Download Matrix Operations and Linear Equation Systems and more Exercises Linear Algebra in PDF only on Docsity!
MôC LôC
- 2 Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
- 2.1 Ma trÀn vμ c∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn
- 2.1.1 ßfinh ngh‹a vμ c∏c kh∏i ni÷m
- 2.1.2 C∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn
- 2.2 ßfinh th¯c
- 2.2.1 Kh∏i ni÷m v“ Æfinh th¯c
- 2.2.2 C∏c t›nh ch t cÒa Æfinh th¯c
- 2.3 Ma trÀn nghfich Æ∂o vμ hπng cÒa ma trÀn
- 2.4 H÷ ph≠¨ng tr◊nh Æπi sË tuy’n t›nh
- 2.4.1 H÷ ph≠¨ng tr◊nh Cramer
- 2.4.2 Gi∂i h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh bªng ph≠¨ng ph∏p Gauss
- qu∏t cÒa h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh 2.4.3 H÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh thu«n nh t vμ nghi÷m tÊng
®¹i sè
S∏ch dÔng cho sinh vi™n tr≠Íng ßπi h‰c x©y d˘ng
vμ sinh vi™n c∏c tr≠Íng ßπi h‰c, Cao ƺng k‹ thuÀt
4 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
Ma trÀn kh´ng lμ ma trÀn c„ c∏c ph«n tˆ Æ“u bªng kh´ng, k› hi÷u lμ Om×n.
Ma trÀn bªng nhau : Hai ma trÀn cÔng ki”u A = (aij )m×n vμ B = (bij)m×n
Æ≠Óc g‰i lμ bªng nhau n’u aij = bij vÌi m‰i i = 1 , m, j = 1 , n, vi’t lμ A = B.
Chºng hπn, vÌi hai ma trÀn A =
a b
c d
vμ B =
th◊
A = B ⇔
a = 1
b = 2
c = 0
d = − 2
C∏c dπng Æ∆c bi÷t cÒa ma trÀn
Ma trÀn ki”u m × 1 c„ dπng
a 1
a 2
. . .
am
Æ≠Óc g‰i lμ ma trÀn cÈt (m thμnh ph«n).
Ma trÀn ki”u 1 × n c„ dπng
a 1 a 2... an
Æ≠Óc g‰i lμ ma trÀn hμng.
N’u m = n th◊ A g‰i lμ ma trÀn vu´ng c p n vμ Æ≠Íng ch–o nËi c∏c ph«n tˆ
a 11 , a 22 ,... , ann g‰i lμ Æ≠Íng ch–o ch›nh.
Ma trÀn c„ c∏c ph«n tˆ nªm ph›a d≠Ìi (t≠¨ng ¯ng nªm ph›a tr™n) Æ≠Íng
ch–o ch›nh Æ≠Óc g‰i lμ ma trÀn tam gi∏c d≠Ìi (t≠¨ng ¯ng tam gi∏c tr™n ).
A =
a 11 a 12... a 1 n
0 a 22... a 2 n
. . .
0 0... ann
lμ ma trÀn tam gi∏c tr™n
B =
b 11 0... 0
b 21 b 22... 0
. . .
bn 1 bn 2... bnn
lμ ma trÀn tam gi∏c d≠Ìi
Ma trÀn ch–o c p n lμ ma trÀn vu´ng c p n mμ c∏c ph«n tˆ nªm ngoμi Æ≠Íng
ch–o ch›nh bªng 0 , t¯c lμ ma trÀn c„ dπng
a 11 0... 0
0 a 22... 0
. ..
0 0... ann
2.1 Ma trÀn vμ c∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn 5
Ma trÀn ch–o c p n mμ c∏c ph«n tˆ nªm tr™n Æ≠Íng ch–o ch›nh bªng 1 g‰i
lμ ma trÀn ƨn vfi c p n, vμ k› hi÷u lμ In
In =
2.1.2 C∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn
Ph–p cÈng hai ma trÀn cÔng ki”u
TÊng cÒa hai ma trÀn cÔng ki”u A = (aij )m×n vμ B = (bij )m×n lμ mÈt ma
trÀn C = (cij )m×n, k› hi÷u C = A + B, trong Æ„ c∏c ph«n tˆ
cij = aij + bij , vÌi m‰i i = 1, 2 ,... , m, j = 1, 2 ,... , n.
D‘ dμng ki”m tra c∏c t›nh ch t sau
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + O = A
V› dÙ 2.1.
Ph–p nh©n mÈt sË vÌi ma trÀn
Nh©n mÈt sË λ vÌi ma trÀn A = (aij )m×n lμ ma trÀn C = (cij )m×n cÔng ki”u
vÌi A, k› hi÷u λA, trong Æ„ c∏c ph«n tˆ
cij = λaij vÌi m‰i i = 1, 2 , ..., m, j = 1, 2 , ..., n.
Cho A, B lμ hai ma trÀn cÔng ki”u, α, β lμ hai sË b t k◊, ta d‘ dμng ch¯ng
minh c∏c t›nh ch t sau
α(A + B) = αA + αB
(α + β)A = αA + βB
α(βA) = (αβ)A
2.1 Ma trÀn vμ c∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn 7
Ph–p nh©n ma trÀn
T›ch cÒa ma trÀn A = (aij )m×n vÌi ma trÀn B = (bij )n×p lμ ma trÀn C = (cij )
ki”u m × p, k› hi÷u C = AB, trong Æ„
cij =
n ∑
k=
aikbkj vÌi m‰i i = 1, 2 , ..., m, j = 1, 2 , ..., n.
ß∆c bi÷t t›ch cÒa ma trÀn hμng 1 × n vÌi ma trÀn cÈt n × 1 lμ ma trÀn ki”u 1 × 1 ,
ta xem ma trÀn ki”u 1 × 1 nh≠ lμ mÈt sË
A =
a 1 a 2... an
, B =
b 1
b 2
. . .
bn
⇒ AB = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + anbn.
ChÛ ˝ rªng ph–p nh©n 2 ma trÀn chÿ Æ≠Óc x∏c Æfinh khi sË cÈt cÒa ma trÀn
Æ«u bªng sË hμng cÒa ma trÀn th¯ hai. Ph«n tˆ nªm Î hμng i , cÈt j cÒa ma trÀn
t›ch Æ≠Óc x∏c Æfinh bªng ph–p nh©n (v´ h≠Ìng) hμng th¯ i cÒa ma trÀn th¯ nh t
vÌi cÈt th¯ j cÒa ma trÀn th¯ hai.
V› dÙ 2.1.
T›ch cÒa hai ma trÀn A =
vμ B =
(^) bªng
AB =
T›nh ch t c∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn
VÌi A, B, C lμ c∏c ma trÀn c„ ki”u phÔ hÓp, c∏c ph–p to∏n gi˜a c∏c ma trÀn tr◊nh
bμy Î tr™n c„ c∏c t›nh ch t sau
- T›nh k’t hÓp cÒa ph–p nh©n ma trÀn (AB)C = A(BC)
8 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
- T›nh ph©n phËi ph∂i vÌi ph–p cÈng ma trÀn A(B + C) = AB + AC
- T›nh ph©n phËi tr∏i vÌi ph–p cÈng ma trÀn (B + C)A = BA + CA
- T›nh k’t hÓp vÌi ph–p nh©n vÌi mÈt sË α(AB) = (αA)B = A(α)B
- T›ch cÒa ma trÀn A vÌi ma trÀn kh´ng
A · O = O vμ O · A = O.
L≠u ˝ rªng c∏c ma trÀn O trong c∏c ƺng th¯c vıa thi’t lÀp ph∂i c„ c∏c
ki”u phÔ hÓp vÌi ph–p nh©n.
- T›ch cÒa ma trÀn A vÌi ma trÀn ƨn vfi I · A = A = A · I.
- MËi quan h÷ gi˜a ph–p nh©n vμ ph–p chuy”n vfi
(AB)
T = B
T A
T .
Ch¯ng minh. Ta chÿ ch¯ng minh c∏c t›nh ch t 1 , 2 vμ 7 , c∏c t›nh ch t cfln lπi
ƨn gi∂n h¨n, vi÷c ch¯ng minh chÛng dμnh cho bπn Ɖc.
- Gi∂ sˆ ma trÀn A, B, C c„ c∏c ki”u sau
A = (aij)m×n , B = (bij )n×p, C = (cij )p×q.
Khi Æ„ ma trÀn (AB)C c„ ki”u m × q vμ ma trÀn A(BC) cÚng cÔng ki”u
m × q.
G‰i xil lμ ph«n tˆ thuÈc hμng i cÈt l cÒa ma trÀn (AB)C, yil lμ ph«n tˆ
t≠¨ng ¯ng cÒa ma trÀn A(BC)
xil =
m ∑
k=
n ∑
j=
aij bjk
ckl =
m ∑
k=
n ∑
j=
aij bjkckl
n ∑
j=
m ∑
k=
aij bjk ckl =
n ∑
j=
aij
m ∑
k=
bjkckl
= yil
ߺng th¯c tr™n ÆÛng vÌi m‰i i = 1 , m vμ m‰i l = 1 , q.
VÀy (AB)C = A(BC).
10 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
c„ sË cÈt cÚng bªng nhau.
A =
a 11 a 12 a 13 | a 14 | a 15 a 16
a 21 a 22 a 23 | a 24 | a 25 a 26
−− −− −− | −− | −− −−
a 31 a 32 a 33 | a 34 | a 35 a 36
a 41 a 42 a 43 | a 44 | a 45 a 46
a 51 a 52 a 53 | a 54 | a 55 a 56
Nh≠ vÀy ma trÀn A gÂm c∏c khËi Aij
A =
A 11 A 12 A 13
A 21 A 22 A 23
C∏c ph–p to∏n tr™n ma trÀn khËi Æ≠Óc t›nh to∏n nh≠ tr™n c∏c ma trÀn th´ng
th≠Íng (c∏c ph«n tˆ lμ c∏c khËi), t t nhi™n c∏c khËi ph∂i Æ≠Óc ph©n chia sao
cho phÔ hÓp v“ ki”u (cÏ) dμnh cho c∏c ph–p to∏n t≠¨ng ¯ng. Chºng hπn trong
v› dÙ sau sË cÈt cÒa B 12 ph∂i bªng sË hμng cÒa A 21 , A 22 , A 23
B 11 B 12
B 21 B 22
A 11 A 12 A 13
A 21 A 22 A 23
B 11 A 11 + B 12 A 21 B 11 A 12 + B 12 A 22 B 11 A 13 + B 12 A 23
B 21 A 11 + B 22 A 21 B 21 A 12 + B 22 A 22 B 21 A 13 + B 22 A 23
V› dÙ 2.1.
X–t t›ch cÒa hai ma trÀn A =
vμ B =
N’u xem ma trÀn A vμ B lμ c∏c ma trÀn khËi
A =
A 1 O
O A 2
, B =
B 1 O
O B 2
vÌi A 1 =
, B
A 2 =
, B 2 =
lμ c∏c ma trÀn vu´ng c„ t›ch A 2 B 2 = −
2.2 ßfinh th¯c 11
Khi Æ„ c∏c khËi lμ c∏c ma trÀn phÔ hÓp vÌi ph–p nh©n suy ra
AB =
A 1 B 1 O
O A 2 B 2
2.2 ßfinh th¯c
2.2.1 Kh∏i ni÷m v“ Æfinh th¯c
Cho mÈt ma trÀn vu´ng c p n
A =
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
K› hi÷u Mij lμ ma trÀn c p n − 1 nhÀn Æ≠Óc tı A bªng c∏ch xo∏ kh·i A hμng
th¯ i vμ cÈt th¯ j. Ta g‰i Mij lμ ma trÀn con t≠¨ng ¯ng vÌi ph«n tˆ aij cÒa A.
V› dÙ 2.2.
Cho ma trÀn A =
(^) ta c„ c∏c ma trÀn con cÒa A
M 11 =
, M 12 =
, M 13 =
M 21 =
, M 22 =
, M 23 =
M 31 =
, M 32 =
, M 33 =
ßfinh ngh‹a 2.2.1 ßfinh th¯c cÒa ma trÀn A lμ mÈt sË, k› hi÷u
det A =
a 11 a 12 a 13 ... a 1 n
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
an 1 an 2 an 3 ... ann
2.2 ßfinh th¯c 13
V› dÙ 2.2.
- T›nh c∏c Æfinh th¯c c p 2 vμ c p 3 d≠Ìi Æ©y
∣ ∣ ∣ ∣
- T›nh Æfinh th¯c ma trÀn tam gi∏c tr™n
A =
a 11 a 12... a 1 n
0 a 22... a 2 n
. . .
0 0... ann
¸p dÙng Æfinh ngh‹a, th˘c ch t lμ khai tri”n Æfinh th¯c theo cÈt th¯ nh t
A = a 11
a 22 a 23... a 2 n
0 a 33... a 3 n
.. .
0 0... ann
= a 11 a 22
a 33 a 34... a 3 n
0 a 44... a 4 n
.. .
0 0... ann
=...... = a 11 a 22... ann.
ß∆c bi÷t Æfinh th¯c cÒa ma trÀn ch–o bªng t›ch c∏c ph«n tˆ nªm tr™n Æ≠Íng
ch–o ch›nh (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 0 0 ... 0
0 a 22 0 ... 0
0 0 a 33 ... 0
0 0 0 ... ann
= a 11 a 22 ...ann.
2.2.2 C∏c t›nh ch t cÒa Æfinh th¯c
C∏c t›nh ch t Æ≠Óc tr◊nh bμy trong mÙc nμy r t quan tr‰ng cho vi÷c t›nh Æfinh
th¯c. Tr≠Ìc h’t ta ph∏t bi”u vμ ch¯ng minh Æfinh l› sau
14 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
ßfinh l› 2.2.1 ßfinh th¯c cÒa ma trÀn vu´ng bªng Æfinh th¯c cÒa ma trÀn chuy”n
vfi cÒa n„
det A = det A
T .
NhÀn x–t rªng Æfinh l› khºng Æfinh, Æfinh th¯c cÒa ma trÀn A cfln c„ th” khai tri”n
theo hμng th¯ nh t
det A = det A
T = a 11 ∆ 11 − a 12 ∆ 12 + a 13 ∆ 13 + · · · + (−1)
n+ a 1 n∆ 1 n.
Trong mÙc nμy ta Æ≠a vμo k› hi÷u ∆ij = det Mij lμ Æfinh th¯c cÒa ma trÀn con
t≠¨ng ¯ng vÌi ph«n tˆ aij cÒa ma trÀn A.
Ch¯ng minh. Ta ch¯ng minh Æfinh l› bªng quy nπp, hi”n nhi™n Æfinh l› ÆÛng vÌi
n = 1, n = 2. Gi∂ sˆ Æfinh l› ÆÛng vÌi n < k, A lμ ma trÀn vu´ng c p k. Ta c„
det A
T
k ∑
i=
i+ a 1 i∆ 1 i =
= a 11 ∆ 11 +
k ∑
i=
i+ a 1 i
k ∑
m=
1+m− 1 am 1 ∆
m 1 1 i
Bi”u th¯c trong ngo∆c lμ khai tri”n Æfinh th¯c ∆ 1 i theo cÈt th¯ nh t, k› hi÷u ∆
m 1 1 i
lμ Æfinh th¯c c p k − 2 nhÀn Æ≠Óc tı A bªng c∏ch xo∏ kh·i A hμng th¯ nh t vμ
cÈt th¯ i cÚng nh≠ xo∏ hμng th¯ m, cÈt th¯ nh t. Ho∏n vfi c∏c sË hπng cÒa tÊng
tr™n, chÛ ˝ ∆
m 1 1 i = ∆
1 i m 1
det A
T = a 11 ∆ 11 +
k ∑
m=
m+ am 1
k ∑
i=
1+i− 1 a 1 i∆
1 i m 1
k ∑
m=
m+ am 1 ∆m 1 = det A. (Æ.p.c.m.)
Do Æfinh l› tr™n, c∏c khºng Æfinh sau li™n quan Æ’n Æfinh th¯c cÒa ma trÀn n’u
ÆÛng vÌi hμng th◊ cÚng ÆÛng vÌi cÈt vμ ng≠Óc lπi.
ßfinh l› 2.2.2 ßfinh th¯c sœ ÆÊi d u n’u ta ÆÊi chÁ 2 cÈt (ho∆c 2 hμng) cho nhau.
Ch¯ng minh. Ta ch¯ng minh Æfinh l› bªng quy nπp, hi”n nhi™n Æfinh l› ÆÛng vÌi
n = 2. Gi∂ sˆ Æfinh l› ÆÛng vÌi n < k, A lμ ma trÀn vu´ng c p k.
16 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
a 11 a 12 a 13 ... a 1 n
αx 1 αx 2 αx 3 ... αxn
an 1 an 2 an 3 ... ann
= α
a 11 a 12 a 13 ... a 1 n
x 1 x 2 x 3 ... xn
an 1 an 2 an 3 ... ann
Ch¯ng minh. ¸p dÙng Æfinh l› 2.2.2, bªng c∏ch ÆÊi chÁ hμng th¯ nh t vμ hμng
th¯ i cho nhau, ta chÿ c«n ch¯ng minh Æfinh l› ÆÛng vÌi hμng th¯ nh t
x 1 x 2 x 3 ... xn
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
... ....
an 1 an 2 an 3 ... ann
y 1 y 2 y 3 ... yn
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
... ....
an 1 an 2 an 3 ... ann
x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 ... xn + yn
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
... ....
an 1 an 2 an 3 ... ann
vμ (^) ∣
∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ αx 1 αx 2 αx 3 ... αxn
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
... ....
an 1 an 2 an 3 ... ann
= α
x 1 x 2 x 3 ... xn
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
... ....
an 1 an 2 an 3 ... ann
C∂ 2 ƺng th¯c Æ≠Óc suy ra bªng c∏ch khai tri”n chÛng theo hμng th¯ nh t.
Tı c∏c Æfinh l› tr™n, ta d‘ dμng suy ra c∏c t›nh ch t sau:
- N’u ma trÀn c„ 1 hμng (ho∆c cÈt) gÂm toμn c∏c sË 0 th◊ th◊ Æfinh th¯c cÒa
ma trÀn bªng 0.
- ßfinh th¯c c„ hai hμng giËng nhau th◊ bªng 0.
- N’u ma trÀn c„ 2 hμng (cÈt) tÿ l÷ th◊ Æfinh th¯c cÒa ma trÀn bªng 0.
- ßfinh th¯c kh´ng thay ÆÊi n’u cÈng th™m vμo mÈt hμng (cÈt) bÈi cÒa hμng
(cÈt) kh∏c.
Ng≠Íi ta th≠Íng xuy™n sˆ dÙng c∏c t›nh ch t nμy Æ” Æ≠a Æfinh th¯c v“ c∏c dπng
ƨn gi∂n h¨n c„ th” t›nh tr˘c ti’p theo Æfinh ngh‹a.
2.2 ßfinh th¯c 17
V› dÙ 2.2.
T›nh Æfinh th¯c
B =
1 2 3... n
− 1 0 3... n
− 1 − 2 0... n
. . .
ß” t›nh B, ta l«n l≠Ót cÈng hμng th¯ nh t vμo c∏c hμng hai, hμng ba,...,
hμng th¯ n. Khi Æ„ Æfinh th¯c Æ∑ cho kh´ng thay ÆÊi vμ bªng Æfinh th¯c
ma trÀn tam gi∏c tr™n
B =
1 2 3... n
0 2 6... 2 n
0 0 3... 2 n
. . .
0 0 0... n
= n!
ßfinh ngh‹a 2.2.2 VÌi ma trÀn
A =
a 11 a 12... a 1 n
a 21 a 22... a 2 n
. . .
an 1 an 2... ann
ta g‰i Aij = (−1)
i+j det Mij = (−1)
i+j ∆ij lμ ph«n phÙ Æπi sË t≠¨ng ¯ng vÌi ph«n
tˆ aij cÒa ma trÀn A_._
V› dÙ 2.2.
X–t ma trÀn Æ∑ cho trong v› dÙ 2.2.1, A =
(^). C∏c ph«n phÙ Æπi sË
cÒa ma trÀn A
A 11 =
= − 7 , A 12 = −
= − 14 , A 13 =
A 21 = −
= 1, A 22 =
= − 2 , A 23 = −
A 31 =
= 3, A 32 = −
= 6, A 33 =
2.2 ßfinh th¯c 19
khi Æ„ c´ng th¯c (2.1) trong Æfinh l› cÚng nh≠ c´ng th¯c (2.2) c„ th” vi’t d≠Ìi
dπng ma trÀn
AA
C = A
C A = (det A)In.
Ta thıa nhÀn Æfinh l› sau v“ Æfinh th¯c cÒa t›ch 2 ma trÀn vu´ng cÔng ki”u
ßfinh l› 2.2.5 N’u A vμ B lμ hai ma trÀn vu´ng cÔng c p th◊
det(A · B) = det A · det B.
V› dÙ 2.2.
- Cho 2 ma trÀn A =
vμ B =
. Khi Æ„ t›ch cÒa chÛng
AB =
D‘ dμng t›nh Æ≠Óc det A = 7, det B = − 8 , det AB = − 56. T¯c lμ det AB =
det A · det B.
- T›nh Æfinh th¯c
D =
a a a ... a
a 0 a ... a
a a 0 ... a
... ....
a a a ... 0
CÈng vμo hμng th¯ i (vÌi m‰i i = 2, 3 , ..., n) (−1) l«n hμng th¯ nh t, ta c„
k’t qu∂
D =
a a a ... a
a 0 a ... a
a a 0 ... a
... ....
a a a ... 0
a a a ... a
0 −a 0 ... 0
0 0 −a ... 0
... ....
0 0 0 ... −a
ßfinh th¯c cuËi lμ Æfinh th¯c cÒa ma trÀn tam gi∏c tr™n, theo v› dÙ 2.2.2, gi∏
trfi cÒa n„ bªng t›ch c∏c ph«n tˆ nªm tr™n Æ≠Íng ch–o ch›nh
D = (−1)
n− 1 a
n .
20 Ch≠¨ng II. Ma trÀn Æfinh th¯c vμ h÷ ph≠¨ng tr◊nh tuy’n t›nh
- T›nh Æfinh th¯c Vandermonde
D(x 1 , x 2 ,... , xn) =
x 1 x 2 x 3... xn
x
2 1 x
2 2 x
2 3...^ x
2 n . . .
x
n− 1 1 x
n− 1 2 x
n− 1 3...^ x
n− 1 n
Bæt Æ«u tı hμng cuËi, cÈng vμo hμng th¯ n bÈi l«n, (−x 1 ) l«n hμng th¯
n − 1. Nh≠ vÀy gi∏ trfi cÒa Æfinh th¯c kh´ng ÆÊi. B≠Ìc ti’p theo, cÈng vμo
hμng th¯ n − 1 bÈi l«n, (−x 1 ) l«n hμng th¯ n − 2 ... C¯ th’ ti’p tÙc cÈng
vμo hμng th¯ i, (−x 1 ) l«n hμng i − 1. B≠Ìc cuËi cÔng cÈng vμo hμng th¯
2 , (−x 1 ) l«n hμng th¯ nh t.
D(x 1 , x 2 ,... , xn) =
0 x 2 − x 1 x 3 − x 1... xn − x 1
0 x
2 2 −^ x^1 x^2 x
2 3 −^ x^1 x^3...^ x
2 n −^ x^1 xn . . .
0 x
n− 1 2 −^ x^1 x
n− 2 2 x
n− 1 3 −^ x^1 x
n− 2 3...^ x
n− 1 n −^ x^1 x
n− 2 n
x 2 − x 1 x 3 − x 1... xn − x 1
x 2 (x 2 − x 1 ) x 3 (x 3 − x 1 )... xn(xn − x 1 )
. . .
x
n− 2 2 (x^2 −^ x^1 )^ x
n− 2 3 (x^3 −^ x^1 )^...^ x
n− 2 n (xn^ −^ x^1 )
= (x 2 − x 1 )(x 3 − x 1 )... (xn − x 1 )
x 2 x 3... xn
x
2 2 x
2 3...^ x
2 n . . .
x
n− 1 2 x
n− 1 3...^ x
n− 1 n
= (x 2 − x 1 )(x 3 − x 1 )... (xn − x 1 )D(x 2 , x 3 ,... , xn).
ßfinh th¯c Î hμng cuËi D(x 2 , x 3 ,... , xn) cÚng lμ Æfinh th¯c Vandermonde
c p n − 1. Bªng quy nπp ta c„
D(x 1 , x 2 ,... , xn) =
n≥i>j≥ 1
(xi − xj ).
