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70 Problemas de triángulos y trigonometría.
1 º). Bernardo conoce la distancia AB a la que está del árbol y los ángulos CBA y BAC; y quiere calcular la distancia BC a la que está de Carmen.
Datos: AB = 63m ,, CBA =42º ,, BAC = 83º
2 º). Bernardo ve desde su casa el castillo y la abadía. Conoce las distancias a ambos lugares, pues ha hecho el camino a pie muchas veces; y quiere averiguar la distancia del castillo a la abadía. Para ello debe, previamente, medir el ángulo CBA.
Datos: BC = 1.200m ,, BA = 700m ,, CBA = 108º.
3 º). Calcula, aplicando el teorema de Pitágoras:
a) Los lados iguales de un triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 1. b) La altura de un triángulo equilátero de lado 1.
Sin resolver las raíces.
4 º). Considera este triángulo:
a) Calcula la proyección de MN sobre MP. b) Halla la altura correspondiente a la base MP. c) Calcula el área del triángulo.
5º). Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base y hemos medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40º. ¿Cuánto mide el poste?
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
6º). Un árbol de 50m de alto proyecta una sombra de 60m de larga. Encontrar el ángulo de elevación del sol en ese momento.
7º). Un dirigible que está volando a 800m de altura, distingue un pueblo con un ángulo de depresión de 12°. ¿A qué distancia del pueblo se halla?
8º). Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6m tiene como arco correspondiente uno de 70°.
9º). Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 46º y BCA = 53º. ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
10º). Calcular el área de una parcela triangular, sabiendo que dos de sus lados miden 80m y 130m, y forman entre ellos un ángulo de 70°.
11º). Una señal de peligro en una carretera nos advierte que la pendiente es del 12%. ¿Qué ángulo forma ese tramo de carretera con la horizontal? ¿Cuántos metros hemos descendido después de recorrer 7km por esa carretera?
12º). En una ruta de montaña, una señal indica una altitud de 785m. Tres kilómetros más adelante, la altitud es de 1.265m. Halla la pendiente media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
20 º). Si queremos que una cinta transportadora de 25m eleve la carga hasta una altura de 15m, ¿qué ángulo se deberá inclinar la cinta?
21º). Al recorrer 3km por una carretera, hemos ascendido 280m. ¿Qué ángulo forma la carretera con la horizontal?
22 º). Una persona de 1,78m de estatura proyecta una sombra de 66cm, y en ese momento un árbol da una sombra de 2,3m.
a) ¿Qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal? b) ¿Cuál es la altura del árbol?
23 º). Calcula los lados iguales y el área de un triángulo isósceles cuyo lado desigual mide 24cm y el ángulo opuesto a la base mide 40º.
24 º). El lado de un rombo mide 8cm y el ángulo menor es de 38º. ¿Cuánto miden las diagonales del rombo?
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
25 º). Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40º y 65º. ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?
26º). En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5m y 8m de cada uno de los postes de la portería, cuyo ancho es de 7m. ¿Bajo qué ángulo se ve la portería desde ese punto?
27º). Los brazos de un compás, que miden 12cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
28 º). Calcula el área de cada uno de estos triángulos:
29 º). Hemos colocado un cable sobre un mástil que lo sujeta como muestra la figura. ¿Cuánto miden el mástil y el cable?
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
34 º). Dos antenas de radio están sujetas al suelo por cables tal como indica la figura. Calcula la longitud de cada uno de los tramos de cable y la distancia AE.
35 º). Dos edificios distan entre sí 150m. Desde un punto del suelo que está entre los dos edificios, vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de 35° y 20°. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?
36 º). Una escalera para acceder a un túnel tiene la forma y las dimensiones de la figura. Calcula la profundidad del punto B.
37). Las bases de un trapecio miden 17cm y 10cm y uno de sus lados 7cm. El ángulo que forman las rectas sobre las que se encuentran los lados no paralelos es de 32º. Calcula lo que mide el otro lado y el área del trapecio.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
38 º). Un avión vuela entre dos ciudades, A y B, que distan 80km. Las visuales desde el avión a A y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué altura está el avión?
39º). De un triángulo rectángulo se sabe que su área vale 864cm^2 y un cateto mide 48cm. Calcula las razones trigonométricas de sus ángulos.
40 º). Calcula los lados y los ángulos del triángulo ABC.
4 1º). En el triángulo ABC calcula h y a.
42 º). En el triángulo ABC halla x, h e y.
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47º). El lado de la base de una pirámide cuadrangular regular mide 6m y el ángulo APD = 60°. Halla su volumen.
48 º). Desde el lugar donde me encuentro, la visual de la torre forma un ángulo de 32° con la horizontal. Si me acerco 25m, el ángulo es de 50°. ¿Cuál es la altura de la torre?
49º). Calcula la altura de la luz de un faro sobre un acantilado cuya base es inaccesible, si desde un barco se toman las siguientes medidas:
− El ángulo que forma la visual hacia la luz con la línea de horizonte es de 25°. − Nos alejamos 200m y el ángulo que forma ahora dicha visual es de 10°.
50º). Para calcular la altura del edificio, PQ, hemos medido los ángulos que indica la figura. Sabemos que hay un funicular para ir de S a Q, cuya longitud es de 250m. Halla PQ.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
51 º). Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está el globo?
52 º). Para medir la altura de una montaña AB nos hemos situado en los puntos C y D distantes entre sí 250 m, y hemos tomado las siguientes medidas: ACB = 60º BCD = 65º BDC = 80º. Calcula la altura de la montaña.
5 3º). Desde un faro F se observa un barco A bajo un ángulo de 43° con respecto a la línea de la costa; y un barco B, bajo un ángulo de 21°. El barco A está a 5km de la costa, y el B, a 3km. Calcula la distancia entre los barcos.
54 º). Halla la altura de la torre QR de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación, con los datos de la figura.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
59º). En un rectángulo ABCD de lados 8 y 12cm, se traza desde B una perpendicular a la diagonal AC, y desde D, otra perpendicular a la misma diagonal. Sean M y N los puntos donde esas perpendiculares cortan a la diagonal. Halla la longitud del segmento MN.
En el triángulo ABC, halla C. En el triángulo BMC, halla MC. Ten en cuenta que: MN = AC - 2 MC
60º). Dos vías de tren de 1,4m de ancho se cruzan formando un rombo. Si un ángulo de corte es de 40°, ¿cuánto valdrá el lado del rombo?
61º). En un tetraedro regular, halla el ángulo que forman dos caras contiguas. (Observa que es el ángulo que forman las alturas concurrentes de esas dos caras).
62º). Queremos calcular la distancia entre dos puntos inaccesibles, A y B. Desde C y D tomamos los datos: CD = 300m, ADB = 25º, ACB = 32º, ACD = 46º, BDC = 40º. Calcula AB.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
6 3º). Halla el ángulo que forma la diagonal de un cubo de arista 6cm con la diagonal de la base.
64º). Halla el ángulo que forma la diagonal de la cara de un cubo y la diagonal del cubo.
Llama “l” a la arista del cubo y expresa, en función de la diagonal AD. Calcula sen α en el triángulo ADC.
65 º). Las tangentes a una circunferencia de centro O, trazadas desde un punto exterior, P, forman un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el radio de la circunferencia es 12,4cm.
70 Problemas de triángulos y trigonometría.
69 º). Dos circunferencias son tangentes exteriormente y sus radios miden 9m y 4m, respectivamente. Halla el ángulo 2α que forman sus tangentes comunes.
Los radios forman con las tangentes dos triángulos rectángulos. Como OP = 4 + x, se tiene:
Calcula x y después α.
70º). Calcula el ángulo que forma la tangente a las circunferencias de la figura con la línea que une sus centros. Los radios miden 4 y 9cm, y la distancia entre sus centros es de 16cm.
