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Probabilidad y Estadística - 2023-B

Sección 1: Estadística Descriptiva

Preparado por:

Cátedra de Probabilidad y Estadística - EPN

0. ÍNDICE GENERAL

• 1 Organización y Descripción de datos estadísticos
  • 1.1 Introducción
  • 1.2 Definiciones Generales
    • 1.2.1 Estadística
    • 1.2.2 Definiciones generales
    • 1.2.3 Variables y Atributos
  • 1.3 Análisis de datos
    • 1.3.1 Tablas de frecuencias
    • 1.3.2 Representaciones gráficas para variable cuantitativa de datos sin agrupar
    • 1.3.3 Representaciones gráficas para variable cuantitativa de datos agrupados
    • 1.3.4 Representaciones gráficas para variables cualitativas
    • 1.3.5 Medidas tendencia central
    • 1.3.6 Medidas de dispersión
    • 1.3.7 Medidas de forma

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Nos permite deducir conclusiones generales.

La evolución de la estadística ha llegado al punto en que su proyección se percibe en casi todas las áreas de trabajo. También abarca la recolección, presentación y caracterización de información para ayudar tanto en el análisis e interpretación de datos como en el proceso de la toma de decisiones. La estadística es parte esencial de la forma profesional, es hasta cierto punto una parte necesaria para toda profesión.

1.2. DEFINICIONES GENERALES

1.2.1.- ESTADÍSTICA

El vocablo Estadística deriva etimológicamente del latín “status”, que significa estado o situación, ya que en el principio los principales usos de la estadística provinieron de la motivación de los gober- nantes y los imperios de conocer la extensión de sus dominios, riquezas y su población (conocer el estado de su gobierno). Imperios como el griego, egipcio y el romano realizaban censos de población cada cierto tiempo con los cuales recopilan grandes cantidades de datos relativos a su población, su- perficie, posesiones agrícolas y ganaderas, así como también de las riquezas de todos los territorios bajo su control, generalmente con carácter militar o fiscal para la recaudación de impuestos. Luego, con el paso del tiempo en los siglos XVIII y XIX científicos importantes de la época como Copérnico, Galileo, entre otros, contribuyen al desarrollo de lo que se conoce como el método científico y con la implantación del mismo la estadística se convierte en un factor protagonista de la investigación y generación de gran parte de todo el conocimiento que ahora tenemos. En el presente, una de las características fundamentales de la estadística es su transversalidad a través de todas las áreas de la ciencia, ya que su metodología es aplicable al estudio de muchas disciplinas tales como la física, economía, sociología, etc. La estadística aplicada adecuadamente nos ayuda a obtener conclusiones relevantes para el estudio de todo tipo de fenómenos observables que pueden ser medidos. Así pues, la estadística aparece, a lo largo de la historia como un poderoso instrumento utilizado por gobiernos e instituciones o como elemento auxiliar de las distintas ciencias, ayudando a estas a desentrañar las grandes preguntas que la curiosidad del ser humano siempre ha perseguido; es decir: qué variables intervienen en un fenómeno, qué leyes rigen el comportamiento de las mismas y qué relación de dependencia hay entre ellas.

Definición de Estadística En la actualidad, podemos definir, en general, a la estadística como la ciencia que trata de la recopilación, organización, presentación, análisis e interpretación de datos que intervienen en un fenómeno, con el fin de realizar una adecuada descripción del mismo y así poder inferir, predecir resultados, comportamientos o tomar decisiones con respecto al fenómeno que se está investigando.

Ramas de la estadística Dentro de la estadística se distinguen dos ramas fundamentales:

Estadística Descriptiva: Es la parte de la estadística que incluye todos los métodos de recolec-

4 1.2. DEFINICIONES GENERALES

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

ción, organización, resumen y presentación de un conjunto de datos. Se trata principalmente de describir las características fundamentales de los datos y para ellos se suelen utilizar indica- dores, gráficos y tablas; también se la conoce como el análisis exploratorio de datos. Estadística Inferencial: Es la parte de la estadística que incluye todos los métodos utilizados para poder hacer predicciones, generalizaciones y obtener conclusiones a partir de los datos obtenidos de la observación de algún fenómeno, usa como punto de partida el análisis descrip- tivo de las muestras con observaciones del fenómeno investigado y en base a los resultados de este análisis poder deducir aspectos generales del fenómeno en sí, mediante el uso de estos métodos.

Ejemplo de uso de la estadística La estadística es ampliamente utilizada en muchas áreas de la ciencia, por ejemplo, en el análisis económico algunos ejemplos de su uso son:

Elaboración de indicadores macroeconómicos. Predicciones acerca del comportamiento futuro de la demanda de productos o servicios. Organizar y presentar datos económicos como: la evolución de los precios, el PIB, etc. En la epidemiología, por ejemplo: para estudiar la distribución de las enfermedades y los posi- bles factores de riesgos asociados. En el área de la salud, por ejemplo: el uso de estadísticas sanitarias para saber la razón de la muerte de las personas o cuales son las causas de enfermedades y traumatismos. Para abordar de mejor manera los problemas de salud y priorizar el uso de recursos sanitarios muy valio- sos. Para conocer las problemáticas de salubridad presentes en una comunidad, los factores de riesgo o predisposición a ciertas patologías y en la búsqueda de las respuestas a las mismas.

1.2.2.- DEFINICIONES GENERALES

Población: Conjunto o colección de objetos al que está referido un estudio estadístico. Puede es- tar constituida por cualquier tipo de elemento, es decir, por personas, pero también por objetos de cualquier tipo de naturaleza. Muestra: Cualquier subconjunto de una población. Si los elementos que componen la muestra son elegidos aleatoriamente y todos los elementos tienen la misma probabilidad de ser elegidos, entonces se trata de una muestra aleatoria simple. Individuo: Cada uno de los elementos que forman parte de la población, pudiendo ser algo con existencia real, como una persona, un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, una opinión, un voto o un sentimiento. Variable: Cualquier característica o propiedad que pueda ser estudiada en todos los elementos de la población, tales como el sexo, la edad, estatura, peso, color de pelo, nivel de estudios, entre otras.

1.2. DEFINICIONES GENERALES 5

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc.

Variables Cuantitativas o Numéricas: Son las que pueden ser descritas por medio de números, pudiendo ser:

Cuantitativas discretas: Aquellas a las que se les puede asociar un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo, nú- mero de hermanos, páginas de un libro, etc. Cuantitativas continuas: Aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cuales- quiera la variable pueda tomar cualquier valor intermedio, por ejemplo, peso, altura, tiempo, etc.

Para observar algunos ejemplos se puede revisar el siguiente enlace (Variables).

El valor cero de la variable cualitativa representa ausencia del atributo que se mide, y solo en este caso se tiene la propiedad de la proporcionalidad.

Un valor atípico es una observación extrañamente grande o pequeña. Los valores atípicos pue- den tener un efecto desproporcionado en los resultados estadísticos, como la media, lo que puede conducir a interpretaciones engañosas.

1.3. ANÁLISIS DE DATOS

En estadística descriptiva se tienen tres formas generales para presentar un conjunto de datos y estas son: en forma de datos individuales, en forma de datos agrupados y mediante representaciones gráficas.

Datos individuales: Cuando los datos se presentan explícitamente como una lista de valores. Datos agrupados: Cuando los datos están presentados mediante tablas, como en una tabla de frecuencias. Representaciones gráficas: Cuando un conjunto de datos se presentan gráficamente mediante histogramas, diagramas de barra, etc.

1.3.1.- TABLAS DE FRECUENCIAS

Una tabla de frecuencias o distribución de frecuencias es una herramienta que se emplea para resumir, mediante una tabla, numerosos datos de manera que se ponga de manifiesto la localización y la dispersión de las observaciones. Con una tabla de frecuencias se pueden resumir datos categóricos, nominales u ordinales. Si los datos son continuos se pueden resumir utilizando la misma técnica una vez que se los ha dividido mediante intervalos de clase.

Una tabla de frecuencias consta de dos columnas, en la primera se especifican los valores distintos en los datos (xi) de forma ascendente y en la segunda la frecuencia absoluta con la que aparecieron dichos valores ( fi).

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

A partir de la frecuencia absoluta, suelen construirse otras estadísticas, como:

La frecuencia relativa ( fr), que consiste simplemente en presentar la frecuencia absoluta en términos porcentuales. Considerando como el cien por ciento al tamaño de la muestra (N). La frecuencia absoluta acumulada (F), que consiste en ir realizando una suma acumulada de las frecuencias absolutas a través de las categorías, ya sea en forma ascendente o descendente. Y, de una forma similar se puede construir también la frecuencia relativa acumulada (Fr).

Ejemplo 2. Supongamos que el número de hijos de una muestra de 20 familias es el siguiente:

2 1 1 3 1 2 5 1 2 3 4 2 3 2 1 4 2 3 2 1

Realizar el análisis descriptivo.

Solución. Ahora vamos a proceder a realizar un análisis descriptivo del comportamiento del número de hijos por familia, tenemos que el tamaño de la muestra es N = 20, para resumir el conjunto de datos individuales utilizaremos una tabla de frecuencias, podemos ver que el menor número de hijos que se observó fue de 1 y el máximo 5; por lo tanto, el rango es 5 − 1 = 4, de aquí:

xi fi fri = fi

N Fi Fri = Fi

N

Donde

Fi =

i ∑ m= 1

fm y Fri =

i ∑ m= 1

frm.

Agrupamiento mediante intervalos de clase

Si el número de valores distintos que toma la variable estadística X es demasiado grande o la variable es continua, se realiza un agrupamiento de los datos en intervalos y se hace un recuento del número de observaciones que caen dentro de cada uno de ellos. Para agrupar los datos mediante intervalos de clase no existe un único procedimiento y la forma en como se construyen estos inter- valos depende básicamente de los objetivos de la investigación, sin embargo, aquí se especifica un procedimiento que se puede seguir para realizar este agrupamiento:

1. Determinar el recorrido o rango, de los datos.
2. Decidir el número k de intervalos de clase en que se van a agrupar los datos, 5 6 k 6 20. Una regla que a veces se suele seguir es elegir k =

N.

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Ejemplo 3. En la siguiente tabla se listan los datos medidos por James Short en 1763 sobre el paralaje del Sol en segundos de arco. El paralaje es el ángulo subtendido por la Tierra vista desde el Sol. Se midió observando tránsitos de Venus desde diferentes posiciones y permitió la primera medida de la distancia Tierra-Sol, que es la unidad básica de la escala de distancias en el Sistema Solar (la unidad astronómica).

Datos (en segundos de arco):

8.63 10.16 8.50 8.31 10.80 7.50 8. 8.42 9.20 8.16 8.36 9.77 7.52 7. 7.83 8.62 7.54 8.28 9.32 7.96 7.

Resumir este conjunto de datos agrupándolos mediante intervalos de clase.

En este caso, tenemos un conjunto de datos continuos, y procedemos de la siguiente manera:

1. Rango = xmáx − xmín = 10.80 − 7.47 = 3.33.
2. Número de intervalos: k =

21 = 4.53, luego, k = 5. Como se redondea por exceso, la am- plitud del intervalo multiplicada por el número de intervalos será mayor que el recorrido y no tendremos problemas en los extremos.

3. Amplitud del intervalo: 3.33/5 = 0.666, en consecuencia, tomemos la amplitud igual a 0.7. Si tomamos L 1 = 7.47 entonces el último extremo será 7.47 + ( 5 × 0.7) = 10.97 que resulta ser mayor que 10.80 (máximo). Ahora ya podemos calcular los extremos para cada intervalo de clase y las marcas de clase correspondientes.
4. Recuento y construcción de la tabla,

Li − Li + 1 mi fi fri Fi Fri [7.47 − 8.17) 7.82 9 0.429 9 0. [8.17 − 8.87) 8.52 7 0.333 16 0. [8.87 − 9.57) 9.22 2 0.095 18 0. [9.57 − 10.27) 9.92 2 0.095 20 0. [10.27 − 10.97) 10.62 1 0.048 21 1 Total 21 1

donde, el primer intervalo [7.47 − 8.17) y su punto medio se determinan así: L 1 = xmín = 7. L 2 = 7.47 + 0.7 = 8. m 1 = 7.47^ + 2 8.17= 7. de la misma forma se determinan límites inferior, superior y punto medio para cada intervalo. Se cuenta el número de observaciones para cada intervalo y se ubica como frecuencia absoluta de cada intervalo.

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

1.3.2.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS PARA VARIABLE CUANTITATIVA DE DATOS SIN AGRUPAR

Diagrama de puntos

Un diagrama de puntos es una gráfica utilizada para ilustrar un número reducido de datos, la cual permite identificar con facilidad dos características:

La localización de los datos. La dispersión o variabilidad de los datos.

Diagrama de barras

Se utiliza para representar datos de VARIABLES DISCRETAS. Se representan en el eje de abscisas los distintos valores de la variable. Sobre cada uno de estos valores se levanta una barra de longitud igual a la frecuencia corres- pondiente. Se pueden representar tanto las frecuencias absolutas ni como las relativas fi.

Polígono de frecuencias

Se obtiene uniendo con rectas los extremos superiores de las barras del diagrama anterior.

Ejemplo 4. En el ejemplo 2 , del número de hijos por familia, la representación gráfica mediante un diagrama de puntos es la siguiente:

i i i i i i 0 1 2 3 4 5

bb

bb

bb bb

bb

bb

b

bb

bb bb b

Figura 1.1: Diagrama de puntos de la variable número de hijos por familia.

Se observa que 6 familias (30 %) en la muestra tuvieron sólo 1 hijo y que la mayoría de las familias 13 (65 %) tuvieron como máximo 2 hijos. Finalmente, su diagrama de barras y respectivo polígono de frecuencias se pueden observar en la figura 1.2.

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

frecuencia absoluta

paralaje solar

Paralaje del Sol (Short 1973)

Figura 1.3: Histograma de las medidas de la paralaje del Sol.

Se puede observar que las medidas del paralaje del Sol más frecuentes están entre 7.47 y 8.17, y que medidas de la paralaje mayores a 10.27 son menos frecuentes. El polígono de frecuencias acumu- ladas (Ojiva) resultante vendría dado por (figura 1.4):

frecuencia absoluta

(^

f)i

frecuencia relativa

(^

fri^

paralaje solar

Paralaje del Sol (Short 1763)

b c

b c

b c

b c

b c^ b^ c

7.47 (^) 7.82 8.17^ 8.87^ 9.57^ 10.27^ 10.

i

i

i

i

i

i

Figura 1.4: Polígono de frecuencias acumuladas de las medidas del paralaje del Sol.

Del polígono de frecuencias acumuladas, podemos concluir que de todas las medidas del paralaje del Sol en la muestra alrededor del 75 % son menores a 8.87.

1.3.4.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS PARA VARIABLES CUALITATIVAS

Existe una gran variedad de representaciones para variables cualitativas, de las cuales vamos a describir las dos más usadas.

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Diagrama de barras o columnas

Representar en el eje de abscisas las diferentes categorías y levantar sobre cada una de ellas un rectángulo o columna. La altura de cada rectángulo es la frecuencia (absoluta o relativa) de dicha categoría.

Diagrama de sectores o pastel

Se representa el valor de cada categoría como un sector de un círculo completo. El área de cada sector es proporcional a la frecuencia de la categoría en cuestión. Se multiplica 360 ◦^ por la frecuencia relativa correspondiente. Proporciona una idea visual muy clara de cuáles son las categorías mas representativas.

Ejemplo 6. Las notas de una asignatura de Física del curso académico 95/96 se distribuyeron de acuerdo a la siguiente tabla para los alumnos presentados en junio:

Nota fi fri Fi Fri Suspenso (SS) 110 0.46 110 0. Aprobado (AP) 90 0.38 200 0. Notable (NT) 23 0.10 223 0. Sobresaliente (SB) 12 0.05 235 0. Matrícula de Honor (MH) 2 0.01 237 1.

En este caso, Nota es una variable cualitativa, la misma consta de categorías que determinan el desempeño de los estudiantes en base a sus resultados SS, AP, NT, SB y MH. Se observa que el 5 % de los estudiantes fueron sobresalientes y sólo el 1 % estuvieron en el grupo de honor. Los diagramas de barras y de sectores correspondientes son los que se presentan en figura 1.5).

Para el diagrama de sectores es necesario saber el ángulo de cada uno de los sectores, para ello se tiene

Nota Ángulo [ ◦ ] SS 165. AP 136. NT 36 SB 18 MH 3.

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

De estos tres procedimientos, el más conocido y utilizado (por sus propiedades como estadístico) es la media aritmética, y de allí la razón para creer que la media aritmética es el promedio, siendo en realidad que la media aritmética es uno de los procedimientos o métodos para llegar a obtener el valor central o promedio de nuestro conjunto de datos.

Y, ante la pregunta “¿por qué hay varios métodos para calcular el promedio?”, se debe al tipo de variable que se dispone.

Los procedimientos de cálculo del promedio, se definen, considerando que se tiene una variable X con una muestra de n valores (x 1 , x 2 ,... , xn), de la siguiente manera:

Media aritmética: Se define la media aritmética (o simplemente media) para datos sin agrupar como: x = (^1) n

n ∑ i= 1

xi

o también x = (^1) n

m ∑ i= 1

xi · fi,

donde m es el número de categorías. Y para datos agrupados mediante intervalos de clase,

x =

k ∑ i= 1

mi · fri

Mediana: Es el valor que divide a la distribución de datos en dos partes iguales. Pero, para establecer tal valor, los datos deben ser primeramente ordenados, ya sea en forma ascendente o descendente. Así, se tiene que de todo el conjunto de datos, el 50 % está por debajo de la mediana, y el otro 50 % está por encima de la mediana. El procedimiento a seguir cuando los datos son individuales es:

• ordene las n observaciones de menor a mayor.
• mediana muestral es igual a la observación en la posición n^ + 2 1 , si n es impar.
• mediana muestral es igual al promedio de dos observaciones en las posiciones n 2 y n^ + 2 2 , si n es par. Si los datos están resumidos en intervalos de clase, la mediana se determina por interpolación, así:
• Se determina la primera clase cuya frecuencia acumulada sea mayor o igual a n 2 dicho intervalo se denomina clase mediana.
• La mediana Me se calcula con la fórmula,

Me = Li− 1 +

n 2 −^ Fi−^1 fi^ A donde:

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

Li− 1 : límite inferior de la clase mediana; Fi− 1 : frecuencia acumulada del intervalo inmediatamente anterior a la clase mediana; fi: frecuencia absoluta de la clase mediana; A: amplitud de la clase mediana.

Moda: La moda Mo es aquel valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Hay ocasiones en las cuales los datos pueden tener dos o más modas, o no puede existir, cuando todos los datos tienen igual frecuencia.

Otras medidas de posición

Cuantiles: Otras medidas resumen (no de tendencia central), pero sí de posicionamiento a lo largo de la distribución de los datos que ayudan a describir éstos, son los denominados cuanti- les, entre los más frecuentemente utilizados tenemos:

• Cuartiles: son los valores del conjunto de datos que dividen a la distribución ordenada de datos en cuatro partes iguales.
• Quintiles: son los valores del conjunto de datos que dividen a la distribución ordenada de datos en cinco partes iguales.
• Deciles: son los valores del conjunto de datos que dividen a la distribución ordenada de datos en diez partes iguales, y finalmente,
• Percentiles: son los valores del conjunto de datos que dividen a la distribución ordenada de datos en cien partes iguales.

De todos analizaremos dos en detalle:

• Percentiles: Los percentiles Pk, son cada uno de los 99 valores que dividen a la distribución de los datos en 100 partes iguales. Para el cálculo del percentil de orden k se procede de la siguiente manera: ◦ Si los n datos no están agrupados, se efectúa la siguiente descomposición: nk 100 =^ j^ +^ r donde: j: la parte entera de 100 nk; r: la parte fraccionaria de 100 nk. ◦ Calculamos el percentil de la siguiente forma:

Pk =

xj + xj+ 1 2 si^ r^ =^0 xj+ 1 si r > 0,

CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Probabilidad y Estadística

Encuentre la media, mediana, moda, los cuartiles del número de hijos y el diagrama de caja.

Solución. Vamos a encontrar las medidas de tendencia central y posición del número de hijos en las familias, en este caso utilizaremos los métodos definidos para un conjunto de datos individuales, por lo tanto:

Cálculo de la media aritmética x = (^1) n

20 ∑ i= 1

xi = 2.

La media representa una especie de centro de gravedad del conjunto de observaciones, en este caso podemos decir que el número promedio de hijos por familia fue de 2.25, otra forma de interpretar este valor sería que si el promedio de hijos por familia es de 2.25 entonces 40 familias tendrían un total de 40 × 2.25 = 90 hijos en promedio. Para el cálculo de la mediana se necesita tener el conjunto de datos ordenados en orden ascen- dente:

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5

En este caso, tenemos que el conjunto de datos tiene un número de observaciones par (n = 20), por lo tanto Me = x n 2 + x n 2 + 1 2 =^

x 10 + x 11 2 =^

2 =^2

Para este conjunto de datos el valor que más se repite es 2, por lo tanto

Mo = 2

Los cuartiles son los valores que dividen en cuatro partes iguales al conjunto de datos en tér- minos de su número de observaciones, como np = 20 × 0.25 = 5 y np = 20 × 0.75 = 15, entonces:

Q 1 = xnp^ + 2 x np+^1 = x^5 + 2 x^6 = 1 + 2 1 = 1 Q 2 = Me = 2 Q 3 = xnp^ + 2 x np+^1 = x^15 + 2 x^16 = 3 + 2 3 = 3

Por debajo del primer cuartil se tiene el 25 % de las observaciones, del segundo cuartil el 50 % y del tercer cuartil el 75 %.

Ahora, determinaremos el mismo grupo de medidas pero utilizaremos datos agrupados, utilizan- do una tabla de frecuencias para agrupar los datos tenemos:

Probabilidad y Estadística CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

xi fi fri Fi Fri 1 6 0,3 6 0, 2 7 0,35 13 0, 3 4 0,2 17 0, 4 2 0,1 19 0, 5 1 0,05 20 1 Por lo tanto, las medidas de tendencia central y posición son:

Para la media tenemos x = (^) n^1

q ∑ i= 1

xi × fi

donde q es el número de clases en la tabla de frecuencias, por lo tanto

x = 201

5 ∑ i= 1

xi × fi = 201 [( 1 × 6 ) + ( 2 × 7 ) +... + ( 5 × 1 )] = 2.25.

Para el cálculo de la mediana se puede utilizar el mismo método del ejemplo anterior, como tenemos n = 20, entonces Me = x n 2 + x n 2 + 1 2 =^

x 10 + x 11 2 las observaciones 10 y 11 pertenecen a la segunda clase, por lo tanto,

Me = 2 + 2 2 = 2.

Por otro lado, utilizando el método de datos agrupados se tiene que

F(Me) = 0.5( 20 ) = 10 ≡ Me = 2.

La moda es el valor que más se repite en el conjunto de observaciones, podemos ver que la mayor frecuencia se presenta en la segunda clase, por lo tanto

Mo = 2.

Para el cálculo de los cuartiles se tiene que

F(Q 1 ) = 0.25( 20 ) = 5 ≡ Q 1 = 1 Q 2 = Me ≡ Q 2 = 2 F(Q 3 ) = 0.75( 20 ) = 15 ≡ Q 3 = 3

Vamos a determinar si existen datos atípicos, para ello tenemos que RIQ = Q 3 − Q 1 = 2, luego, determinemos Li = Q 1 − 1.5RIQ = − 2 y Ls = Q 3 + 1.5RIQ = 6.