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Diagrammes de Bode, Black et Nyquist avec PGF/TIKZ
Papanicola Robert∗
9 octobre 2010
version 1.4 09/10/2010 : modification du répertoire par défaut des fichiers gnuplot.
version 1.3 1/05/2010 :
- Ajout de la commande \semilogNG qui permet de tracer un diagramme semi-log sans graduation
- suppression de tous les styles (couleurs et épaisseurs) et remplacement par des styles définis par \tikzset ;
- Ajout de la commande \BodePoint.
version 1.2.1 : 20/01/2010 : ajout de la commande \semilog* pour une grille log plus fine.
version 1.2 : 22/08/2009,
- remplacement des commandes \BodeAmp et \BodeArg par \BodeGraph, ces deux commandes sont main- tenues pour assurer la compatibilité avec les anciens fichiers.
- ajout des commandes \BlackText et \NyquistText permettant d’annoter les courbes de Black et Ny- quist ;
- ajout de la commande \BodePoint qui permet de marquer sur les diagrammes une liste de points par une puce (pas d’annotation de ces points) ;
- ajout d’un style pour les puces ;
version 1.1 : 03/05/2009, ajout ;
- abaque temps de réponse 2nd^ ordre,
- abaque des dépassements d’un 2nd^ ordre ;
version 1 : mise en ligne de la version initiale 06/04/2009.
1 Présentation / Introduction
Ce package permet de tracer les diagrammes de Bode, Black et Nyquist à l’aide de Gnuplot et Tikz. Les fonc- tions de transfert élémentaires et les correcteurs cou- rants sont préprogrammés pour être utilisés dans les fonctions de tracé.
This package allows you to draw the Bode plots, Ny- quist, and Black using Gnuplot and Tikz. Elementary Functions Transfer and basics correctors are prepro- grammed to be used.
1.1 Nécessite / Need
Pour fonctionner ce package a besoin :
- d’une version CVS de Pgf/Tikz (certaines com- mandes de calculs ont étés modifiées ou intégrées depuis la version 2), elle peut être téléchargée sur le
site Texample http://www.texample.net/tikz/
builds/.
- que gnuplot soit installé et configuré pour être exé- cuté lors de la compilation de votre fichier LATEX(Cf. la doc de Pgf/Tikz).
To run this package requires :
- a CVS Pgf / Tikz (some commands calculations have summers modified or integrated since ver- sion 2) it can be downloaded from Texample http ://www.texample.net/tikz/builds/
- that gnuplot is installed and configured to run when compiling your LATEXfile (see the doc Pgf / Tikz)
∗Merci à Germain Gondor pour ses remarques
1.2 Composition du package / Composition of Package
Ce package est constitué de trois fichiers :
- bodegraph.sys : le package proprement dit ;
- isom.txt : macro-commandes de définition des courbes iso-module ;
- isoa.tx : macro-commandes de définition des courbes iso-arguments. et du fichier bodegraph.tex, ce fichier contenant la do- cumentation. Remarque : pour compiler ce document latex,
vous avez besoin du package tkzexample http:
//altermundus.fr/SandBox/tkzexample.zip de
Alain Matthes. Les courbes gnuplot précalculées sont dans le réper- toire /gnuplot/.
Package This package consists of three files :
- bodegraph.sys : the package itself ;
- Isom.txt : macros defining curves iso-module
- Isoa.tx : macros definition curves iso-arguments. bodegraph.tex file, the file containing the documenta- tion. Note : To compile latex document, you need the
package tkzexample http://altermundus.fr/
SandBox/tkzexample.zip by Alain Matthes.
Gnuplot precomputed curves are in the directory /gnuplot/.
1.3 Utilisation / Use
Décompresser l’archive du package dans votre réper- toire personnel. Rajouter dans l’entête la commande usepackage{bodegraph}.
Unzip the archive package in your home directory. Add in the header control usepackage{bodegraph}..
1.4 ToDo
- Compléter les fonctions élémentaires,
- Traduction correcte en anglais, -...
- Complete the basic functions
- Better english!!! -...
2.2 Grille semilog sans graduation / grid without graduation
La commande \semilogNG{nbdec}{y} permet de tracer des diagrammes semi log sans graduation, le premier
paramètre est le nombre de décade, le second l’amplitude des ordonées.
\begin{tikzpicture}[yscale=3/50,xscale=\textwidth/3cm] \semilogNG{3}{50} \end{tikzpicture}
2.3 Paramètres de configuration des diagrammes / parameters
- \UnitedB permet d’afficher les unités pour un diagramme d’amplitude
- \UniteDegre permet d’afficher les unités pour un diagramme de phase,
- \OrdBode{pas} permet de préciser le pas des graduations verticales (par défaut 10) du diagramme semilog,
- \Unitx{} et \Unity{}permettent de choisir directement les unités à afficher, à utiliser sous la forme \def\Unity{}
Les styles de tracé par défaut sont définis à l’aide de la commande \tikzset :
- Bode lines/.style={very thick, blue} : style par défaut des tracé de bode (amplitude et gain) ;
- asymp lines/.style={Bode lines,thin} : style, déduit du précédent, utilisable pour tracer les asymptotes ;
- semilog lines/.style={thin, brown} : style par défaut de la grille semilog ;
- semilog half lines/.style={semilog lines 2, dashed } : style par défaut des demi pas de la grille se- milog ;
- semilog label x/.style={semilog lines,below,font=\tiny} : style des labels de l’axe des abscisses de la grille semilog ;
- semilog label y/.style={semilog lines,right,font=\tiny} : idem pour l’axe des ordonnées. Vous pouvez, en modifiant ces styles agir les tracés par défaut.
100 101 102 103
− 20
− 10
0
10
20
30
100 101 102 103
− 20
− 10
0
10
20
30
\begin{tikzpicture} \begin{scope}[yscale=2/50, xscale=0.9\textwidth/3cm] \semilog{0}{3}{-20}{30} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-3cm, yscale=2/50,xscale=0.9\textwidth/3cm] \tikzset{ semilog lines/.style={thin, blue}, semilog lines 2/.style={semilog lines, red!50 }, semilog half lines/.style={semilog lines 2, dotted }, semilog label x/.style={semilog lines, below,font=\tiny}, semilog label y/.style={semilog lines, right,font=\tiny} } \semilog{0}{3}{-20}{30} \end{scope} \end{tikzpicture}
2.4 Tracé des diagrammes / Drawing bode graph
Les commandes de tracés nécessitent que gnuplot (http://www.gnuplot.info/) soit installé et utilisable par
votre distribution LATEX. Trois commandes permettent de tracer les diagrammes d’amplitude et de phase (figure 2).
- \BodeGraph[Options]{domain}{fonction} pour le diagramme d’amplitude et de phase ;
- \BodeGraph*[Options]{domain}{fonction}{[options]{texte}} réalise le tracé et ajoute le texte avec les options précisées à l’extrémité.
- \BodePoint[Options]{liste}{fonction} place les points de la liste sur le diagramme ; avec
- domain le domaine du tracé précisé en puissance de 10, ainsi pour tracer une fonction de 10−^2 rad/s à 10^2 rad/s
on notera le domaine -2:2 ;
- fonction la fonction à tracé écrite avec la syntaxe gnuplot.
- options par défaut les options suivantes [samples=50, thick, blue] sont appliquées, toutes les options de tracé de tikz et de gnuplot peuvent être utilisées et substituent à celle par défaut, on notera principalement
- spécifiques à tikz
- la couleur, [red], [blue],...
- l’épaisseur [thin], [thick],...
- le style [dotted] [dashed],...
- spécifiques à gnuplot
- le nombre de points [samples=xxx]
- l’identifiant du fichier créé [id=nomdufichier], il est à noter que tikz, sauvegarde au premier appel de gnu- plot la table des valeurs et que si celle-ci est inchangée lors d’une compilation ultérieure, tikz réutilise la table précédemment sauvée. il est donc important pour minimiser le temps de compilation de préciser un id différent pour chaque courbe, par défaut les macros sauvegardent les graphes dans des fichiers différents (incrémentation d’un compteur), il n’est donc utile de nommer la courbe que si vous souhaitez la retrouver.
- le répertoire de sauvegarde des tables de données [prefix=repertoire/] (par défaut prefix=gnuplot/\jobname). Cette configuration par défaut est réglé par un style défini à l’aide de
\tikzset : gnuplot def/.style={samples=50,id=\arabic{idGnuplot},prefix=gnuplot/\jobname }.
- pour les autres options, consulter la documentation de tikz.
- styles prédéfinis : plusieurs styles sont prédéfinis à l’aide de la commande \tikzset, voir plus haut, la descrip- tion des styles.
Ainsi pour tracer le diagramme d’amplitude de la fonction du premier ordre, H ( s ) =
1 + 0.3 · s
entre 10−^2 rad/s et
102 rad/s sur une grille semi logarithmique, on utilise la séquence de commandes ci-dessous.
10 −^2 10 −^1 100 101
− 20
− 10
0
10 \begin{tikzpicture}[xscale=7/4,yscale=5/30] \semilog{-2}{2}{-20}{10} \BodeGraph{-2:2}{20log10(abs(3/sqrt (1+(0.310t)2)))} \end{tikzpicture}
FIGURE 2 – Utilisation de BodeGraph
10 −^2 10 −^1 100 101
− 20
− 10
0
10
20
10 −^2 10 −^1 100 101
− 90
− 80
− 70
− 60
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
0
\begin{tikzpicture}[xscale=7/4] \begin{scope}[yscale=3/40] \semilog{-2}{2}{-20}{20} \BodeGraph[asymp lines,samples=100]{-2:2} {\POAmpAsymp{6}{0.3}} \BodeGraph{-2:2}{\POAmp{6}{0.3}} \end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm,yscale=3/90] \semilog{-2}{2}{-90}{0} \BodeGraph[asymp lines,samples=100, const plot]{-2:2} {\POArgAsymp{6}{0.3}} \BodeGraph{-2:2}{\POArg{6}{0.3}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 4 – Premier ordre
- \SOArgAsymp{K}{z}{Wn} pour le diagramme asymptotique de phase ;
10 −^1 100 101
− 20
− 10
0
10
20 dB
rad/s
10 −^1 100 101
− 180
− 150
− 120
− 90
− 60
− 30
0 ◦
rad/s
\begin{tikzpicture}[xscale=7/3] \tikzset{ mylines/.style={very thick, red}, myasymp/.style={Bode lines,thin,black}, } \begin{scope}[yscale=3/40] \UnitedB \semilog{-1}{2}{-20}{20} \BodeGraph[myasymp]{-1:1.7} {+\SOAmpAsymp{6}{0.3}{10}} \BodeGraph[mylines,samples=101]{-1:1.7} {\SOAmp{6}{0.3}{10}} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-2.5cm,yscale=3/180] \OrdBode{30} \UniteDegre \semilog{-1}{2}{-180}{0} \BodeGraph[myasymp]{-1:0.999} {\SOArgAsymp{6}{0.3}{10}} \BodeGraph[myasymp]{1:2} {\SOArgAsymp{6}{0.3}{10}} \BodeGraph[mylines]{-1:2} {\SOArg{6}{0.3}{10}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 5 – Second ordre
2.5.3 Intégrateur
Hi ( s ) =
K
s
(figure 6)
- \IntAmp{K} pour le diagramme d’amplitude ;
- \IntArg{K} pour le diagramme de phase.
10 −^2 10 −^1 100 101
− 40
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
40
10 −^2 10 −^1 100 101
− 100
− 90
− 80
− 70
− 60
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
0
10
\begin{tikzpicture} \begin{scope}[xscale=7/4,yscale=3/80] \semilog{-2}{2}{-40}{40} \BodeGraph{-2:2}{\IntAmp{1}} \end{scope}
\begin{scope}[yshift=-2.5cm, xscale=7/4,yscale=3/110] \semilog{-2}{2}{-100}{10} \BodeGraph{-2:2}{+\IntArg{1}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 6 – Intégrateur
2.5.4 Gain seul
HK ( s ) = K : \KAmp{K} pour le diagramme d’amplitude (pas de diagramme de phase).
2.5.5 Retard
Hr ( s ) = e − Tr^ · s^ (figure 7)
- \RetAmp{Tr} pour le diagramme d’amplitude ;
- \RetArg{Tr} pour le diagramme de phase.
2.5.6 Premier Ordre généralisé
H ( p ) = K
a 1 + a 2 · p b 1 + b 2 · p
(figure 8)
Courbes réelles
- \POgAmp{K}{a1}{a2}{b1}{b2}
- \POgArg{K}{a1}{a2}{b1}{b2}
Asymptotes
- \POgAmpAsymp{K}{a1}{a2}{b1}{b2}
- \POgArgAsymp{K}{a1}{a2}{b1}{b2}
a 1 et b 1 ne doivent pas être nuls.
2.5.7 Fonctions inverses
À partir des fonctions élémentaires ci dessus il est facile de tracer les fonctions inverses en changeant uniquement le signe.
10 −^2 10 −^1 100 101
− 40
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
40
10 −^2 10 −^1 100 101
−^ − 9080
−^ − 7060
−^ − 5040
−^ − 3020
− 100
1020
3040
5060
7080
90
\begin{tikzpicture} \begin{scope}[xscale=7/4,yscale=3/80] \semilog{-2}{2}{-40}{40} \BodeGraph{-2:2}{\POgAmp{3}{4}{5}{6}{70}} \BodeGraph[thin,red]{-2:2} {0+\POgAmpAsymp{3}{4}{5}{6}{70}} \end{scope}
\begin{scope}[yshift=-3.5cm, xscale=7/4,yscale=3/180] \semilog{-2}{2}{-90}{90} \BodeGraph{-2:2}{\POgArg{3}{4}{5}{6}{70}} \BodeGraph[thin,red,const plot]{-2:2} {0+\POgArgAsymp{3}{4}{5}{6}{70}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 8 – Premier ordre généralisé
Correcteur PI C ( s ) = Kp ·
1 + Ti · s Ti · s
(figure 9)
- module : \PIAmp{Kp}{Ti},
- argument : \PIArg{Kp}{Ti} et les tracés asymptotiques
- module : \PIAmpAsymp{Kp}{Ti},
- argument : \PIArgAsymp{Kp}{Ti}
2.6.1 Correcteur PD
C ( p ) = Kp ·
1 + Td · p
, le correcteur PD programmé est un correcteur idéal, pour réaliser un correcteur réel, on utilisera le correcteur à avance de phase (figure 10).
- module : \PDAmp{Kp}{Td},
- argument : \PDArg{Kp}{Td} Asymptotes
- module : \PDAmpAsymp{Kp}{Td},
- argument : \PDArgAsymp{Kp}{Td}
2.6.2 Correcteur à Avance de phase
C (^) AP ( p ) = Kp ·
1 + a · T 1 · p 1 + T 1 · p
(figure 11)
Courbes réelles
- module : \APAmp{Kp}{T1}{a},
- argument : \APArg{Kp}{Ti}{a}
Asymptotes
- module : \APAmpAsymp{Kp}{T1}{a},
- argument : \APArgAsymp{Kp}{Ti}{a}
- commande inutile, elle retourne 0
100 101 102 103
− 10
0
10
20
30 dB
rad/s
100 101 102 103
− 90
− 80
− 70
− 60
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
0 ◦
rad/s
\begin{tikzpicture}[xscale=7/3] \begin{scope}[yscale=3/40] \UnitedB %\node{\tiny \PIAmp{3}{0.5}}; \BodeGraph[thick]{0:3} {\PIAmp{2}{0.08}} \BodeGraph[black]{0:3} {\PIAmpAsymp{2}{0.08}} \semilog{0}{3}{-10}{30} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-1cm,yscale=3/90] \UniteDegre \semilog{0}{3}{-90}{0} \BodeGraph[thick]{0:3} {\PIArg{2}{0.08}} \BodeGraph[samples=2,black ,samples=201]{0:3}{\PIArgAsymp{2}{0.08}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 9 – Correcteur P.I
100 101 102 103
0
10
20
30
40
50 dB
rad/s
100 101 102 103
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90 ◦
rad/s
\begin{tikzpicture}[xscale=7/3] \begin{scope}[yscale=3/50] \UnitedB \BodeGraph[thick]{0:3}{\PDAmp{2}{0.08}} \BodeGraph[black]{0:3}{\PDAmpAsymp{2}{0.08}} \semilog{0}{3}{0}{50} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-3.5cm,yscale=3/90] \UniteDegre \semilog{0}{3}{0}{90} \BodeGraph[thick]{0:3}{\PDArg{2}{0.08}} \BodeGraph[samples=2,black,samples=201] {0:3}{\PDArgAsymp{2}{0.08}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 10 – Correcteur P.D
2.6.3 Correcteur à Retard de phase
CRP ( p ) = Kp ·
1 + T 1 · p 1 + a · T 1 · p
(figure 12)
- module : \RPAmp{Kp}{T1}{a},
- argument : \RPArg{Kp}{Ti}{a} Asymptotes
- module : \RPAmpAsymp{Kp}{T1}{a},
- argument : \RPArgAsymp{Kp}{Ti}{a}
100 101 102 103
− 10
0
10
20
30 dB
rad/s
100 101 102 103
− 90
− 60
− 30
0
30
60
90 ◦
rad/s
\begin{tikzpicture}[xscale=7/3] \begin{scope}[yscale=3/40] \UnitedB \semilog{0}{3}{-10}{30} \BodeGraph{0:3} {\PIDAmp{2}{0.08}{0.02}} \BodeGraph[black] {0:3}{\PIDAmpAsymp{2}{0.08}{0.02}} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-3cm,yscale=3/180] \UniteDegre \OrdBode{30} \semilog{0}{3}{-90}{90} \BodeGraph{0:3} {\PIDArg{2}{0.08}{0.02}} \BodeGraph[samples=2, black,samples=201] {0:3}{\PIDArgAsymp{2}{0.08}{0.02}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 13 – Correcteur P.I.D série
2.7 Fonctions de transfert complexe
Pour tracé les diagrammes de Bode d’un fonction de transfert complexe, définie par le produit de fonctions élé- mentaires, il suffit de sommer les représentation, aussi bien pour le tracé de la fonction que pour les asymptotes.
2.7.1 Exemples
Premier ordre + intégrateur : H ( s ) =
s · (1 + 0.5 · s )
(figure 14)
10 −^2 10 −^1 100 101
− 40
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
40
50
60
10 −^2 10 −^1 100 101
− 200
− 180
− 160
− 140
− 120
− 100
− 80
− 60
− 40
− 20
0
\begin{tikzpicture}[xscale=7/4] \begin{scope}[yscale=2.5/100] \semilog{-2}{2}{-40}{60} \BodeGraph[thin,samples=100]{-1.5:1.5} {\POAmpAsymp{8}{0.5}+\IntAmp{1}} \BodeGraph{-1.5:1.5}{\POAmp{8}{0.5}+\IntAmp{1}} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-2cm,yscale=2.5/200] \OrdBode{20} \semilog{-2}{2}{-200}{0} \BodeGraph[samples=100,thin]{-2:2} {\POArgAsymp{8}{0.5}+\IntArg{1}} \BodeGraph{-2:2}{\POArg{8}{0.5}+\IntArg{1}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 14 – Premier ordre + intégrateur
Second ordre généralisé : 5 ·
1 + 0.01 · s
1 +
· s +
s^2 152
(figure 15)
10 −^1 100 101 102 103
− 50
− 40
− 30
− 20
− 10
0
10
20
30
10 −^1 100 101 102 103
− 200
− 180
− 160
− 140
− 120
− 100
− 80
− 60
− 40
− 20
0
\begin{tikzpicture}[xscale=7/5] \begin{scope}[yscale=3/80] \semilog{-1}{4}{-50}{30} \BodeGraph[thin]{-1:4} {\SOAmpAsymp{5}{15}-\POAmpAsymp{1}{0.01}} \BodeGraph[smooth,samples=100]{-1:4} {\SOAmp{5}{0.3}{15}-\POAmp{1}{0.01}} \end{scope} \begin{scope}[yshift=-2.5cm,yscale=3/210] \OrdBode{20} \semilog{-1}{4}{-200}{10} \BodeGraph[thin,samples=100]{-1:4} {\SOArgAsymp{5}{15}-\POArgAsymp{1}{0.01}} \BodeGraph{-1:4}{\SOArg{5}{0.3}{15}-\POArg{1}{0.01}} \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 15 – Second ordre généralisé
3 Diagramme de Black
3.1 Lieu de Black
Trois commandes (et 3 étoilées) et permettent de tracer et commenter le lieu de Black d’une fonction (figure 16).
- \BlackGraph[options de trace]{domaine}{fonction argument,fonction module}
- {domaine}, c’est le domaine de tracé au sens de GnuPlot, il est conseillé de définir le domaine décade (entière
ou non) comme {-1:3}, GnuPlot va tracer la fonction pour ω compris entre 10−^1 et 10^3.
- {argument,module}, la fonction à tracer doit être définie par la fonction argument qui retourne l’argu-
ment en ◦^ et la fonction module qui retourne le module en dB. On peut bien sur utiliser les fonctions défi-
nies au dessus pour les diagrammes de Bode pour ces fonctions.
- [options de trace], toutes les options tikz pour tracer des fonctions gnuplot.
- \BlackGraph*[options de trace]{domaine}{fonction argument,fonction module}{[options]{texte}} cette commande permet de rajouter commentaire (nom, référence, équation) à l’extrémité d’un tracé. Les para-
mètres sont identiques, se rajoute uniquement {[options]{texte}}
- [options], ce sont les options d’écriture du texte (couleur, position,...),
- {texte}, le texte à écrire entre parenthèses ;
- \BlackPoint[options]{liste pulsations}{fonction argument,fonction module} cette commande per- met de tracer et noter des points particuliers du graphe, la valeur de la pulsation est placée à coté (droite par défaut).
- [options] options de tracé (couleur, id, prefix,.. .),
- {liste pulsations} pulsations en rad/s séparées par une virgule,
- {fonction argument,fonction module} identique à \BlackGraph
- \BlackPoint*[options]{liste pulsations}{fonction argument,fonction module} la version étoilée
de la commande précédente permet de choisir la position de chaque texte, comme l’exemple {1/right,10/left,150/above ri
◦
dB
-180 -135 -90 -45 0
H 1
H 2
H 3
1
3
12
65
25
80
500
1500
4000 H 4
\begin{tikzpicture} \begin{scope}[xscale=6/180,yscale=8/60] \BlackGraph[samples=150,red,smooth,ultra thick,-<] {-2:1}{\SOBlack{1}{0.1}{1500}} {[red,right]{\footnotesize $H_1$}} \BlackGraph[samples=150,black,smooth,ultra thick] {-1:3.5}{\SOArg{5}{0.2}{150},\SOAmp{5}{0.2}{150}} {[right]{$H_2 $}} \BlackGraph[samples=150,blue,smooth,ultra thick] {1:5}{\SOArg{1}{0.1}{1500}+\IntArg{0.43/0.0009} -2\POArg{1}{0.0009},\SOAmp{1}{0.1}{1500}+ \IntAmp{0.43/0.0009}-2\POAmp{1}{0.0009}}
\BlackGraph*[samples=100,purple,smooth] {-3:2}{\POArg{5}{3},\POAmp{5}{3}} {[purple!50,right]{\footnotesize $H_3$}}
\BlackPoint[purple]{0.1,1,3,12,65} {\POArg{5}{3},\POAmp{5}{3}}
\BlackPoint[black]{25/right, 80/above right,500/above,1500/above,4000/right} {\SOArg{1}{0.1}{1500}+\IntArg{0.43/0.0009} -2\POArg{1}{0.0009},\SOAmp{1}{0.1}{1500}+ \IntAmp{0.43/0.0009}-2*\POAmp{1}{0.0009}}
\BlackText[blue]{5000/left/{\normalsize $H_4$}} {\SOArg{1}{0.1}{1500}+\IntArg{0.43/0.0009} -2\POArg{1}{0.0009},\SOAmp{1}{0.1}{1500}+ \IntAmp{0.43/0.0009}-2\POAmp{1}{0.0009}}
\BlackGrid \end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 16 – Diagramme de Black
3.3 Exemples
Sur l’exemple figure 16 sont représentées les fonctions suivantes :
1
1 +
2 · 0. 1500
· p +
p^2 15002
,
5
1 +
2 · 0. 150
· p +
p^2 1502
,
5 1 + 3 · p
,
1
1 +
2 · 0. 1500
· p +
p^2 15002
·
0.43 ·
( 1 + 0.0009 · p
) 2
0.0009 · p
4 Diagramme de Nyquist
Le package permet aussi de tracer le diagramme de Nyquist (figure 18) d’une fonction linéaire, le tracé est réalisé à partir de la description polaire de la fonction de transfert H ( i · o meg a ) = ‖ H ( i · ω )‖ · e arg( H^ ( i^ · ω )). Cela permet de
−30dB
−25dB
−20dB
−15dB
−12dB
−10dB
−8dB
−6dB
−5dB
−4dB
−3dB
−2dB
−1dB
−0.5dB
−0.2dB
0dB
0.2dB
0.5dB
1dB
2dB 2.3dB 3dB 4dB 5dB 6dB 8dB 10dB
− 359 ◦
− 357 ◦ − (^354) − 350 ◦◦ − 345 ◦ − (^340) −◦ 330 ◦ − 315 ◦ − 300 ◦ − 285 ◦ − 270 ◦ − 255 ◦ − 240 ◦ − 225 ◦ − 210 ◦ − 195 − (^190) ◦◦^ − (^170) − 165 ◦◦ − 150 ◦
− 135 ◦
− 120 ◦^ −^105
◦−^90
◦−^75
◦−^60 ◦
− 45 ◦
− 30 −◦^20
− (^15) ◦
− (^10) ◦ − (^6) ◦◦
− 3 ◦
− 1 ◦
◦
dB
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0
2.3dB
ωr ≈ 2.6 r ad / sec
\begin{tikzpicture} \begin{scope} [xscale=11/360, yscale=12/60]
\BlackGraph[samples=100, purple,smooth] {-1:1}{\IntArg{0.3}+ \SOArg{3.9}{0.4}{3}, \IntAmp{0.3}+ \SOAmp{3.9}{0.4}{3}}
\def\valmaxBf{-360} %\StyleIsoM[blue!50,dashed] %\StyleIsoA[green,thin] \AbaqueBlack
\StyleIsoM[blue,thick] \IsoModule[2.3]
\BlackGrid
\BlackText[black]{2.6/right/ {\normalsize $\omega_r \approx 2.6~rad/sec$}} {\IntArg{0.3}+ \SOArg{3.9}{0.4}{3}, \IntAmp{0.3}+ \SOAmp{3.9}{0.4}{3}}
\end{scope} \end{tikzpicture}
FIGURE 17 – Abaque de Black
tracer le diagramme de Nyquist à partir des définitions précédentes du module et de l’argument.
- La commande \NyquistGraph[options]{domaine}{Module en dB}{Argument en degre} trace donc le lieu de Nyquist de fonctions simples ou de fonctions composées (voir les exemples ci-dessous).
- [options], options de tracé voir plus haut,
- {domaine}, le domaine de tracé doit être défini en décade,
- {Module en dB}, le module doit être écrit en dB, on peut bien sûr utiliser les fonctions élémentaires ci-dessus
comme \POAmp, \SOAmp pour obtenir ce module.
- {Argument en degre}, l’argument doit être définie en degré, on peut utiliser les fonctions arguments ci-
dessus comme \POArg, \SOArg.
- \NyquistGraph*[options]{domaine}{Module en dB}{Argument en degre}{[options]{texte}}, cette
4.0.1 Styles par défaut
Comme pour le diagramme de Black, des styles par défaut sont proposés :
- Nyquist lines/.style={very thick, blue} : style pour le tracé du lieu de Nyquist ;
- Nyquist grid/.style={ultra thin,brown} : style de la grille ;
- Nyquist label axes/.style={Nyquist grid,font=\tiny} :style utilisé pour les axes ;
- Nyquist label points/.style={font=\tiny}, style utilisé pour les points
- ref points/.style={circle,draw, black, opacity=0.7,fill, minimum size= 2pt, inner sep=0} : style utilisé pour marquer les points sur le diagramme.
4.1 Quelques exemples de tracé de lieu de Nyquist
Sur l’exemple figure 18 sont représentées les fonctions suivantes :
· p +
p^2 15002
· p +
p^2 1502
1 + 3 · p
· p +
p^2 15002
1 + 0.0009 · p
0.0009 · p
5 Réponse temporelle
figure 19
- \RepTemp[options]{domaine}{fonction} trace la fonction, la fonction doit être définie comme une fonction gnuplot.
- \RepTemp*[options]{domaine}{fonction}{[options]{texte}} trace la fonction et ajoute le texte à l’ex- trémité.
t
s
(^00 )
1
1
2
\begin{tikzpicture}[xscale=5/2,yscale=7/2] \RepTemp[color=black,samples=31,smooth, ]{0:1.8}{ -.198exp(-35.4x)-.638exp(-2.28x)cos(18.3x) -.462exp(-2.28x)sin(18.3x)+. }{[right]{\small 1}} \RepTemp[color=blue,samples=31,smooth ,]{0:1.8}{ 1-.117exp(-24.1x)-.883exp(-2.94x)cos(7.03x) -.769exp(-2.94x)sin(7.03x) }{[right]{\small 2}} \def\valmaxx{1.8} \def\valmaxy{1.2} \TempGrid[xstep=0.2,ystep=0.2] \end{tikzpicture}
FIGURE 19 – Réponse temporelle
5.1 styles
Plusieurs styles sont définis par défaut :
- Temp lines/.style={very thick, blue} : style du tracé ;
- Temp grid/.style={ultra thin,brown!80} : style de la grille ;
- Temp label axes/.style={Temp grid, font=\tiny} : style des labels des axes ;
- Temp label points/.style={font=\tiny} : style des points marqués.
