entre el
Para calcular la pendiente de una función lineal, puedes se pueden seguir estos pasos: I. Se elijen dos puntos distintos en la línea. Estos puntos deberían tener
De esta forma obtenemos que la ecuación de la
7. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN AFÍN: Una función afín es una función polinómica de primer grado que no pasa por el origen de coordenadas (0, 0). En otras palabras, las funciones afines son las líneas rectas que no pasan por el origen del sistema de coordenadas.
de cero.
y dejaría de ser función de primer grado (función afín) para convertirse en una función constante.
dejaría de ser una función afín y resultando en una función lineal. Para graficar una función afín utilizamos la ayuda que nos brinda el software GeoGebra y obtenemos el siguiente ejemplo: En el gráfico, la línea recta se inclina hacia arriba con una pendiente de 2 y cruza el eje
8. LA FUNCIÓN CONSTANTE: Una función constante es un tipo de función matemática en la que la imagen o el valor de la función es siempre el mismo para todos los valores de la variable independiente (x).
Donde:
Ejemplo para calcular la pendiente
b) Tipo de función: Función afín. c) Tipo de función: Función lineal. d)
11. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CUADRÁTICA: La función cuadrática, también conocida como función de segundo grado, es una función que tiene la forma de f(x) = ax^2 + bx + c. A este tipo de función se le denomina de segundo grado porque el máximo exponente que tiene la variable independiente en este tipo de funciones es 2. La función cuadrática se caracteriza porque los valores del rango de la función bajan y luego de haber pasado por el centro de la función vuelven a subir, o viceversa; esto dependerá de la dirección de la función. Debido al comportamiento de la función cuadrática, al graficarla tiene una forma de ramas que se va abriendo y a esta forma se le conoce como parábola. La ecuación de toda función cuadrática se divide en 3 partes que se les llamará términos. Estos términos son las constantes "a", "b" y "c", donde "a" será el número que se encuentra multiplicando (al lado) de "x^2 ", "b" es el término que está multiplicando a "x" y "c" será el número que está solo. Algo que se aplica en cada término es que, si no hay ningún número al lado de las variables "x^2 " o "x", entonces se intuye que el término de cada parte equivale a 1, porque cuando el valor del término es 1, por lo general este no se escribe; en cambio, cuando no hay ninguna "x" o un número solo, se entiende que el valor de cada uno de los términos es 0. Por ejemplo, si se tiene la función f(x) = 6x^2 + 3x , los términos de esta función son: a=6, b=3 y c=0, y en f(x) = x^2 + 3 , los términos de esta función cuadrática son: a=1, b=0 y c=3. Es necesario aprender a encontrar estos términos al ver la ecuación de la función porque sabiendo cada uno de los términos se puede graficar o encontrar el dominio y rango de cualquier función cuadrática sin necesidad de realizar procesos que pueden llegar a ser más tediosos y complejos. Gráfico de la función cuadrática y=x²
b)
c)
15. RESPUESTA: La dirección de apertura de las ramas de una parábola en una función
La parábola se puede abrir de dos maneras distintas:
es positivo, la parábola se abre hacia arriba. La función cuadrática tiene un mínimo local que corresponde al vértice de la parábola. En este caso, la parábola tiene la forma de una "U" y se extiende hacia arriba en el plano cartesiano en los dos lados del vértice.
es negativo, la parábola se abre hacia abajo. La función cuadrática tiene un máximo local que corresponde al vértice de la parábola. En este caso, la parábola tiene la forma de una "∩" y se extiende hacia abajo en el plano cartesiano en los dos lados del vértice. El signo del elemento que contiene el grado indica si se trata de una función convexa o cóncava. Si el signo es positivo la función tendrá un mínimo en la X, y, por tanto, será cóncava. Si el signo es negativo la función tendrá un máximo en la X, y por tanto será convexa. También podemos pensar en que si la función es positiva indica que está feliz, entonces si dibujamos dos ojos encima del gráfico podemos identificarla como cóncava. Por el contrario, si la función es negativa, es decir, está triste, veremos que si le dibujamos dos ojos arriba en el gráfico podremos identificarla fácilmente:
Una función cúbica puede tener tres, dos o una raíz. Recordemos que las raíces de una
17. PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN CÚBICA: Los puntos críticos de una función cúbica son aquellos puntos en los que la derivada de la función es igual a cero o no está definida. Los puntos críticos son puntos donde la pendiente de la curva es horizontal, lo que significa que la función puede tener un máximo local, mínimo local o un punto de inflexión en la gráfica de la función en esos puntos.
2
Luego, para encontrar los puntos críticos, igualas la derivada a cero y resuelves la ecuación:
2
Se puede usar métodos algebraicos o la formula general cuadrática para resolver esta
posible que haya uno, dos o ninguna solución real.
función cúbica.
de los puntos críticos. Para obtener las coordenadas completas de los puntos críticos,
a) b)
