Download bai giang giai tich ham mot bien and more Lecture notes Logic in PDF only on Docsity!
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
BÀI GIẢNG TOÁN 1
Bμi sè 1: Hμm sè mét biÕn. giíi h¹n vμ tÝnh liªn tôc
I. HÀM SỐ MỘT BIẾN
1. §Þnh nghÜa hμm sè.
Cho 2 tËp hîp D vμ E : D ⊆ ℝ, E ⊆ℝ , t−¬ng øng f : D → E cho t−¬ng øng mçi phÇn tö x ∈ D víi mét
phÇn tö duy nhÊt
y ∈ E
®−îc gäi lμ mét hμm sè mét biÕn sè thùc.
- TËp D ®−îc gäi lμ miÒn x¸c ®Þnh, kÝ hiÖu
f
D cña hμm sè f
- TËp f X ( )®−îc gäi lμ miÒn gi¸ trÞ, kÝ hiÖu
f
R cña hμm sè f
f
x ∈ D : biÕn sè ®éc lËp ( hay ®èi sè)
f
f x ∈ R : biÕn sè phô thuéc ( hay hμm sè)
f : D → E
hoÆc
x ֏ f x ( )
hoÆc
y = f x ( )
x ֏ y = f x ( )
2. §å thÞ cña hμm sè : { }
f
G = x f x x ∈ D
- C¸ch nhËn biÕt ®å thÞ : Mét ®−êng cong trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy lμ ®å thÞ cña mét hμm sè nÕu vμ
chØ nÕu ®−êng th¼ng cïng ph−¬ng víi Oy c¾t ®−êng cong ®ã t¹i nhiÒu nhÊt mét ®iÓm.
§å thÞ hμm sè Kh«ng lμ ®å thÞ hμm sè
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
II. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
1. VÝ dô: XÐt hμm sè
2
y = f x ( ) = x − x + 2. Ta lËp b¶ng c¸c gi¸ trÞ cña hμm sè t¹i nh÷ng ®iÓm x gÇn
0
x = 2.
0
x → x = 2 th× c¸c gi¸ trÞ cña hμm sè f x ( ) → 4 , vμ ta nãi r»ng hμm sè cã giíi h¹n b»ng
4 khi
0
x → x = 2.
y = f x ( )
cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0
x = a , tuy nhiªn nã ph¶i x¸c ®Þnh t¹i nh÷ng ®iÓm
thuéc l©n cËn cña ®iÓm ®ã.
Ch¼ng h¹n: xÐt hμm sè
2
x
y f x
x
, hμm sè kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0
x = 1 , tuy nhiªn theo b¶ng gi¸ trÞ
d−íi ®©y ta nhËn thÊy khi x → 1 th× gi¸ trÞ cña hμm sè dÇn tíi 0, 5.
2. §Þnh nghÜa giíi h¹n hμm sè
§Þnh nghÜa 1: Ta nãi hμm sè f x ( ) cã giíi h¹n L ( h÷u h¹n ) khi
0
x → x vμ viÕt
0
lim ( )
x x
f x L
→
= nÕu víi bÊt
k× d·y { }
n
x mμ
n 0
x → x th× lim ( )
n
n
f x L
→∞
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
NhËn xÐt
a) Cho
1 1 0
n n n
P x a x a x a x a
−
= + + + + th×
0
0
lim ( ) ( )
n n
x x
P x P x
→
b) Cho
0 1
0 1
n
n n
m
m m
a a x a x P x
R x
Q x b b x b x
th×
0
0
0
0
lim ( ) , ( ( ) 0)
n
m
x x
m
P x
R x Q x
Q x
→
c) Khi
1;
L = ±∞ , ta nhËn ®−îc c¸c giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh vμ §Þnh lÝ nãi chung kh«ng cßn ®óng.
VÝ dô: Ta cã
2 2
4 4 4 4
lim 2 1 lim( ) lim(2 ) lim(1)
x x x x
x x x x x x
→ → → →
VÝ dô: Ta cã:
3
3 3
1
2 2 2 1
1
lim 3
lim 3
lim 2
x
x
x
x x
x x
x x
→
→
→
§Þnh lÝ: G i¶ sö hμm sè f x ( ), ( ) g x vμ h x ( ) tho¶ m·n bÊt ®¼ng thøc: f x ( ) ≤ g x ( ) ≤ h x ( ),trong l©n cËn cña
0
x. Khi ®ã: nÕu
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x L
→ →
= = th×
0
lim ( )
x x
g x L
→
§Þnh lÝ : Cho f x ( )
lμ hμm sè x¸c ®Þnh, t¨ng (gi¶m) khi x → +∞ (hoÆc khi x → −∞
); khi ®ã nÕu f x ( )
bÞ
chÆn trªn nghÜ© lμ ∃ M : f x ( ) ≤ M , ∀ x ∈ D (hoÆc bÞ chÆn d−íi nghÜa lμ ∃ m : f x ( ) ≥ m , ∀ x ∈ D) th×
( )
lim ( )
x
x
f x L
→+∞
→−∞
VÊn ®Ò : Khi giíi h¹n cã d¹ng v« ®Þnh th× sÏ t×m ®−îc gi¸ trÞ cña giíi h¹n theo c¸ch nμo?
Gi¶i quyÕt: Ta sÏ t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ó khö d¹ng v« ®Þnh.
4. Mét sè vÝ dô vÒ khö d¹ng v« ®Þnh
VÝ dô : TÝnh
1
lim
n
m
x
x
x
→
(D¹ng
Ta cã:
1 1
1 1
n n n
m m m
x x x x x x
x x x x x x
− −
− −
VËy
1
1
1 1
lim lim
n n
m m
x x
x x x n
x x x m
−
−
→ →
VÝ dô : TÝnh
0
lim
x
x
x
→
( D¹ng
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Ta cã:
x x
x
x x x
0 0
lim lim
x x
x
x
x
→ →
VÝ dô : TÝnh
3 5
0
lim
x
x x
x
→
(D¹ng
Ta cã:
3 5 3 5 3 5
0 0 0
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x x
→ → →
0 2 3 4 3 2 5 3 5 5 5
lim
x
x x
x x x x x x x x
→
(¸p dông h»ng ®¼ng thøc
1 1
n n n
a a a a a
− −
VÝ dô : TÝnh lim
x
x x
x
→+∞
( D¹ng
Ta cã:
lim lim 1
x x
x x x
x
x
→+∞ →+∞
(v×
x
→ khi x → +∞ vμ
x
→ khi x → +∞ )
VÝ dô : TÝnh lim
x
x x x
→+∞
( D¹ng ∞ − ∞ )
Ta cã:
x x x x
x x x
x x x x x x
x
lim lim
x x
x x x
x
→+∞ →+∞
VÝ dô : TÝnh
3 1
lim
x
x x
→
( D¹ng ∞ − ∞ )
§Æt
6
x = y. Khi ®ã:
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
5. V« cïng bÐ, v« cïng lín
a. §Þnh nghÜa: + Hμm sè f x ( ) ®−îc gäi lμ mét v« cïng bÐ (VCB) khi
0
x → x nÕu
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
- Hμm sè f x ( ) ®−îc gäi lμ mét v« cïng lín (VCL) khi
0
x → x nÕu
0
lim ( )
x x
f x
→
NhËn xÐt:
i) NÕu f x ( ) lμ mét VCB khi
0
x → x th×
f x ( )
lμ mét VCL khi
0
x → x
.
ii)
0
x ë ®©y cã thÓ lμ h÷u h¹n hoÆc v« cïng.
VÝ dô : y = sin x
lμ 1 VCB khi x → 0 y = 1 − cos x
lμ 1 VCB khi x → 0
b. So s¸nh c¸c v« cïng bÐ.
Gi¶ sö f x ( ); ( ) g x ®Òu lμ VCB khi
0
x → x.
a) NÕu
0
lim 0
x x
f x
g x
→
th× f x ( ) lμ 1 VCB cã bËc cao h¬n g x ( ).
b) NÕu
0
lim 1
x x
f x
g x
→
= ⇒ f x ( ) vμ g x ( ) lμ 2 VCB t−¬ng ®−¬ng, khi ®ã kÝ hiÖu: f x ( ) ∼ g x ( )
.
VÝ dô : Ta đã biết sin x ; 1 − cos x lμ VCB khi x → 0
Ta cã:
2
0 0 0
2 sin sin
1 cos
lim lim lim 0
sin
2 sin cos cos
x x x
x x
x
x x x x
→ → →
VËy 1 − cos x lμ VCB cã bËc cao h¬n sin x khi x → 0_._
VÝ dô : sin x ∼ x khi x → 0 v×
0
sin
lim 1
x
x
x
→
x
e − ∼ x khi x → 0 v×
0
lim 1
x
x
e
x
→
ln(1 + x )∼ x khi x → 0 v×
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
c. §Þnh lÝ : NÕu f x ( ) vμ g x ( ) lμ 2 VCB trong cïng mét qu¸ tr×nh (
0
x → x ) vμ trong qu¸ tr×nh Êy ta cã
f x f x
g x g x
. Khi ®ã:
0 0
lim lim
x x x x
f x f x
g x g x
→ →
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
VÝ dô : TÝnh
2
0
lim
ln(1 sin 3 )
x
x
e
x
→
Ta cã:
2
x
e − ∼ x khi x → 0 ; ln(1 + sin 3 ) x ∼ sin 3 x ∼ 3 x khi x → 0
Do ®ã :
2
0 0
lim lim
ln(1 sin 3 ) 3 3
x
x x
e x
x x
→ →
VÝ dô:
0 0
1 1 1 cos
lim lim
sin tan sin
x x
x
x x x
→ →
Ta cã:
2
1 cos
− x ∼ x khi x → 0 v×
0
2
1 cos
lim 1
x
x
x
→
; sin x ∼ x khi x → 0
.
Tõ ®ã:
2
0 0 0
lim lim lim 0
sin tan 2
x x x
x
x
x x x
→ → →
NhËn xÐt:
NÕu
0
lim ( )
x x
f x L
→
= th× cã thÓ viÕt : f x ( ) = L + α ( ) x , víi α ( ) x lμ 1 VCB khi
0
x → x
.
6. C¸c giíi h¹n c¬ b¶n
Ta cã mét sè giíi h¹n c¬ b¶n sau:
0
0
0
log (1 )
- lim log
- lim ln
- lim
a
a
x
x
x
m
x
x e x a a x x m x
→
→
→
Tõ (1)
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
Tõ (2)
0
lim 1
x
x
e
x
→
→ = vμ
0
lim ( 1) ln
n
x
n a a
→
7. Giíi h¹n mét phÝa.
a) VÝ dô : XÐt
3
lim ,
x
x a
x
L x a
x a x
−
−
→
x
x
x
−
th× 2 x → 6 trong khi x − 3 < 0 vμ x − 3 → 0.
Nh− vËy:
3
lim
x
x
L
x
−
→
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
- NhËn xÐt: vÒ hai phÝa cña
x
π
hμm sè ®−îc x¸c ®Þnh bëi c¸c c«ng thøc kh¸c nhau, do ®ã hμm sè sÏ
cã giíi h¹n khi
x
π
→ ± khi vμ chØ khi
2 2 2 2
2 2 2 2
lim ( ) lim ( ) lim ( 2 sin ) lim ( sin )
lim ( ) lim ( ) lim ( sin ) lim (cos )
x x x x
x x x x
f x f x x a x b
f x f x a x b x
a b a
a b b
π π π π
π π π π
− + − +
− + − +
→− →− →− →−
→ → → →
- VËy: Hμm sè cã giíi h¹n khi
x
π
→ ± nÕu a = − 1, b =1.
III. TÍNH LIÊN TỤC
1. §Þnh nghÜa
§Þnh nghÜa 1: Hμm sè y = f x ( ) liªn tôc t¹i ®iÓm
0
x nÕu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
Hμm sè y = f x ( )liªn tôc trªn miÒn D nÕu nã liªn tôc t¹i mäi ®iÓm thuéc miÒn D.
Chó ý: Tõ §Þnh nghÜa 1 ta thÊy: Hμm sè y = f x ( )
liªn tôc t¹i
0
x
®ßi hái tháa m·n 3 ®iÒu kiÖn sau:
0
x thuéc TX§ cña hμm sè
0
lim ( )
x x
f x
→
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
§Þnh nghÜa 2: Hμm sè y = f x ( )®−îc gäi lμ liªn tôc tr¸i t¹i
0
x nÕu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
→
Hμm sè y = f x ( ) ®−îc gäi lμ liªn tôc ph¶i t¹i
0
x nÕu
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
Hμm sè y = f x ( )liªn tôc t¹i
0
x khi vμ chØ khi nã võa liªn tôc tr¸i võa liªn tôc ph¶i t¹i
0
x.
VÝ dô: + Hμm sè
3
y = 3 x − 5 x + 1 liªn tôc t¹i mäi ®iÓm
0
x thuéc tËp x¸c ®Þnh.
2
x x
x
f x
x
a x
, ta cã
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
2
2 2 2 2
lim ( ) lim lim lim( 1) 3
x x x x
x x x x
f x x
x x
→ → → →
, trong khi f (2)= a. Do ®ã, hμm sè sÏ
liªn tôc t¹i x = 2 nÕu a = 3 , hμm sè kh«ng liªn tôc t¹i x = 2 nÕu a ≠ 3.
VÝ dô: XÐt hμm sè
2
2
x
x
x
f x ax bx x
x a b x
X¸c ®Þnh a, b sao cho hμm sè liªn tôc trªn ℝ.
Gi¶i: + DÔ thÊy hμm sè x¸c ®Þnh trªn ℝ
Hμm sè liªn tôc trªn miÒn ( −∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞)
Do ®ã hμm sè sÏ liªn tôc trªn ℝ khi vμ chØ khi nã liªn tôc t¹i x = 2 vμ x = 3 , tøc lμ khi vμ chØ khi
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2
2
3 3
3 3
lim ( ) lim ( ) (2)
lim lim 3 (2)
lim ( ) lim ( ) (3)
lim 3 lim 2 (3)
x x
x x
x x
x x
x
f x f x f
ax bx f
x
f x f x f
ax bx x a b f
− +
− +
− +
− +
→ →
→ →
→ →
→ →
( )
( )
( )
2
2 2
2
3 3
lim( 2) lim 3 (2)
4 2 1
lim 3 lim 2 (3)
x x
x x
a x ax bx f
a b
a b
ax bx x a b f
b
− +
− +
→ →
→ →
Nh− vËy, hμm sè ®· cho liªn tôc trªn ℝ nÕu
a = b =.
§Þnh nghÜa 3: Cho hμm sè y = f x ( ) x¸c ®Þnh trong mét l©n cËn cña
0
x (cã thÓ kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0
x ). Ta
nãi r»ng y = f x ( )gi¸n ®o¹n t¹i
0
x nÕu hμm sè y = f x ( ) kh«ng liªn tôc t¹i ®iÓm ®ã vμ khi ®ã
0
x ®−îc gäi
lμ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña hμm sè y = f x ( ).
Tõ §Þnh nghÜa 3 suy ra :
0
x lμ ®iÓm gi¸n ®o¹n cña f x ( ) nÕu x¶y ra 1 trong 3 tr−êng hîp sau:
i)
( )
0
0 0 0
, \
f
f
x D
x ε x ε x D
tøc lμ hμm sè f x ( ) kh«ng x¸c ®Þnh t¹i
0
x nh−ng nã x¸c ®Þnh t¹i nh÷ng ®iÓm rÊt gÇn víi
0
x.
ii)
0 f
x ∈ D nh−ng
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
iii)
0 f
x ∈ D nh−ng kh«ng tån t¹i giíi h¹n khi
0
x → x .
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
NhËn xÐt:
- C¸c ®a thøc, c¸c ph©n thøc h÷u tØ, c¸c hμm sè l−îng gi¸c, hμm sè mò, hμm sè logarit liªn tôc trªn miÒn
x¸c ®Þnh.
- Hμm sè y = f x ( )liªn tôc trªn ( , ) a b th× ®å thÞ cña nã lμ mét ®−êng cong tr¬n (kh«ng bÞ g·y, kh«ng bÞ
®øt ®o¹n).
§Þnh lý: NÕu f x ( ) lμ hμm sè liªn tôc t¹i b vμ lim ( )
x a
g x b
→
= th× lim ( ( )) ( )
x a
f g x f b
→
= , nãi c¸ch kh¸c: khi ®ã ta
cã
( )
lim ( ( )) lim ( )
x a x a
f g x f g x
→ →
2. C¸c tÝnh chÊt cña hμm liªn tôc
a. §Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ trung gian 1: Cho f x ( ) lμ mét hμm sè x¸c ®Þnh trên đaạn a b ;
, liªn tôc trong kho¶ng
( ; ), a b a < bvμ f a ( ). ( ) f b < 0_. Khi ®ã:_ ∃ c ∈ ( ; ) : a b f c ( ) = 0_._
VÝ dô : Chøng minh r»ng ph−¬ng tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong kho¶g (0; 3) :
3
x − x − 1 = 0
Gi¶i : §Æt
3
f x ( ) = x − x − 1 : lμ hμm x¸c ®Þnh vμ liªn tôc trªn (0, 3)
NhËn thÊy: f (1) = − 1 < 0, f (2) = 5 > 0 ⇒ f (1). (2) f < 0 , theo §Þnh lý
( ) ( )
0 0 0
∃ x ∈ 1;2 ⊂ 0; 3 : f x ( ) = 0 ⇒ x chÝnh lμ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
VËy ph−¬ng tr×nh
3
x − x − 1 = 0 cã Ýt nhÊt mét nghiÖm trong (0, 3)
b. §Þnh lý gi¸ trÞ trung gian 2: Cho f x ( ) lμ hμm sè x ¸c ®Þnh, liªn tôc trong a b ;
. Khi ®ã f x ( ) lÊy Ýt nhÊt
mét lÇn mäi gi¸ trÞ n»m gi÷a f a ( ) vμ f b ( ). Nãi c¸ch kh¸c nÕu f x ( ) liªn tôc trong ®o¹n a b ;
vμ cho N lμ
lμ mét sè n»m gi÷a f a ( ) vμ f b ( ) , ë ®ã f a ( ) ≠ f b ( )
; khi ®ã sÏ tån t¹i c ∈ ( , ) : a b f c ( ) = N
VÝ dô : XÐt hμm sè f x ( ) = sin x liªn tôc trªn ℝ.
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
XÐt trong 0,
π
, cã f(0) = 0, (0) 0, ( ) 1
f f
π
= =. Do vËy víi 0 < r < 1 th× ph−¬ng tr×nh sin x = r cã Ýt
nhÊt mét nghiÖm
0
x
π
c. §Þnh lÝ Weierstrass: Cho f x ( ) lμ hμm sè x¸c ®Þnh, liªn tôc trong a b ;
. Khi ®ã tËp
( ) { }
I f x | x a b ,
lμ giíi néi. H¬n n÷a:
[ ; ] [ ; ]
, ; : max ( ) ( ); min ( ) ( )
a b a b
c d a b M f x f c m f x f d
Bμi tËp vÒ nhμ: Tr.87, 251, 278, 294.
Đọc trước các Mục: 2.1, 2.2,2.3, 2.4 ; 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5; 5.2 ; 8.3, 8.4 ; 9.2, 9.4, 9.
ChuNn bị cho Bài số 2
Đạo hàm và vi phân của hàm một biến số
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
và (2) trở thành :
0 0
1 0
1 0
1 0
lim lim( )
x x x x
y y
m x x
x x
→ →
Tức là :
0
m = 2 x là độ dốc tiếp tuyến của đường cong
2
y = x tại điểm
0 0
( x , y ).
Hình 2.
Khi biến độc lập x thay đổi từ giá trị ban đầu
0
x đến giá trị thứ hai
1
x. Ký hiệu chuNn đối với sự
thay đổi này là △ x (đọc là ‘‘delta x’’) :
1 0
△ x = x − x (5)
hay là:
1 0
x = x +△ x (6)
- Độ dốc của cát tuyến ở trên có thể được viết dưới dạng:
2 2 2 2
1 0 0 0
sec
1 0
x x ( x x ) x
m
x x x
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
( x + ∆ x ) − x = x + 2 x ∆ x + ∆( x ) − x
2
0 0
= 2 x ∆ x + ∆( x ) = ∆ x (2 x + ∆ x )
sec 0
m = 2 x + ∆ x
1 0
x → x tương đương với ∆ x → 0
, và khi đó ta nhận được kết quả như trước.
0 0
0
lim (2 ) 2
x
m x x x
∆ →
Tổng quát : đối với đồ thị của hàm bất kỳ y = f x ( ).
- Đầu tiên, ta tính độ dốc của cát tuyến qua 2 điểm P và Q ứng với
0
x và
0
x + ∆ x ,
0 0
sec
f x ( x ) f x ( )
m
x
y
m
=
2
m
=
1
(1, 1)
x
−
1 1
,
2 4
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến
y
- Sau đó, ta tìm giới hạn (nếu tồn tạ
của đường cong tại điểm P :
0 0
0
lim
x
f x x f x
m
x
∆ →
- Giá trị của giới hạn này thường đư
thuộc của nó vào cả
0
x và hàm f x ( )
0 0
0
0
'( ) lim
x
f x x f x
f x
∆ →
2
f x ( ) = x , thì
0 0
f '( x ) 2 x
● Ví dụ 2. Tính
0
f '( x )nếu f x ( ) = 2 x − 3 x
Giải: + Ta có :
0 0 0 0 0 0
f x ( + ∆ x ) − f x ( ) = 2( x + ∆ x ) − 3( x + ∆ x ) − 2 x − 3 x
0 0
f x ( x ) f x ( )
x
và
0 0
0
'( ) lim (4 2 3)
x
f x x x
∆ →
Chú ý : Những lập luận trên đúng v
tuyến xác định ở điểm P
giới hạn khi Q tiến đến P từ bên ph
với ∆ x
dần tới 0
theo cả hai phía.
- Trên thực tế ta gặp nhiều bài toán (ch
tức thời cuả một chuyển động) mà mô hình toán h
trinh tính toán dẫn đến việc cần tính giớ
0 0
0
lim
x
f x x f x
∆ →
Và đó là những lý do dẫn đến sự ra đờ
n Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Th
y = f(x)
P
∆x
x + x 0
x ∆ 0
x
y
Q
f(x + x) - f(x )
0 0
∆
ồn tại) của
sec
m khi ∆ x tiến đến 0 để nhận đượ
0 0
f x ( x ) f x ( )
x
được ký hiệu là
0
f '( x ) , đọc là ‘‘ f phy tại x 0
f x ( ) :
0 0
f x ( x ) f x ( )
x
0 0
f '( x ) = 2 x.
2
f x ( ) = 2 x − 3 x.
2 2
0 0 0 0 0 0
0
f x x f x x x x x x x
x x x
0
= 4 x + 2 ∆ x − 3
0 0
f '( x ) = lim (4 x + 2 ∆ x − 3)= 4x 0
đúng với giả thiết đường cong có tiếp
p tuyến tại một điểm nào đó.
n, cát tuyến PQ sẽ tiến đến cùng một vị trí
bên phải hoặc từ bên trái : tương ứng
u bài toán (chằng hạn bài toán tính vận tốc
ng) mà mô hình toán học của nó trong quá
n tính giới hạn dạng :
0 0
f x ( x ) f x ( )
x
ời của phép toán đạo hàm của hàm số.
ữu Thọ
ợc độ dốc của tiếp tuyến
’’ để nhấn mạnh sự phụ
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Ví dụ 2. Tìm f '( ) x
nếu
y f x ( ).
x
Bước 1:
x x x x
f x x f x
x x x x x x x x x
Bước 2.
0 0
f x x f x
x x x x
Bước 3. Kết luận
2
0
'( ) lim
x
f x
x x x x
∆ →
Ví dụ 3. Tìm f '( ) x nếu y = f x ( ) = x.
Bước 1.
f x ( + ∆ x ) − f x ( ) = x + ∆ x − x
Bước 2.
0 0
f x ( x ) f x ( ) x x x
x x
0 0
f x x f x x x x x x x
x x
x x x
x x x
x x x x x x x
Bước 3. Kết luận
0
'( ) lim
x
f x
x x x x x x
∆ →
, với ∀ x > 0.
c. Một số chú ý về ký hiệu:
- Ta thường viết dạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ trong miền đang xét là:
df x d
và f x
dx dx
Ở cách viết thứ hai này, ký hiệu
d
dx
được coi là một phép toán mà khi tác động vào hàm f x ( ) sẽ có đạo
hàm f '( ) x
- Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3 , ta viết :
x 3
dy
dx
=
hoặc
x 3
dy
dx
=
, hoặc f '(3).
Chú ý: + Nếu hàm số y = f x ( )liên tục tại điểm x thì
0
lim 0.
x
y
∆ →
Bài giảng Môn Toán 1- Giải tích một biến Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
- Một hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó vì:
0 0 0 0
lim lim lim lim 0 0
x x x x
y y dy
y x x
x x dx
∆ → ∆ → ∆ → ∆ →
0
x thì sẽ không khả vi tại điểm đó.
II. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Các phép toán cơ bản về đạo hàm 1. Đạo hàm của hàm hằng: f x ( ) = c ⇒ f '( ) x = 0.
2 Đạo hàm của đối số: f x ( ) = x ⇒ f '( ) x = 1
- Giả sử f x ( ), ( ) g x có đạo hàm trong ( ; ) a b.
Khi đó trong ( ; ) a b ta có :
Ví dụ 1. + Ta có :
3 4 3 4 4 3 3 3 4 2 6
d d d
x x x x x x x x x x x
dx dx dx
3 4
y = ( x − 4 )(3 x x + 2):
3 4 4 3
3 3 4 2
6 4 6 4 2
6 4 2
dy d d
x x x x x x
dx dx dx
x x x x x
x x x x x
x x x
Ví dụ 2. Tính đạo hàm thương
2
2
x
y
x
● Ta có:
n n 1
d
x nx
dx
−
( )
( )
( )
( )
2
i f x g x f x g x
ii f x g x f x g x f x g x
iii Cf x Cf x
f x f x g x f x g x
iv g x
g x g x
